Terminale : Exercices sur les suites numériques
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Suite arithmético-géométrique) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_0 = 2\) et la relation de récurrence : \(u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 3\).
- Calculer \(u_1\) et \(u_2\). La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
- Soit \(l\) la solution de l'équation \(l = \frac{1}{2} l + 3\). On pose la suite auxiliaire \((v_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par : \(v_{n} = u_n - l\).
- Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme \(v_0\).
- Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
- En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Quelle est la limite de la suite \((u_n)\) ?
- On pose \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n\). Déterminer l'expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).
Voir l'indice
1) Calculez simplement les premiers termes. Pour la nature, vérifiez si \(u_{n+1}-u_n\) ou \(u_{n+1}/u_n\) est constant.
2) Pour montrer que \((v_n)\) est géométrique, calculez \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n+1}\), puis remplacez \(u_{n+1}\) par sa définition, et essayez de factoriser pour faire apparaître \(v_n\).
Afficher le corrigé
1. Premiers termes
- \(u_1 = \frac{1}{2} u_0 + 3 = \frac{1}{2}(2) + 3 = 1 + 3 = 4\).
- \(u_2 = \frac{1}{2} u_1 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5\).
- \(u_1 - u_0 = 2\) et \(u_2 - u_1 = 1\). Les différences ne sont pas égales, donc la suite n'est pas arithmétique.
- \(u_1/u_0 = 2\) et \(u_2/u_1 = 5/4\). Les rapports ne sont pas égaux, donc la suite n'est pas géométrique.
2. Suite auxiliaire \((v_n)\)
- On résout \(l = \frac{1}{2} l + 3 \iff l - \frac{1}{2} l = 3 \iff \frac{1}{2} l = 3 \iff l=6\).
- a. On pose \(v_n = u_n - 6\).
\(v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = (\frac{1}{2}u_n + 3) - 6 = \frac{1}{2}u_n - 3 = \frac{1}{2}(u_n - 6) = \frac{1}{2} v_n\).
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 1/2\).
Son premier terme est \(v_0 = u_0 - 6 = 2 - 6 = -4\). - b. L'expression explicite est \(v_n = v_0 \times q^n = -4 \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
- c. De \(v_n = u_n - 6\), on tire \(u_n = v_n + 6\). Donc \(u_n = 6 - 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
3. Limite de \((u_n)\)
Comme \(-1 < 1/2 < 1\), on a \(\lim_{n \to +\infty} (1/2)^n = 0\). Par opérations sur les limites, \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 6 - 4 \times 0 = 6\).
4. Somme \(S_n\)
- \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} (v_k + 6) = \left( \sum_{k=0}^{n} v_k \right) + \left( \sum_{k=0}^{n} 6 \right)\).
- La somme des termes de la suite géométrique est \(v_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} = -4 \frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = -8 \left(1 - (1/2)^{n+1}\right)\).
- La somme des constantes est \(6 \times (n+1)\) termes.
- \(S_n = 6(n+1) - 8 \left(1 - (1/2)^{n+1}\right)\).
Exercice n°2 (Étude d'une suite définie par une fonction) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\).
- On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1.5, +\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{2x+3}\).
- Étudier le sens de variation de la fonction \(f\).
- Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et la convergence de la suite \((u_n)\) ?
-
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 \le u_n \le 3\).
- Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
- Démontrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Voir l'indice
1) Étudiez la fonction \(f(x) = \sqrt{2x+3}\) (dérivée). Tracez la courbe et la droite \(y=x\) pour conjecturer.
2) Pour la récurrence, utilisez la croissance de la fonction \(f\). Pour la monotonie de la suite, étudiez le signe de \(f(x)-x\).
Afficher le corrigé
1. Étude de la fonction et conjectures
- a. \(f\) est dérivable sur \(]-1.5, +\infty[\) et \(f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}\).
Pour \(x > -1.5\), \(f'(x) > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur son domaine. - b. La représentation graphique suggère que la suite \((u_n)\) est croissante et semble converger vers 3, l'abscisse du point d'intersection entre la courbe de \(f\) et la droite \(y=x\).
2. Propriétés de la suite
- a. (Par récurrence) Montrons que \(P(n) : 0 \le u_n \le 3\).
