Terminale : Les primitives
Ce cours est une introduction au concept de « primitiver » une fonction. On présente généralement cette opération comme l'opération inverse de la dérivation et dans une moindre mesure, ce n'est pas si faux que ça. Pour dériver une fonction, il faut qu'elle soit dérivable sur un domaine bien défini de \(\mathbb{R}\). Pour primitiver une fonction, il faut qu'elle soit continue sur un intervalle de \(\mathbb{R}\). On remarque alors l'importante de bien maîtriser la notion de continuité pour comprendre tous les aspects de ce cours sans difficulté.
📚 Table des matières
1. Rappels - Continuité
Dans la suite, on désigne par \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\subset\mathbb{R}\) à valeurs réelles.
Définition 1. Limites à gauche et à droite
Soit \(a\in I\).
La notation \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a^-}f(x)\) (resp. \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)\)) désigne la limite à gauche (resp. droite) de la fonction \(f\) en \(a\). En d'autres termes, cela désigne la limite de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(a\) pour \(x < a\) (resp. \(x > a\)).
Définition 2.
Soit \(a\in I\). \[ f \text{ est continue en } a \iff \displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a^-}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)=f(a) \]
Par extension, on en déduit la définition suivante :
Définition 3.
\[ f \text{ est continue sur } I \iff \displaystyle \forall a\in I, \space \lim\limits_{x \rightarrow a^-}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)=f(a) \]
Théorème 1. La dérivabilité implique la continuité
\[ f \text{ est dérivable sur } I \Longrightarrow f \text{ est continue sur } I \]
Preuve
On suppose que \(f\) est dérivable sur \(I\) donc elle est dérivable en tout point de \(I\). On veut montrer qu'elle est continue sur \(I\) donc d'après la définition 3, on veut montrer qu'elle est continue en tout point de \(I\). Soit \(a\in I\). On peut écrire pour \(x\in I\backslash \{a\}\) :
\[ f(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)+f(a) \]En calculant la limite du terme de droite, on a :
\begin{align*} \lim\limits_{x \rightarrow a}\underbrace{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{\rightarrow f'(a)}\underbrace{(x-a)}_{\rightarrow0}+f(a)=f(a) \end{align*}car on a reconnu le taux d'accroissement de \(f\) en a dont la limite est \(f'(a)\) car \(f\) est dérivable en \(a\).
On a alors montrer :
\[ \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) \]ce qui conclut : \(f\) est continue en \(a\).
2. Notion de primitive
On se donne une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) à valeurs réelles pour l'instant quelconque. Un point de départ pour introduire la notion de primitive est de se demander s'il existe des fonctions \(F\) qui vérifient l'équation différentielle suivante :
\( (E) : \quad f=F' \)
Si \(f:x\mapsto x^2\), on peut facilement vérifier que la fonction \(F:x\mapsto \frac{x^3}{3}\) est solution de l'équation précédente. Mais la fonction \(x\mapsto \frac{x^3}{3}+\sqrt{2}\) l'est aussi. A priori, si une telle fonction \(F\) existe, il en existe une infinité. D'autre part, si cette fonction \(F\) existe, elle doit être dérivable sur \(I\) d'après l'équation \((E)\).
Définition 4. Les primitives
On suppose que \(f\) est une fonction continue sur \(I\).
On appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction \(F\) solution de l'équation suivante sur \(I\) :
Toute primitive de \(f\) est dérivable sur \(I\) et de dérivée continue sur \(I\). On dit que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Théorème 2. Théorème fondamental de l'analyse, version faible
Toute fonction continue admet des primitives.
Remarque : Ce théorème fait l'objet d'une section dans le cours sur le calcul intégral. C'est ce théorème qui permettra de faire le lien entre la notion d'intégrale sous un angle géométrique et la notion de primitive pour une approche plus analytique.
Proposition 1. Non unicité des primitives
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\). La fonction \(f\) admet une infinité de primitives sur \(I\).
Preuve
Comme \(f\) est continue sur \(I\), elle admet des primitives d'après le théorème 2. On note \(F\) et \(G\) deux de ses primitives. Alors, on a d'après la définition 4,
\[ F'=f \quad \textrm{et} \quad G'=f \]En faisant la différence de ces deux équations, on a :
\[ F'-G'=0 \iff (F-G)'=0 \]Les seules fonctions dont la dérivée est nulle sont les fonctions constantes donc il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ F-G=\lambda \]On en déduit alors que :
\[ F=G+\lambda \textrm{ avec } \lambda\in\mathbb{R} \]Ainsi, si \(F\) est une primitive de \(f\) alors \(F+k\) avec \(k\) un réel est aussi une primitive de \(f\). Comme l'ensemble des réels est infini, on en déduit que l'ensemble des primitives de \(f\) est lui aussi infini.
On préfère dire que les primitives sont uniques à une constante près.
Corollaire 1.
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) et on note \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\).
Il existe un réel \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que :
Corollaire 2.
Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\) avec \(x_0\in I\) et \(y_0\) un réel.
