Terminale : Les fonctions trigonométriques
Dans ce cours, nous allons réaliser l'étude approfondie des fonctions trigonométriques. Nous nous intéresserons aux fonctions déjà croisées au collège : les fonctions \(\cos\), \(\sin\) et \(\tan\). Dans un premier temps, on va considérer ces fonctions avec une approche géométrique puis dans un second temps, nous les étudierons avec des outils d'analyse et enfin, nous terminerons en étudiant brièvement avec leurs fonctions réciproques très utilisées en physique : \(\arccos\), \(\arcsin\) et \(\arctan\).
📚 Table des matières
1. Approche géométrique
En classe de troisième, les fonctions trigonométriques ont été vues lorsqu'on cherchait à déterminer un côté d'un triangle rectangle sachant l'un de ses angles et la mesure d'un de ses côtés.
Remarque : La connaissance d'un des trois côtés d'un triangle rectangle et d'un de ses trois angles permet de déterminer la valeur de tous ses côtés et tous ses angles en utilisant les fonctions trigonométriques et le théorème de Pythagore.
On considère un triangle ABC rectangle en A comme suit :
Figure 1. Triangle rectangle ABC
On note \(\alpha=\widehat{ABC}\). On peut alors définir \(\cos(\alpha)\), \(\sin(\alpha)\) et \(\tan(\alpha)\) :
\[ \cos(\alpha)=\dfrac{AB}{BC} \quad \sin(\alpha)=\dfrac{AC}{BC} \quad \tan(\alpha)=\dfrac{AC}{AB} \]Ici, \(AB\) est le côté adjacent à l'angle \(\alpha\) ; \(AC\) est le côté opposé à l'angle \(\alpha\) et \(BC\) est l'hypoténuse du triangle rectangle ABC. Ces définitions vont nous permettre d'introduire la paramétrisation \(\cos\) et \(\sin\) dans le cercle unité de \(\mathbb{R}\).
Définition 1. Le cercle unité de \(\mathbb{R}\)
Le cercle unité de \(\mathbb{R}\) est l'ensemble des points \(M\) de coordonnées \((x,y)\) du plan \(\mathbb{R}^2\) qui vérifie l'équation :
Figure 2. Représentation du cercle unité
Si l'on place un point \(M\) de coordonnées \((x,y)\) sur le demi-cercle unité de \(\mathbb{R}\) à droite alors en définissant les points \(O=(0,0)\) et \(A=(x,0)\), on peut introduire l'angle \(\alpha\) comme tel :
\[ \alpha=\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OM}\right) \]En observant par ailleurs que le triangle \(OAM\) est rectangle en \(A\) et les relations suivantes restent vraies :
\[ \cos(\alpha)=\dfrac{OA}{1} \quad \sin(\alpha)=\dfrac{AM}{1} \quad \tan(\alpha)=\dfrac{AM}{OA} \]car le triangle rectangle \(OAM\) a son hypoténuse égal à 1 (cercle unité : cercle de rayon 1). On remarque alors que pour \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[\):
\[ OA=\cos(\alpha) \quad \textrm{;} \quad AM=\sin(\alpha) \quad \textrm{et} \quad \tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]On en déduit alors la paramétrisation suivante du cercle unité de \(\mathbb{R}\) (on peut aussi parler de cercle trigonométrique) :
Figure 3. Le cercle trigonométrique
Pour terminer, on donne quelques valeurs du cosinus et du sinus pour quelques valeurs d'angle \(\alpha\). Rappelons que \(2\pi\) correspond à un angle de \(360^\circ\), \(\pi\) à un angle de \(180^\circ\), \(\frac{\pi}{2}\) à un angle de \(90^\circ\) et \(\frac{\pi}{4}\) à un angle de \(45^\circ\). Les angles données en fonction de \(\pi\) sont exprimés en radian sinon ils sont exprimés en degrés.
Rappelons la conversion :
\[ \textrm{1 rad (radian) $\hat{=}$ $\frac{360}{2\pi}^\circ$ (degré) } \]Remarque : \(\frac{360}{2\pi}^\circ\) correspond approximativement à \(57^\circ\).
| Valeur de \(\alpha\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos(\alpha)\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(\sin(\alpha)\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\tan(\alpha)\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | \(\times\) | \(0\) | \(0\) |
Nous le verrons, contrairement aux fonctions cosinus et sinus définies sur \(\mathbb{R}\), la fonction tangente est définie sur \(\mathbb{R}\) privé des points de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) où \(k\in\mathbb{Z}\). C'est pour cela que \(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\) n'est pas défini.