\textit{Initialisation :} Pour \(n=0\), \(u_0=1\). On a bien \(0 \le 1 \le 3\). \(P(0)\) est vraie.
\textit{Hérédité :} Supposons \(P(k)\) vraie pour un entier \(k \ge 0\), i.e., \(0 \le u_k \le 3\).
Comme \(f\) est croissante sur \([0,3]\), on a \(f(0) \le f(u_k) \le f(3)\).
\(f(0) = \sqrt{3}\) et \(f(3) = \sqrt{9}=3\).
Donc \(\sqrt{3} \le u_{k+1} \le 3\). A fortiori, \(0 \le u_{k+1} \le 3\). \(P(k+1)\) est vraie.
\textit{Conclusion :} Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \le u_n \le 3\). - b. Croissance
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n = \sqrt{2u_n+3} - u_n\).
Soit la fonction \(g(x) = f(x)-x = \sqrt{2x+3}-x\) sur \([0,3]\).
\(g(x)=0 \iff \sqrt{2x+3}=x \iff 2x+3=x^2 \iff x^2-2x-3=0\).
Les racines sont \(x=-1\) (exclue) et \(x=3\). Le polynôme \(x^2-2x-3\) est négatif entre ses racines, donc sur \([0,3[\).
Pour \(x \in [0,3[\), \(x^2-2x-3 \le 0 \implies x^2 \le 2x+3 \implies x \le \sqrt{2x+3}\) (car x \ge 0).
Donc \(g(x) \ge 0\) sur \([0,3]\).
Comme \(u_n \in [0,3]\) (et \(u_n=3\) seulement si \(n \to \infty\)), on a \(u_{n+1}-u_n \ge 0\). La suite est croissante.
3. Convergence et limite
La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 3. D'après le théorème de la convergence monotone, elle converge vers une limite finie \(L\). Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \(f\) est continue, la limite \(L\) est un point fixe de \(f\), i.e., \(f(L)=L\). On a résolu cette équation : \(L=3\) ou \(L=-1\). Puisque pour tout \(n\), \(u_n \ge u_0=1\), la limite \(L\) doit être supérieure ou égale à 1. La seule solution possible est donc \(L=3\).
En route vers le supérieur
Exercice n°3 (Extrait Bac 2004) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ \begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 2n + 3 \end{cases} \]pour tout entier naturel \( n \).
- Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
- Démontrer que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_n > n^2 \), puis en déduire la limite de la suite.
- Conjecturer une expression de \( u_n \) en fonction de \( n \), puis démontrer la propriété.
Voir l'indice
1) Étudiez le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
2) Procédez par récurrence pour montrer \(u_n > n^2\). Utilisez le théorème de comparaison pour la limite.
3) Calculez les premiers termes pour deviner la formule (carrés parfaits ?).
Afficher le corrigé
1. Monotonie
\(u_{n+1} - u_n = 2n + 3\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), \(2n \ge 0\), donc \(2n+3 > 0\).
\(u_{n+1} - u_n > 0\), donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
2. Minoration et limite
- \textit{Initialisation :} Pour \(n=0\), \(u_0=1\) et \(0^2=0\). On a bien \(1 > 0\).
- \textit{Hérédité :} Supposons \(u_k > k^2\) pour un \(k \ge 0\).
\(u_{k+1} = u_k + 2k + 3 > k^2 + 2k + 3\).
Or, \((k+1)^2 = k^2+2k+1\).
Puisque \(k^2+2k+3 > k^2+2k+1\), on a \(u_{k+1} > (k+1)^2\). La propriété est héréditaire. - \textit{Conclusion :} Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n > n^2\).
- \textit{Limite :} On a \(u_n > n^2\). Comme \(\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty\), par le théorème de comparaison, \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
3. Expression de \(u_n\)
- On calcule les premiers termes : \(u_0=1, u_1=u_0+3=4, u_2=u_1+5=9, u_3=u_2+7=16\).
- On conjecture que \(u_n = (n+1)^2\).
- \textit{Démonstration par récurrence :}
\textit{Initialisation :} Pour \(n=0\), \(u_0=1\) et \((0+1)^2=1\). Vrai.
\textit{Hérédité :} Supposons \(u_k=(k+1)^2\).
