Terminale : Exercices sur la trigonométrie
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Valeurs remarquables) 🌶️ 🌶️ 🌶️
En utilisant les propriétés de périodicité (\(2\pi\) pour cos/sin, \(\pi\) pour tan), déterminer les valeurs exactes des nombres suivants :
\[ A = \sin\left(\frac{113\pi}{3}\right), \quad B = \cos\left(-\frac{55\pi}{6}\right), \quad C = \tan\left(\frac{2025\pi}{4}\right). \]Voir l'indice
1) Pour \(A\), cherchez le multiple de 3 le plus proche de 113. Rappel : \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\).
2) Pour \(B\), utilisez la parité du cosinus (\(\cos(-x) = \cos(x)\)) puis cherchez le multiple de 6 le plus proche de 55.
3) Pour \(C\), effectuez la division euclidienne de 2025 par 4. Rappel : \(\tan(x + k\pi) = \tan(x)\).
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1. Calcul de \( A \)
On décompose la fraction en faisant apparaître un multiple de \(2\pi\) : \[ \frac{113\pi}{3} = \frac{114\pi - \pi}{3} = 38\pi - \frac{\pi}{3} = 19 \times (2\pi) - \frac{\pi}{3} \] Comme la fonction sinus est \(2\pi\)-périodique, on a : \[ A = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
2. Calcul de \( B \)
La fonction cosinus est paire, donc \( \cos\left(-\frac{55\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{55\pi}{6}\right) \). \[ \frac{55\pi}{6} = \frac{54\pi + \pi}{6} = 9\pi + \frac{\pi}{6} = 8\pi + \pi + \frac{\pi}{6} = 4 \times (2\pi) + \pi + \frac{\pi}{6} \] Par périodicité : \[ B = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) \] Or \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\), donc : \[ B = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
3. Calcul de \( C \)
On effectue la division euclidienne de 2025 par 4 : \(2025 = 506 \times 4 + 1\). \[ \frac{2025\pi}{4} = \frac{506 \times 4 \pi + \pi}{4} = 506\pi + \frac{\pi}{4} \] La fonction tangente est \(\pi\)-périodique, donc on peut retirer \(506\pi\) : \[ C = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \boxed{1} \]
Exercice n°2 (Équations trigonométriques) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \tan x = 1 \)
- \( \sin x = 0 \)
- \( \cos(2x) = \frac{1}{2} \)
- \( \sin(x) = 3 \)
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1) Identifiez l'angle remarquable dont le cosinus est \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), puis placez-vous dans les quadrants où le cosinus est négatif.
2) Rappelez-vous que \(\tan(x) = 1 \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
3) Le sinus s'annule en \(0\) et \(\pi\) (modulo \(2\pi\)).
4) Posez \(X = 2x\) et résolvez d'abord pour \(X\).
5) Vérifiez si la valeur 3 est dans l'image de la fonction sinus.
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1. \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
On sait que \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Le cosinus est négatif sur \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\). Les solutions sont donc \(\pi - \frac{\pi}{4}\) et \(\pi + \frac{\pi}{4}\) (modulo \(2\pi\)). \[ S = \left\{ \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ; -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]
2. \(\tan x = 1\)
L'équation \(\tan x = \tan(\frac{\pi}{4})\) admet pour solution unique modulo \(\pi\) : \[ S = \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]
3. \(\sin x = 0\)
Le sinus s'annule pour tous les multiples entiers de \(\pi\). \[ S = \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]
4. \(\cos(2x) = \frac{1}{2}\)
On a \(\cos(2x) = \cos(\frac{\pi}{3})\). \[ 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \] En divisant par 2 : \[ S = \left\{ \frac{\pi}{6} + k\pi ; -\frac{\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \]
5. \(\sin(x) = 3\)
Pour tout réel \(x\), \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\). L'équation n'a donc pas de solution. \[ S = \emptyset \]
Exercice n°3 (Étude de fonction) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \sin(x)\cos(2x) \]- Montrer que \( f \) est une fonction périodique et préciser sa période.
- Étudier la parité de la fonction \( f \).
- En déduire un intervalle \( I \) sur lequel on peut restreindre l'étude de la fonction \( f \).
- Calculer la dérivée de la fonction \( f \) sur \( I \).
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1) Calculez \( f(x + 2\pi) \). Les fonctions sinus et cosinus sont \( 2\pi \)-périodiques.
2) Calculez \( f(-x) \). Rappel : sinus est impaire, cosinus est paire.
