Terminale : Exercices sur les matrices
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Opérations élémentaires) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On donne les matrices \( A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \).
Calculer \( A+B \), \( A-B \), \( 3A \), \( 4B \) et \( 3A-4B \).
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Pour additionner ou soustraire deux matrices, on opère coefficient par coefficient. Pour multiplier une matrice par un réel, on multiplie chaque coefficient par ce réel.
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Calculs détaillés :
- \( A+B = \begin{pmatrix} 3+0 & -2+5 \\ 1+(-2) & 4+1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}} \)
- \( A-B = \begin{pmatrix} 3-0 & -2-5 \\ 1-(-2) & 4-1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}} \)
- \( 3A = \begin{pmatrix} 3 \times 3 & 3 \times (-2) \\ 3 \times 1 & 3 \times 4 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}} \)
- \( 4B = \begin{pmatrix} 4 \times 0 & 4 \times 5 \\ 4 \times (-2) & 4 \times 1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 20 \\ -8 & 4 \end{pmatrix}} \)
- \( 3A-4B = \begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 20 \\ -8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9-0 & -6-20 \\ 3-(-8) & 12-4 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 9 & -26 \\ 11 & 8 \end{pmatrix}} \)
Exercice n°2 (Inconnues et systèmes) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On donne \( A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ -2 & x \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} y & -1 \\ 4 & 2y \end{pmatrix} \).
- Trouver les réels \( x \) et \( y \) pour que \( A+B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \).
- Trouver les réels \( x \) et \( y \) pour que \( 2A-3B = \begin{pmatrix} -1 & 9 \\ -16 & -10 \end{pmatrix} \).
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Deux matrices sont égales si et seulement si tous leurs coefficients correspondants sont égaux. Cela vous mènera à résoudre des systèmes d'équations.
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1. Première équation matricielle
\( A+B = \begin{pmatrix} x+y & 3-1 \\ -2+4 & x+2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 2 & x+2y \end{pmatrix} \).
On veut \( \begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 2 & x+2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \).
Par identification des coefficients, on obtient le système :
\[ \begin{cases} x+y = 5 \\ x+2y = 8 \end{cases} \]En soustrayant la première ligne à la deuxième : \( (x+2y) - (x+y) = 8 - 5 \iff y = 3 \).
En remplaçant dans la première : \( x + 3 = 5 \iff x = 2 \).
Donc \(\boxed{x=2 \text{ et } y=3}\).
2. Seconde équation matricielle
\( 2A = \begin{pmatrix} 2x & 6 \\ -4 & 2x \end{pmatrix} \) et \( 3B = \begin{pmatrix} 3y & -3 \\ 12 & 6y \end{pmatrix} \).
\( 2A-3B = \begin{pmatrix} 2x-3y & 6-(-3) \\ -4-12 & 2x-6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-3y & 9 \\ -16 & 2x-6y \end{pmatrix} \).
On veut \( \begin{pmatrix} 2x-3y & 9 \\ -16 & 2x-6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 9 \\ -16 & -10 \end{pmatrix} \).
On identifie les coefficients diagonaux :
\[ \begin{cases} 2x-3y = -1 \quad (L_1) \\ 2x-6y = -10 \quad (L_2) \end{cases} \]On fait \( (L_1) - (L_2) \) : \( (2x-3y) - (2x-6y) = -1 - (-10) \iff 3y = 9 \iff y = 3 \).
On remplace dans \( (L_1) \) : \( 2x - 3(3) = -1 \iff 2x - 9 = -1 \iff 2x = 8 \iff x = 4 \).
Donc \(\boxed{x=4 \text{ et } y=3}\).
Exercice n°3 (Formule de l'inverse) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On suppose que \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) où \( a, b, c \) et \( d \) sont des réels tels que \( ad-bc \neq 0 \).
- Trouver en fonction de \( a, b, c \) et \( d \) les réels \( x, y, z \) et \( t \) tels que : \( A \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
- Vérifier que \( A \) admet pour matrice inverse : \( A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).
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L'équation matricielle équivaut à deux systèmes linéaires indépendants : l'un pour trouver \( x \) et \( z \), l'autre pour trouver \( y \) et \( t \). Utilisez la méthode de combinaison ou de substitution.
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1. Résolution des systèmes
L'équation \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) équivaut au système :
\[ \begin{cases} ax + bz = 1 \\ cx + dz = 0 \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} ay + bt = 0 \\ cy + dt = 1 \end{cases} \]Pour le premier système (inconnues \( x, z \)) :
On multiplie la première ligne par \( d \) et la seconde par \( b \) :
\[ \begin{cases} adx + bdz = d \\ bcx + bdz = 0 \end{cases} \]En soustrayant : \( (ad-bc)x = d \implies x = \dfrac{d}{ad-bc} \).
De même, pour trouver \( z \), on multiplie la première par \( c \) et la seconde par \( a \) :
\[ \begin{cases} acx + bcz = c \\ acx + adz = 0 \end{cases} \]En soustrayant la première à la seconde : \( (ad-bc)z = -c \implies z = \dfrac{-c}{ad-bc} \).
Pour le deuxième système (inconnues \( y, t \)) :
Par une méthode analogue, on trouve :
\( y = \dfrac{-b}{ad-bc} \) et \( t = \dfrac{a}{ad-bc} \).
2. Expression de l'inverse
La matrice cherchée est donc :
\[ \begin{pmatrix} \dfrac{d}{ad-bc} & \dfrac{-b}{ad-bc} \\ \dfrac{-c}{ad-bc} & \dfrac{a}{ad-bc} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]Comme \( A \times A^{-1} = I_2 \), on a bien vérifié la formule de l'inverse.