\(u_{k+1} = u_k + 2k+3 = (k+1)^2 + 2k+3 = (k^2+2k+1) + 2k+3 = k^2+4k+4 = (k+2)^2\).
La propriété est héréditaire. - \textit{Conclusion :} Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n=(n+1)^2\).
Exercice n°4 (Théorème des gendarmes) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n \ge 1\) par \(u_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + \sin(n)}\).
- Justifier les encadrements pour \(n \ge 1\) : \(n-1 \le n + (-1)^n \le n+1\) et \(2n-1 \le 2n + \sin(n) \le 2n+1\).
- En déduire un encadrement de la suite \((u_n)\).
- Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
Voir l'indice
Utilisez les bornes de \((-1)^n\) et de \(\sin(n)\) (entre -1 et 1). Construisez l'encadrement de \(u_n\) pas à pas. Attention aux sens des inégalités quand on divise.
Afficher le corrigé
1. Justification des encadrements
- Pour tout \(n\), \((-1)^n\) vaut soit 1, soit -1. Donc \(-1 \le (-1)^n \le 1\). En ajoutant \(n\), on obtient \(n-1 \le n + (-1)^n \le n+1\).
- Pour tout \(n\), \(-1 \le \sin(n) \le 1\). En ajoutant \(2n\), on obtient \(2n-1 \le 2n + \sin(n) \le 2n+1\).
2. Encadrement de \(u_n\)
Pour \(n \ge 1\), les termes \(n-1\), \(2n+1\), etc. sont tous positifs.
Pour obtenir une borne inférieure de la fraction, on minore le numérateur (\(n-1\)) et on majore le dénominateur (\(2n+1\)).
Pour obtenir une borne supérieure, on majore le numérateur (\(n+1\)) et on minore le dénominateur (\(2n-1\)).
3. Limite de la suite
- \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n-1}{2n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}\).
- \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{2n-1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}\).
Les deux suites "gendarmes" qui encadrent \((u_n)\) convergent vers la même limite \(\frac{1}{2}\). D'après le théorème des gendarmes, on conclut que \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}\).
Exercice n°5 (Variations d'une suite) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :
\[ \begin{cases} u_{n+1} = u_n - n + 7 \\ u_0 = 5 \end{cases} \]Étudier les variations de la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
Voir l'indice
Étudiez le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\). Résolvez l'inéquation \(7-n > 0\).
Afficher le corrigé
Pour étudier les variations de la suite, on étudie le signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\).
D'après la définition de la suite :
\[ u_{n+1} - u_n = -n + 7 = 7 - n \]On cherche quand cette différence est positive :
\[ 7 - n > 0 \iff 7 > n \iff n < 7 \]Ainsi :
- Pour \(0 \le n < 7\), \(u_{n+1} - u_n > 0\), donc la suite est croissante.
- Pour \(n = 7\), \(u_{n+1} - u_n = 0\), donc \(u_8 = u_7\).
- Pour \(n > 7\), \(u_{n+1} - u_n < 0\), donc la suite est décroissante.
En conclusion, la suite \((u_n)\) est croissante jusqu'au rang \(n=7\), puis décroissante à partir du rang \(n=7\).
Exercice n°6 (Suite récurrente et trigonométrie) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit \( a \) un réel de l'intervalle \( ]0, \frac{\pi}{2}[ \).
On considère la suite \( (u_n) \) définie sur \( \mathbb{N} \) par son premier terme \( u_0 = 2\cos(a) \) et par la relation de récurrence :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \]- Calculer \( u_1 \) et \( u_2 \). Conjecturer une expression de \( u_n \) en fonction de \( a \) et de \( n \).
- Démontrer par récurrence la conjecture émise à la question précédente.
Voir l'indice
Pensez à utiliser la formule de duplication du cosinus : \( 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) \). Attention au signe du cosinus lors du passage à la racine carrée.
Afficher le corrigé
1. Calcul des premiers termes et conjecture
- On sait que \( u_0 = 2\cos(a) \).
- \( u_1 = \sqrt{2 + u_0} = \sqrt{2 + 2\cos(a)} = \sqrt{2(1 + \cos(a))} \).