2. Approche analytique
Dans cette section, on étudie les fonctions trigonométriques mais selon une approche analytique : étude de fonction classique. On traite dans l'ordre les fonctions \(\cos\), \(\sin\) et \(\tan\).
2.1. La fonction cosinus
La fonction cosinus est une fonction que l'on construit et qu'on a d'abord utilisé en géométrie. Sa construction implique une série de propriétés comme sa parité, sa périodicité, son caractère continue et dérivable ou encore le fait qu'elle soit bornée (minorée et majorée).
Remarque : (HP+) Malgré que cette fonction est une construction provenant d'abord de la géométrie, il est possible de l'exprimer comme un « polynôme » infini de la manière suivante,
\[ \forall x\in\mathbb{R}, \quad \cos(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \]Cette expression, bien que hors-programme, permet de voir comment les machines (calculatrice par exemple) calcule le cosinus d'un réel.
Remarque : La factorielle d'un entier \(n\), notée \(n!\), est définie comme suit :
\[ n!=1\times2\times3\times...\times n \]Cette notation est au programme de terminale, présent dans le chapitre sur le dénombrement.
Définition 2. La fonction \(\cos\)
La fonction cosinus notée \(\cos\) est définie sur \(\mathbb{R}\), continue sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Définition 3. Propriétés du cosinus
1. La fonction \(\cos\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée l'opposé du sinus : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \cos'(x)=-\sin(x)\)
2. La fonction \(\cos\) est paire : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \cos(-x)=\cos(x) \)
3. La fonction \(\cos\) est périodique de période \(2\pi\) : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \cos(x+2\pi)=\cos(x) \)
4. La fonction \(\cos\) est bornée entre \(-1\) et \(1\) : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space -1 \le \cos(x) \le 1 \)
Pour terminer, voici la représentation graphique de la fonction \(\cos\) :
Figure 4. Graphe de \(y = \cos(x)\)
On remarque avec cette représentation qu'on a bien \(\cos(0)=1\), que la fonction \(\cos\) s'annule une infinité de fois (périodique donc le motif se répète toujours) et qu'elle n'a pas de limite en \(\pm \infty\).
Proposition 1. Limite de \(\cos\)
La fonction cosinus n'a pas de limite en \(\pm\infty\).
Preuve
Par l'absurde, si la fonction \(\cos\) avait une limite en \(+\infty\) (raisonnement analogie en \(-\infty\)) alors la suite de terme général \(u_n=\cos(n)\) pour \(n\in\mathbb{N}\) convergerait aussi en \(+\infty\). Comme la suite de terme général \(u_n\) converge, toute sous-suite de cette suite converge aussi et vers la même limite. Si l'on considère la sous suite \(u_{\varphi(n)}=\cos(n+n\pi)=(-1)^nu_n\), elle ne converge pas. Ce qui contredit l'hypothèse de convergence faite, c'est une contradiction.
Il en résulte que la fonction \(\cos\) n'a pas de limite en \(+\infty\).
Proposition 2. Ensemble des zéros du cosinus
La fonction cosinus s'annule une infinité de fois et c'est points d'annulation sont donnés dans l'ensemble de ses zéros noté \(\mathcal{O}\) :
Preuve
Il suffit de se placer sur l'intervalle \([-\pi;\pi]\) pour déterminer les zéros de la fonction \(\cos\) sur cette intervalle puis par translation de \(k\pi\) pour \(k\in\mathbb{Z}\), on détermine l'ensemble \(\mathcal{O}\) étant donné que \(\cos\) est périodique de période \(2\pi\). Comme \(\cos\) est paire, on peut juste déterminer les zéros \([0;\pi]\) pour les avoir sur tout l'intervalle \([-\pi;\pi]\). Sur \([0;\pi]\), les zéros sont donnés dans le tableau des valeurs remarquables, il y en a qu'un seul et c'est \(\frac{\pi}{2}\). Par parité, \(-\frac{\pi}{2}\) est aussi un zéro de \(\cos\) sur \([-\pi;\pi]\). Enfin, par translation de \(k\pi\), on a bien le résultat voulu.
