Terminale : Exercices sur les primitives
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Primitives usuelles) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(I\) donné :
- \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(f(x) = \text{e}^x + \frac{1}{x}\) sur \(]0; +\infty[\).
- \(f(x) = \cos(x) - \sin(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
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1) Utilisez la formule de la primitive de \(x^n\).
2) Reconnaissez les primitives usuelles de \(e^x\) et \(1/x\).
3) Rappelez-vous que \((\sin x)' = \cos x\) et \((\cos x)' = -\sin x\).
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1. Une primitive de \(x^n\) est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
\(F(x) = 3 \times \frac{x^3}{3} - 4 \times \frac{x^2}{2} + x = x^3 - 2x^2 + x\).
2. Une primitive de \(\text{e}^x\) est \(\text{e}^x\), et une primitive de \(\frac{1}{x}\) sur \(]0; +\infty[\) est \(\ln(x)\).
\(F(x) = \text{e}^x + \ln(x)\).
3. Une primitive de \(\cos(x)\) est \(\sin(x)\), et une primitive de \(\sin(x)\) est \(-\cos(x)\).
\(F(x) = \sin(x) - (-\cos(x)) = \sin(x) + \cos(x)\).
Exercice n°2 (Primitive avec condition initiale) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x - 3\).
Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) qui vérifie \(F(1) = 4\).
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Déterminez d'abord la forme générale des primitives \(F(x)\) avec une constante \(k\). Utilisez ensuite la condition \(F(1)=4\) pour trouver \(k\).
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1. Forme générale des primitives
Les primitives de \(f(x) = 2x - 3\) sont de la forme \(F(x) = x^2 - 3x + k\), où \(k \in \mathbb{R}\).
2. Utilisation de la condition initiale
On cherche \(k\) tel que \(F(1) = 4\).
\(F(1) = 1^2 - 3(1) + k = 1 - 3 + k = -2 + k\).
On veut \(-2 + k = 4 \iff k = 6\).
Conclusion : La primitive cherchée est \(F(x) = x^2 - 3x + 6\).
Exercice n°3 (Variations d'une primitive) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la fonction \( f : x \mapsto 3\text{e}^{-x^2} + 2 \) définie sur \( \mathbb{R} \).
Soit \( F \) une primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
Déterminer le sens de variation de \( F \) sur \( \mathbb{R} \). On ne cherchera pas une expression de \( F \) en fonction de \( x \).
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Quel est le lien entre \( F \) et \( f \) ? Pour étudier les variations de \( F \), il faut étudier le signe de sa dérivée \( F' \).
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Rappel de cours : Par définition, si \( F \) est une primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R} \), alors pour tout réel \( x \), \( F'(x) = f(x) \).
Pour étudier les variations de \( F \), on étudie le signe de sa dérivée \( F'(x) \), c'est-à-dire le signe de \( f(x) \).
Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) :
- \( \text{e}^{-x^2} > 0 \) (une exponentielle est toujours strictement positive).
- Donc \( 3\text{e}^{-x^2} > 0 \).
- Et \( 3\text{e}^{-x^2} + 2 > 2 > 0 \).
Ainsi, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( F'(x) > 0 \).
Conclusion : La fonction \( F \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
Exercice n°4 (Décomposition et primitive) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) par :
\[ f(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x-2)^2} \]- Déterminer deux réels \( a \) et \( b \) tels que pour tout \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \), on ait \( f(x) = a + \frac{b}{(x-2)^2} \).
- En déduire une primitive \( F \) de \( f \) sur l'intervalle \( I = ]2; +\infty[ \).
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1) Mettez l'expression \( a + \frac{b}{(x-2)^2} \) au même dénominateur et identifiez les coefficients avec ceux de \( f(x) \).
2) Utilisez la forme trouvée. Rappelez-vous qu'une primitive de \( \frac{1}{u^2} \) est \( -\frac{1}{u} \) (ou plus généralement \( u'/u^n \)).
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1. Détermination des réels \( a \) et \( b \)
Pour tout \( x \neq 2 \) :
\( a + \frac{b}{(x-2)^2} = \frac{a(x-2)^2 + b}{(x-2)^2} = \frac{a(x^2 - 4x + 4) + b}{(x-2)^2} = \frac{ax^2 - 4ax + 4a + b}{(x-2)^2} \).
Par identification avec \( f(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x-2)^2} \), on obtient le système :
\(\begin{cases} a = 1 \\ -4a = -4 \\ 4a + b = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 - 4(1) = -6 \end{cases}\)
Donc, pour tout \( x \neq 2 \), \( f(x) = 1 - \frac{6}{(x-2)^2} \).
2. Primitive sur \( ]2; +\infty[ \)
On cherche une primitive de \( f(x) = 1 - 6 \times \frac{1}{(x-2)^2} \).
- Une primitive de \( 1 \) est \( x \).
- Pour \( -\frac{6}{(x-2)^2} \), on reconnaît la forme \( 6 \times \left(-\frac{u'}{u^2}\right) \) avec \( u(x) = x-2 \) (donc \( u'(x) = 1 \)).
Une primitive de \( -\frac{u'}{u^2} \) est \( \frac{1}{u} \).
Donc une primitive de \( -\frac{6}{(x-2)^2} \) est \( 6 \times \frac{1}{x-2} = \frac{6}{x-2} \).
Ainsi, une primitive \( F \) de \( f \) sur \( ]2; +\infty[ \) est :
\( F(x) = x + \frac{6}{x-2} \).
On peut aussi écrire \( F(x) = \frac{x(x-2) + 6}{x-2} = \frac{x^2 - 2x + 6}{x-2} \).