Or, on sait que \( \cos(a) = 2\cos^2(a/2) - 1 \), donc \( 1 + \cos(a) = 2\cos^2(a/2) \).
Ainsi, \( u_1 = \sqrt{2 \times 2\cos^2(a/2)} = \sqrt{4\cos^2(a/2)} = 2|\cos(a/2)| \).
Comme \( a \in ]0, \pi/2[ \), on a \( a/2 \in ]0, \pi/4[ \), donc \( \cos(a/2) > 0 \).
D'où \( u_1 = 2\cos(a/2) \). - De même, \( u_2 = \sqrt{2 + u_1} = \sqrt{2 + 2\cos(a/2)} = \sqrt{2(1 + \cos(a/2))} \).
En utilisant la même formule avec l'angle \( a/2 \), on obtient \( 1 + \cos(a/2) = 2\cos^2(a/4) \).
Donc \( u_2 = \sqrt{4\cos^2(a/4)} = 2\cos(a/4) \) (car \( a/4 \in ]0, \pi/8[ \)). - Conjecture : Il semble que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n = 2\cos\left(\frac{a}{2^n}\right) \).
2. Démonstration par récurrence
- Initialisation : Pour \( n = 0 \), \( 2\cos(a/2^0) = 2\cos(a) = u_0 \). La propriété est vraie au rang 0.
- Hérédité : Supposons que pour un entier \( k \ge 0 \), \( u_k = 2\cos\left(\frac{a}{2^k}\right) \).
Montrons qu'elle est vraie au rang \( k+1 \), c'est-à-dire \( u_{k+1} = 2\cos\left(\frac{a}{2^{k+1}}\right) \).
\( u_{k+1} = \sqrt{2 + u_k} = \sqrt{2 + 2\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)} \).
En posant \( X = \frac{a}{2^{k+1}} \), on a \( \frac{a}{2^k} = 2X \).
Donc \( u_{k+1} = \sqrt{2(1 + \cos(2X))} = \sqrt{2(2\cos^2(X))} = \sqrt{4\cos^2(X)} = 2|\cos(X)| \).
Or \( a \in ]0, \pi/2[ \), donc \( X = \frac{a}{2^{k+1}} \in ]0, \frac{\pi}{2^{k+2}}[ \subset ]0, \pi/2[ \).
Le cosinus est donc positif, et \( u_{k+1} = 2\cos(X) = 2\cos\left(\frac{a}{2^{k+1}}\right) \).
L'hérédité est démontrée. - Conclusion : Pour tout entier naturel \( n \), \( u_n = 2\cos\left(\frac{a}{2^n}\right) \).
Exercice n°7 (Une égalité fonctionnelle) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit \( f \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) satisfaisant à :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(2x) = f(x) \]Montrer que :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, \quad f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x) \]Voir l'indice
Procédez par récurrence sur \( n \). Pour l'hérédité, essayez de vous ramener à l'hypothèse de récurrence en posant \( y = x/2 \), puis utilisez la propriété donnée par l'énoncé.
Afficher le corrigé
Démonstration par récurrence sur \( n \)
Soit \( x \in \mathbb{R} \) fixé.
- Initialisation : Pour \( n = 0 \), \( f\left(\frac{x}{2^0}\right) = f\left(\frac{x}{1}\right) = f(x) \).
L'égalité est vérifiée. - Hérédité : Supposons que pour un entier \( n \in \mathbb{N} \), on ait \( f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x) \).
Montrons que \( f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f(x) \).
On a \( f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(\frac{x}{2 \times 2^n}\right) = f\left(\frac{x/2}{2^n}\right) \).
Posons \( y = \frac{x}{2} \). Alors \( f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(\frac{y}{2^n}\right) \).
D'après l'hypothèse de récurrence appliquée au réel \( y \), on a \( f\left(\frac{y}{2^n}\right) = f(y) \).
Donc \( f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right) \).
Or, d'après la propriété de l'énoncé \( \forall X \in \mathbb{R}, f(2X) = f(X) \).
En prenant \( X = \frac{x}{2} \), on a \( f\left(2 \times \frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{x}{2}\right) \), soit \( f(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \).
Ainsi, \( f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right) = f(x) \).
L'hérédité est démontrée. - Conclusion : Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) et pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x) \).