On considère un ballon d'eau chaude contenant un volume \(V\) d'eau de 80 L. Lors du premier remplissage, l'eau est à \(T_i=17,0^\circ\) C pour être chauffée ensuite jusqu'à \(T_f=65,0^\circ\) C. On suppose que la ballon est un système isolé et l'eau est un système incompressible.

1. Que dire de la variation interne d'un système lorsque le système est incompressible ?

Le chauffage de l'eau dans la ballon est assuré par la présence d'une résistance dont la puissance nominale vaut \(P_N=1500\) W.

2. Montrer que le temps de chauffage \(\tau_c\) pour que le ballon chauffe l'eau de \(T_i=17,0^\circ\) à \(T_f=65,0^\circ\) C s'écrit : \[ \tau_c=\frac{\rho_e Vc_e (T_f-T_i)}{P_N} \] où \(\rho_e\) désigne la masse volumique de l'eau et \(c_e\) la capacité thermique massique de l'eau valant 4,18.10³ J.kg⁻¹.\(^\circ\)C⁻¹.

3. Sachant que \(\rho_e=1\) kg.L⁻¹, calculer le temps mis par le ballon pour chauffer l'eau.

4. Le constructeur annonce un temps de chauffage de 3 heures. A-t-il raison ?

Si l'on considère un corps solide homogène à la température \(T(t)\) à l'instant \(t\) placé dans un environnement de température constante égale à \(T_0\). La température du corps vérifie alors l'équation suivante : \[ \frac{dT(t)}{dt}+\frac{hS}{C}T(t)=\frac{hS}{C}T_0 \] où \(h\) est le coefficient de transfert (solide - fluide), \(S\) la surface du solide en contact avec l'extérieur et \(C\) la capacité thermique du solide.

Le but de cet exercice est d'établir cette équation.

1. Rappeler la formule du flux conducto-convectif à travers l'interface d'un solide et d'un fluide (liquide ou gazeux) noté \(\Phi(t)\) :

2. Rappeler l'unité dans le système international des unités du coefficient de transfert \(h\).

3. Montrer que la variation d'énergie interne du solide s'écrit : \[ \Delta U(t)=C(T(t+dt)-T(t)) \] (Note : \(\Delta U(t) = C(T(t+\Delta t)-T(t))\) ou \(dU = C dT\))

4. Quelle est la relation entre la puissance \(\Delta U(t)\), \(\Phi(t)\) et \(\Delta t\) ?

5. En déduire alors l'équation suivante : \[ \frac{T(t+dt)-T(t)}{\Delta t}=\frac{hS}{C}(T_0-T(t)) \]

6. En considérant \(\Delta t\) très petit, montrer alors le résultat attendu : \[ \frac{dT(t)}{dt}+\frac{hS}{C}T(t)=\frac{hS}{C}T_0 \]

7. Définir un temps caractéristique à partir de l'équation précédente puis tracer l'allure de la température \(T(t)\) au cours du temps sachant que \(T(0)=T_i\).

Un moteur électrique est alimenté par un générateur de tension continue \(U=30\) V fournissant un courant électrique d'intensité \(I=1,5\) A. Le moteur transmet au reste du système une puissance mécanique.

1. Calculer la puissance reçue par le moteur délivrée par le générateur.

2. Déterminer l'énergie reçue par le moteur délivrée par le générateur durant 30 minutes.

Durant cette durée, le moteur transmet mécaniquement une énergie de 50 kJ.

3. En déduire le rendement du moteur.

1. Dans quel sens est orienté le flux thermique entre deux systèmes de températures différentes ?

2. Rappeler l'expression du flux thermique à travers une surface d'épaisseur \(e\), de surface \(S\) et de coefficient de conductivité \(\lambda\) séparant deux milieux de température \(T_1\) (à gauche) et \(T_2\) (à droite) telle que \(T_1>T_2\).

3. Montrer qu'il y a une analogie entre le flux thermique en thermodynamique et l'intensité en électrocinétique.

4. En déduire alors l'expression d'une « résistance » thermique.

On considère \(N\) parois numérotées de 1 à \(N\), si l'on considère la \(k\)-ème paroi de surface \(S_k\), d'épaisseur \(e_k\) et de conductivité thermique \(\lambda_k\). On décide alors de les mettre en série, l'un après l'autre.

5. Montrer que le flux total noté \(\Phi(t)\) traversant les \(N\) parois séparant les milieux \(A\) et \(B\) (de températures \(T_A\) et \(T_B\) respectivement avec \(T_A>T_B\)) s'écrit : \[ \forall k, \quad \Phi(t)= \Phi_{k}(t) \] où \(\Phi_k(t)\) est le flux thermique à travers la paroi \(k\).