Proposition 3. Formules d'additions pour le cosinus (HP)
La fonction cosinus vérifient les relations suivantes, appelées formules d'addition :
1. \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2, \space \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\)
2. \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2, \space \cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)\)
3. \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)
2.2. La fonction sinus
La fonction sinus est une fonction que l'on construit et qu'on a aussi utilisé en géométrie. Sa construction implique une série de propriétés comme sa parité, sa périodicité, son caractère continue et dérivable ou encore le fait qu'elle soit bornée (minorée et majorée).
Définition 4. La fonction \(\sin\)
La fonction sinus notée \(\sin\) est définie sur \(\mathbb{R}\), continue sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Définition 5. Propriétés du sinus
1. La fonction \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée le cosinus : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \sin'(x)=\cos(x)\)
2. La fonction \(\sin\) est impaire : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \sin(-x)=-\sin(x) \)
3. La fonction \(\sin\) est périodique de période \(2\pi\) : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \sin(x+2\pi)=\sin(x) \)
4. La fonction \(\sin\) est bornée entre \(-1\) et \(1\) : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space -1 \le \sin(x) \le 1 \)
Pour terminer, voici la représentation graphique de la fonction \(\sin\) :
Figure 5. Graphe de \(y = \sin(x)\)
On remarque avec cette représentation qu'on a bien \(\sin(0)=0\), que la fonction \(\sin\) s'annule une infinité de fois (périodique donc le motif se répète toujours) et qu'elle n'a pas de limite en \(\pm \infty\).
Proposition 4. Limite de \(\sin\)
La fonction sinus n'a pas de limite en \(\pm\infty\).
Preuve
Par l'absurde, si la fonction \(\sin\) avait une limite en \(+\infty\) (raisonnement analogie en \(-\infty\)) alors la suite de terme général \(u_n=\sin(n)\) pour \(n\in\mathbb{N}\) convergerait aussi en \(+\infty\). Comme la suite de terme général \(u_n\) converge, toute sous-suite de cette suite converge aussi et vers la même limite. Si l'on considère la sous suite \(u_{\varphi(n)}=\sin(n+n\pi)=(-1)^nu_n\), elle ne converge pas. Ce qui contredit l'hypothèse de convergence faite, c'est une contradiction.
Il en résulte que la fonction \(\sin\) n'a pas de limite en \(+\infty\).
Proposition 5. Ensemble des zéros du sinus
La fonction sinus s'annule une infinité de fois et c'est points d'annulation sont donnés dans l'ensemble de ses zéros noté \(\mathcal{O}\) :
Preuve
Il suffit de se placer sur l'intervalle \([-\pi;\pi]\) pour déterminer les zéros de la fonction \(\sin\) sur cette intervalle puis par translation de \(k\pi\) pour \(k\in\mathbb{Z}\), on détermine l'ensemble \(\mathcal{O}\) étant donné que \(\sin\) est périodique de période \(2\pi\). Comme \(\sin\) est impaire, on peut juste déterminer les zéros \([0;\pi]\) pour les avoir sur tout l'intervalle \([-\pi;\pi]\). Sur \([0;\pi]\), les zéros sont donnés dans le tableau des valeurs remarquables, il y en a deux et c'est \(0\) et \(\pi\). Par parité, \(-\pi\) est aussi un zéro de \(\sin\) sur \([-\pi;\pi]\). Enfin, par translation de \(k\pi\), on a bien le résultat voulu.
Proposition 6. Formules d'additions pour le sinus (HP)
La fonction sinus vérifient les relations suivantes, appelées formules d'addition :
1. \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2, \space \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\)
2. \(\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2, \space \sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)\)
Proposition 7. Relations cosinus-sinus
Les fonctions cosinus et sinus vérifient les relations suivantes :
1. \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\)
2. \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\) (relation HP)
3. \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\) (relation de duplication - HP)
Point de vigilance
Point de vigilance sur la première égalité qui est au programme ! C'est une conséquence directe du théorème de Pythagore écrite dans un triangle rectangle. En effet, si l'on reprend les points \(O\), \(A\) et \(M\) définis dans la section 1, on a bien d'après le théorème de Pythagore :
\[ OA^2+AM^2=OM^2 \iff OA^2+AM^2=1 \iff \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1 \]où \(\alpha=\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OM}\right)\).
Remarque : (HP+) Comme fait plus haut pour la fonction cosinus, la fonction sinus s'écrit aussi comme un « polynôme » infini comme suit :
\[ \forall x\in\mathbb{R}, \quad \sin(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \]Cette expression, bien que hors-programme, permet de voir comment les machines (calculatrice par exemple) calcule le sinus d'un réel.