Il existe une unique primitive de \(f\) notée \(F\) telle que :
Preuve
Comme \(f\) est continue sur \(I\), elle admet une infinité de primitives d'après la proposition 1. Donc il existe \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\) et \(\lambda\) un réel tels que :
\[ F=G+\lambda \]Comme on veut que \(F(x_0)=y_0\), on doit avoir :
\[ F(x_0)=G(x_0)+\lambda \iff y_0=G(x_0)+\lambda \iff \lambda = y_0 - G(x_0) \]On en déduit alors que :
\[ F:x\mapsto G(x) - G(x_0)+y_0 \]est une primitive de \(F\) qui vérifie bien \(F(x_0)=y_0\). Donc une telle fonction existe.
Prouvons l'unicité de cette fonction. Soit \(H\) une autre primitive de \(f\) qui existe d'après le théorème 2 car \(f\) est continue qui vérifie \(H(x_0)=y_0\). Montrons que \(F=H\). D'après la proposition 1, comme \(F\) et \(H\) sont deux primitives de \(f\) alors il existe \(C\) un réel tel que :
\[ F=H+C \iff F-H=C \]En évaluant en \(x_0\), on a :
\[ F(x_0)-H(x_0)=C \iff C=0 \]D'où :
\[ F=H \]Ainsi, \(F\) et \(H\) sont égales. La fonction \(F\) est alors unique.
3. Formulaire des primitives
| Fonction | Domaine de définition | Domaine de continuité | Primitives, \(k\) étant un réel |
|---|---|---|---|
| \(f:x\mapsto C\) avec \(C\) un réel | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto Cx+k\) |
| \(f:x\mapsto x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto \dfrac{x^2}{2}+k\) |
| \(f:x\mapsto x^n\) avec \(n\in\mathbb{N}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k\) |
| \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x^2}\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(F:x\mapsto -\dfrac{1}{x}+k\) |
| \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x^n}\) avec \(n\ge 2\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(F:x\mapsto -\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}+k\) |
| \(f:x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) | \(]0;+\infty[\) | \(F:x\mapsto 2\sqrt{x}+k\) |
| \(f:x\mapsto\dfrac{1}{x}\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\) | \(F:x\mapsto \ln(|x|)+k\) |
| \(f:x\mapsto \exp(x)=e^x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto \exp(x)+k\) |
| \(f:x\mapsto \exp(-x)=e^{-x}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto -\exp(-x)+k\) |
| \(f:x\mapsto \cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto \sin(x)+k\) |
| \(f:x\mapsto \sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(F:x\mapsto -\cos(x)+k\) |
Ce tableau regroupe l'ensemble des primitives usuelles à connaître. En général, lorsqu'on a une fonction \(f\) dont on cherche la primitive, on regarde d'abord si ce n'est pas une primitive connue en cherchant dans ce tableau.
Remarque : On fera attention aux intervalles où l'on définit une primitive d'une fonction continue. Lorsqu'il y a une discontinuité pour la fonction \(f\) alors il existera au moins deux intervalles distincts où l'on pourra écrire une primitive pour \(f\). Les constantes qui apparaissent dans les primitives choisies ne sont pas forcément identiques sur ces deux intervalles (cf. exemple de la méthode en section 4).
Rappel : Dans le formulaire, on a utilisé la fonction valeur absolue pour donner les primitives de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{x}\). On la note \(|.|:x\mapsto|x|\), elle est définie sur \(\mathbb{R}\) et si \(x\in\mathbb{R}\), \(|x|=x\) si \(x\ge0\) et \(|x|=-x\) si \(x\le0\). Pour aller plus loin, si l'on introduit la fonction signe de \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\) notée \(sgn\) telle que \(sgn(x)=+1\) si \(x\ge0\) et \(sgn(x)=-1\) si \(x\le0\) alors, en introduit en plus la fonction l'identité définie sur \(\mathbb{R}\) notée \(I_\mathbb{R}\) qui pour \(x\in\mathbb{R}\) renvoie \(x\), on en déduit que :
Cette construction de la valeur absolue est plus parlante.
4. Opérations sur les primitives
Proposition 2.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\). On note \(F\) une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\) sur \(I\). On a alors :
1 - \(F+G\) est une primitive de \(f+g\)
2 - \(\forall \lambda\in\mathbb{R}\), \(\lambda F\) est une primitive de \(\lambda f\).
Remarque : Ce résultat résulte de la linéarité de la dérivation et du fait que \(F'=f\) et \(G'=g\).
Pour des raisons de lisibilité, on met en forme dans un tableau les primitives de certaines fonctions composées très utilisées en pratique. On ne démontre aucune des formes données mais la preuve n'est pas compliqué en soit, il suffit de vérifier qu'en dérivant les primitives données, on retombe bien sur nos fonctions de départ.
Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\subset\mathbb{R}\).
| Fonction | Condition(s) sur \(u\) | Primitives, \(k\) étant un réel |
|---|---|---|
| \(u'e^u\) | AUCUNE | \(e^u+k\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\forall x\in I,\space u(x)\ne0\) | \(\ln(|u|)+k\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(\forall x\in I,\space u(x)\ne0\) | \(-\dfrac{1}{u}+k\) |
| \(\dfrac{u'}{u^n}\) pour \(n\ge2\) | \(\forall x\in I,\space u(x)\ne0\) | \(-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}+k\) |
| \(u'u^n\) pour \(n\in\mathbb{N}\) | AUCUNE | \(\dfrac{u^{n+1}}{{n+1}}+k\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(\forall x\in I,\space u(x)>0\) | \(2\sqrt{u}+k\) |
Jusqu'à là, nous avons vu la grande majorité des primitives croisées en terminale. Certaines fois, la forme des fonctions données peut être plus élaborée et ainsi, leurs primitives ne seront pas données directement dans les formulaires précédents. En général, c'est avec des outils plus élaborés qu'on trouve certaines primitives : c'est le cas du théorème d'intégration par parties qui permet de trouver les primitives des fonctions de la forme \(x\mapsto x^ne^x\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\). Pour voir ce résultat, nous vous invitons à consulter le cours sur le calcul intégral.
Méthode. Déterminer une primitive
On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) dont on cherche à savoir si elle admet ou non des primitives. Ensuite, on cherche à avoir une idée de comment les déterminer si elle en admet. Le procédé est le suivant :
1 - La fonction \(f\) est-elle dérivable sur \(I\) ? Si oui, alors elle est continue d'après le théorème 1 et donc elle admet des primitives sur \(I\) d'après le théorème 2.
2 - La fonction \(f\) est-elle continue sur \(I\) ? Si oui, alors elle admet des primitives sur \(I\) d'après le théorème 2. Sinon, on ne peut rien en dire à ce stade.
On suppose à partir de maintenant que \(f\) est continue.
L'expression de \(f\) est-elle dans le formulaire de la section 3 à une constante près ? Si oui, alors on peut exprimer ses primitives sans oublier la constante réel. Sinon, on continue à chercher.
La forme de \(f\) met-elle en jeu une expression semblable à celle du formulaire de la section 4 à une constante près ? Si oui, alors on peut déterminer les primitives explicitement sans oublier la constante.
En général, à l'étape 4, il n'y a pas besoin d'aller plus loin en terminale. Nous verrons d'autres outils très utiles dans le cours sur le calcul intégral qui peuvent déterminer les primitives de fonctions dont la forme n'est pas triviale. N'oubliez pas d'utiliser la linéarité de la dérivation en se référant à la proposition 2 pour primitiver une fonction qui s'écrit comme une somme de fonctions usuelles faciles à primitiver une par une.
Application de la méthode :
Prenons comme exemple les fonctions \(x\mapsto\frac{1}{6x^2}\) et \(x\mapsto 5e^x+\frac{3}{x}-1\).
Notons \(f\) la première fonction et \(g\) la seconde fonction.
Étude de la fonction \(f\) :
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\). D'après le théorème 1, elle est continue sur \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\). Ainsi, d'après le théorème 2, elle admet des primitives sur les intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Notons \(F_1\) une primitive de \(f\) sur \(]-\infty;0[\) et \(F_2\) une primitive de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
On remarque qu'à une constante près, la forme de \(f\) est donnée par la fonction \(x\mapsto \frac{1}{x^2}\) dans le formulaire de la section 3 (et non \(1/x^6\)). La constante près est \(\frac{1}{6}\) donc en utilisant la règle de 2 de la proposition 2, on en déduit que :
\[ F_1:x\mapsto \frac{1}{6} \left(-\dfrac{1}{x}\right) + k_1 = -\dfrac{1}{6x} + k_1 \]où \(k_1\) est un réel. De la même manière, il en suit que :
\[ F_2:x\mapsto -\dfrac{1}{6x} + k_2 \]où \(k_2\) est un réel. Rien ici, nous assure que \(k_1=k_2\). Donc on s'arrête à là pour notre étude.
Étude de la fonction \(g\) :
La fonction \(g\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\). D'après le théorème 1, elle est continue sur \(]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\). Ainsi, d'après le théorème 2, elle admet des primitives sur les intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Notons \(G_1\) une primitive de \(g\) sur \(]-\infty;0[\) et \(G_2\) une primitive de \(g\) sur \(]0;+\infty[\).
On remarque que \(g\) s'écrit comme une somme de fonctions dont les primitives sont connues grâce au formulaire de la section 3 à une constante près. Le premier terme \(x\mapsto 5e^x\) a pour primitive \(x\mapsto 5e^x\). Le second terme \(x\mapsto\frac{3}{x}\) a pour primitive \(x\mapsto 3\ln(|x|)\). Enfin, le dernier terme \(x\mapsto -1\) a pour primitive \(x\mapsto -x\).
Par somme, en utilisant la proposition 2, les primitives de \(g\) sont données par :
\[ G_1:x\mapsto 5e^x+3\ln(|x|)-x+k_3 \]avec \(k_3\) un réel. De la même manière, il en suit que :
\[ G_2:x\mapsto 5e^x+3\ln(|x|)-x+k_4 \]où \(k_4\) est un réel. Là encore, \(k_3\) n'est pas forcément égal à \(k_4\). On s'arrête alors à là.