6. Montrer que : \[ \Phi(t)=\frac{T_A-T_B}{R_{th}}=\frac{1}{R_{th}}\sum_{k=1}^{N-1}(T_{k+1}-T_k) \] où \(T_1=T_B\), \(T_N=T_A\) et \(T_k\) la température à droite de la paroi \(k\).

7. En déduire alors que : \[ \Phi(t)=\frac{T_A-T_B}{R_{th}^2}\sum_{k=1}^{N-1}R_k \] où \(R_k\) est la résistance thermique de la \(k\)-ème paroi.

8. En déduire alors que la résistance thermique totale résultante de l'association en série des \(N\) parois s'écrit : \[ R_{th}=\sum_{k=1}^N R_{k} \] où \(R_k\) est la résistance thermique de la \(k\)-ème paroi.

9. En revenant à l'analogie avec l'électrocinétique, en déduire la résistance équivalente d'une suite de résistances en série.

On considère cette fois que les \(N\) parois mais mises en parallèle.

10. Montrer que dans ce cas, on a : \[ \Delta T = \Phi_k R_k \] où \(\Delta T\) est la différence de température entre les deux milieux séparés par les \(N\) parois en parallèle.

11. En utilisant le principe de superposition, justifier que le flux total \(\Phi(t)\) passant par les \(N\) parois s'écrit : \[ \Phi(t)=\sum_{k=1}^N \Phi_k(t) \] où \(\Phi_k(t)\) est le flux thermique à travers la \(k\)-ème paroi.

12. En déduire alors que : \[ \frac{1}{R_{th}}=\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k} \] où \(R_{th}\) est à nouveau la résistance équivalente aux \(N\) parois en parallèle.

13. A nouveau, en revenant à l'analogie avec l'électrocinétique, en déduire la résistance équivalente d'une suite de résistances en parallèle.

La loi de Stefan-Boltzmann énonce que la puissance thermique surfacique \(\Phi\) rayonnée par un corps noir est proportionnelle à sa température \(T\) élevée à la puissance 4 : \[ \Phi=\sigma T^4 \] où \(\sigma\) est la constante de Stefan-Boltzmann.

1. Donner la définition d'un corps noir.

Dans le suite, \(T_\odot\) désigne la température à la surface du Soleil et vaut 5,77.10³ K ; \(R_\odot\) désigne le rayon du Soleil et vaut 6,93.10⁵ km ; \(d\) représente la distance Terre-Soleil aussi appelée unité astronomique et vaut 1,5.10⁸ km ; \(T\) désigne la température de la Terre et \(R\) le rayon de la Terre et vaut 6,37.10³ km.

2. En admettant que le Soleil est un corps noir, calculer la puissance thermique diffusée du Soleil.

3. En considérant une sphère dont le centre est le Soleil et de rayon \(d\) et en supposant que la puissance se diffuse uniformément à la surface de cette sphère, déterminer la puissance reçue par la Terre.

4. En admettant que la Terre est un corps noir, calculer la température de la Terre.

5. Commenter le résultat obtenu.

On décide de prendre compte de l'albédo de la Terre qu'on note \(\alpha \approx 0,3\).

6. Donner la définition d'albédo.

7. En tenant compte cette fois de l'albédo, déterminer la nouvelle température de la Terre.

8. Commenter le résultat obtenu. Quelle hypothèse doit être révoquée ? Pourquoi ?

La loi de refroidissement de Newton permet d'écrire pour un corps homogène que sa température \(T(t)\) vérifie : \[ \frac{dT(t)}{dt}+rT(t)=rT_0 \] où \(T_0\) est la température de l'extérieur.

1. Donner l'unité de la constante \(r\).

2. Résoudre l'équation différentielle sachant que \(T(0)=T_i\).

On mesure la température d'un corps humain après une durée \(\tau\) après sa mort (qui a eu lieu à \(t=0\)), on note \(T_f\) cette température (\(T_f=T(\tau)\)). On cherche à déterminer cette durée \(\tau\).

3. A partir de l'expression de la température déterminée, montrer que : \[ \tau=\frac{1}{r}\ln\left(\frac{T_i-T_0}{T_f-T_0}\right) \]

4. En déduire alors que pour que le modèle de Newton soit valable, on doit avoir la condition suivante : \[ T_i>T_f>T_0 \]

5. Application numérique : \(r=3,2.10^{-5}\) SI, \(T_i=37,5^\circ\) C, \(T_f=35^\circ\) C et \(T_0=20^\circ\) C.