2.3. La fonction tangente
Définition 6. La fonction \(\tan\)
La fonction tangente notée \(\tan\) est définie sur \(\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\space : \space k\in\mathbb{Z}\right\}\), continue sur \(\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\space : \space k\in\mathbb{Z}\right\}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\space : \space k\in\mathbb{Z}\right\}\). On la définit aussi comme :
Définition 7. Propriétés de la tangente
1. La fonction \(\tan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\space \space k\in\mathbb{Z}\right\}\) dont la dérivée est donnée par :
\(\forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\space : \space k\in\mathbb{Z}\right\}, \space \tan'(x)=1+\tan^2(x)=\dfrac{1}{cos^2(x)}\)
2. La fonction \(\tan\) est impaire : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \tan(-x)=-\tan(x) \)
3. La fonction \(\tan\) est périodique de période \(\pi\) : \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \tan(x+\pi)=\tan(x) \)
Pour terminer, voici la représentation graphique de la fonction \(\tan\) :
Figure 6. Graphe de \(y = \tan(x)\)
On remarque avec cette représentation qu'on a bien \(\tan(0)=0\), que la fonction \(\tan\) s'annule une infinité de fois (périodique donc le motif se répète toujours) et qu'elle n'a pas de limite en \(\pm \infty\) mais elle en a au niveau des points \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
Proposition 8. Limite de \(\tan\)
La fonction tangente n'a pas de limite en \(\pm\infty\). En revanche, elle a une limite en \(\frac{\pi}{2}\) à gauche et à droite :
Ces limites seront admises.
Proposition 9. Ensemble des zéros de la tangente
La fonction tangente s'annule une infinité de fois et c'est points d'annulation sont donnés dans l'ensemble de ses zéros noté \(\mathcal{O}\) :
Preuve
La démonstration est immédiate. En effet, on a dans la définition 6 :
\[ \forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\space \space k\in\mathbb{Z}\right\}, \space \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \]Donc les zéros de la fonction tangente sont les mêmes que celle du \(\sin\). Donc d'après la proposition 5 :
\[ \mathcal{O}=\left\{k\pi\space : \space k\in\mathbb{Z}\right\} \]ce qui achève cette preuve.
3. Les fonctions circulaires réciproques - HP
3.1. La fonction arccosinus
Définition 8. La fonction \(\arccos\)
La fonction arccosinus notée \(\arccos\) est définie sur \([-1;1]\), continue sur \([-1;1]\) et dérivable sur \(]-1;1[\). C'est l'unique fonction qui vérifie les égalités suivantes :
1. \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \arccos(\cos(x))=x\)
2. \(\forall x\in[-1;1], \space \cos(\arccos(x))=x\)
Proposition 9. La dérivée de \(\arccos\)
La fonction arccosinus est dérivable sur \(]-1;1[\) et sa dérivée est donnée par :
3.2. La fonction arcsinus
Définition 9. La fonction \(\arcsin\)
La fonction arcsinus notée \(\arcsin\) est définie sur \([-1;1]\), continue sur \([-1;1]\) et dérivable sur \(]-1;1[\). C'est l'unique fonction qui vérifie les égalités suivantes :
1 - \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \arcsin(\sin(x))=x\)
2 - \(\forall x\in[-1;1], \space \sin(\arcsin(x))=x\)
Proposition 10. La dérivée de \(\arcsin\)
La fonction arcsinus est dérivable sur \(]-1;1[\) et sa dérivée est donnée par :
Proposition 11. Relation \(\arccos\)-\(\arcsin\)
Les fonctions \(\arccos\) et \(\arcsin\) vérifient la relation suivante :
3.3. La fonction arctangente
Définition 10. La fonction \(\arctan\)
La fonction arctangente notée \(\arctan\) est définie sur \(\mathbb{R}\), continue sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\). C'est l'unique fonction qui vérifie les égalités suivantes :
1. \(\forall x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, \space \arctan(\tan(x))=x\)
2. \(\forall x\in\mathbb{R}, \space \tan(\arctan(x))=x\)
Proposition 12. La dérivée de \(\arctan\)
La fonction arctangente est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est donnée par :
Proposition 13. Relation vérifiée par \(\arctan\)
La fonction arctangente vérifie la relation suivante :
où \(sgn\) est la fonction signe qui renvoie le signe de \(x\). Si \(x\ge0\), \(sgn(x)=+1\) sinon, si \(x\le0\), \(sgn(x)=-1\).