3) Utilisez la période pour réduire l'intervalle à \([-\pi, \pi]\), puis la parité pour le réduire de moitié.
4) Appliquez la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u(x) = \sin(x)\) et \(v(x) = \cos(2x)\).
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1. Pour tout réel \( x \) : \[ f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi)\cos(2(x + 2\pi)) = \sin(x)\cos(2x + 4\pi) = \sin(x)\cos(2x) = f(x) \] La fonction \( f \) est donc \( 2\pi \)-périodique.
2. Pour tout réel \( x \) : \[ f(-x) = \sin(-x)\cos(2(-x)) = -\sin(x)\cos(-2x) = -\sin(x)\cos(2x) = -f(x) \] La fonction \( f \) est donc impaire (symétrie par rapport à l'origine).
3. La périodicité permet de restreindre l'étude à \([-\pi, \pi]\). La parité impaire permet de restreindre l'étude à \([0, \pi]\). On choisit donc \( I = [0 ; \pi] \).
4. On pose \( u(x) = \sin(x) \) et \( v(x) = \cos(2x) \). On a \( u'(x) = \cos(x) \) et \( v'(x) = -2\sin(2x) \). \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \cos(x)\cos(2x) + \sin(x)(-2\sin(2x)) \] \[ f'(x) = \cos(x)\cos(2x) - 2\sin(x)\sin(2x) \]
Exercice n°4 (Étude complète) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la fonction \( g \) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ g(x) = \sin(x)(1 - \cos(x)) \]- Montrer que \( g \) est une fonction périodique de période \( 2\pi \).
- Étudier la parité de la fonction \( g \).
- En déduire un intervalle \( I \) sur lequel on peut restreindre l'étude de la fonction \( g \).
- Montrer que pour tout réel \( x \), \( g'(x) = -2\cos^2(x) + \cos(x) + 1 \).
- Factoriser le polynôme \( P(X) = -2X^2 + X + 1 \) et en déduire une expression factorisée de \( g'(x) \).
- Étudier le signe de \( g'(x) \) sur l'intervalle \( I \).
- Dresser le tableau de variations de la fonction \( g \) sur \( I \).
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1) Vérifiez que \(g(x+2\pi) = g(x)\).
2) Vérifiez que \(g(-x) = -g(x)\).
3) Combinez périodicité et parité pour réduire l'intervalle.
4) Dérivez le produit et utilisez \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\).
5) Calculez le discriminant \(\Delta\) pour factoriser le trinôme.
6) Étudiez le signe de chaque facteur sur \(I\). Attention au sens de variation du cosinus.
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1. \( g(x+2\pi) = \sin(x+2\pi)(1 - \cos(x+2\pi)) = \sin(x)(1 - \cos(x)) = g(x) \). La fonction est \( 2\pi \)-périodique.
2. \( g(-x) = \sin(-x)(1 - \cos(-x)) = -\sin(x)(1 - \cos(x)) = -g(x) \). La fonction est impaire.
3. Comme pour l'exercice précédent, on peut restreindre l'étude à \( I = [0 ; \pi] \).
4. \( g'(x) = \cos(x)(1 - \cos(x)) + \sin(x)(\sin(x)) = \cos(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x) \). En remplaçant \(\sin^2(x)\) par \(1 - \cos^2(x)\) : \[ g'(x) = \cos(x) - \cos^2(x) + 1 - \cos^2(x) = \boxed{-2\cos^2(x) + \cos(x) + 1} \]
5. Le polynôme \(-2X^2 + X + 1\) a pour discriminant \(\Delta = 1 - 4(-2)(1) = 9\). Les racines sont \(X_1 = 1\) et \(X_2 = -1/2\). Donc \(-2X^2 + X + 1 = -2(X-1)(X+1/2) = (1-X)(2X+1)\). On en déduit : \( g'(x) = (1 - \cos(x))(2\cos(x) + 1) \).
6. Sur \([0, \pi]\), \(1 - \cos(x) \ge 0\). Le signe dépend de \(2\cos(x) + 1\). \(2\cos(x) + 1 > 0 \iff \cos(x) > -1/2 \iff 0 \le x < 2\pi/3\). Donc \(g'(x)\) est positif sur \([0, 2\pi/3[\) et négatif sur \(]2\pi/3, \pi]\).
7. \(g\) est croissante sur \([0, 2\pi/3]\) et décroissante sur \([2\pi/3, \pi]\). Le maximum est atteint en \(2\pi/3\) et vaut \(g(2\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (-1/2)) = \frac{3\sqrt{3}}{4}\).