Terminale : Exercices sur les limites
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Fonctions rationnelles) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Limites de fonctions rationnelles)
Déterminer les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) des fonctions suivantes :
- \( f(x) = \frac{4x - 1}{3x + 1} \)
- \( g(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{3x^2 + 5} \)
- \( h(x) = \frac{-4x + 1}{x^2 + 1} \)
- \( k(x) = \frac{x^3 - 5x}{2x + 1} \)
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Rappelez-vous la règle principale pour les fonctions rationnelles (polynôme / polynôme) en l'infini : la limite est la même que la limite du quotient de leurs termes de plus haut degré.
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Règle : La limite en \(\pm\infty\) d'une fonction rationnelle est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
1) \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x - 1}{3x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{3x} = \boxed{\frac{4}{3}}\)
2) \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2x - 1}{3x^2 + 5} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{3x^2} = \boxed{\frac{1}{3}}\)
3) \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4}{x} = \boxed{0}\)
4) \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 5x}{2x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{2x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{2} = \boxed{+\infty}\)
Exercice n°2 (Formes indéterminées) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Opérations sur les limites)
Déterminer les limites suivantes (certaines sont des formes indéterminées) :
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x + 1)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x^3 + x^2 - 5x)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right)\right)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^x - x)\) \quad (Croissance comparée)
- \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x\)
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1-2) Pour les polynômes, la règle du terme de plus haut degré s'applique.
3) Il s'agit d'une limite par produit. Calculez la limite de chaque facteur.
4-5) Ce sont des formes indéterminées. Utilisez la factorisation par le terme dominant ou développez pour appliquer les théorèmes de croissance comparée (limites de \(xe^x\) ou \(x/e^x\)).
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1) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x + 1) = \lim_{x \to +\infty} x^2 = \boxed{+\infty}\) (Limite du terme de plus haut degré).
2) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x^3 + x^2 - 5x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = \boxed{-\infty}\) (Limite du terme de plus haut degré).
3) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1\). \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\). Par produit, la limite est \(\boxed{+\infty}\).
4) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^x - x) = \lim_{x \to +\infty} e^x \left(1 - \frac{x}{e^x}\right)\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0\).
La limite est donc \(\lim_{x \to +\infty} e^x(1-0) = \boxed{+\infty}\).
5) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = \lim_{x \to -\infty} (2xe^x - e^x)\).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0\). De plus, \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\).
Par somme, la limite est \(2(0) - 0 = \boxed{0}\).
Exercice n°3 (Limites en un point) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Limites en un point)
Déterminer les limites suivantes :
- \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{2x + 1}{x - 3}\right)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \left(\frac{x}{2 - x}\right)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\) \quad (Penser à factoriser le numérateur)
- \(\displaystyle\lim_{x \to 4} \left(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\right)\) \quad (Penser à la quantité conjuguée)
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1-2) Ce sont des limites par quotient. Étudiez la limite du numérateur et le signe du dénominateur (qui tend vers 0).
3-4) Ce sont des formes indéterminées "0/0". Pour lever l'indétermination :
- Pour la 3, trouvez les racines du polynôme au numérateur pour le factoriser (l'une d'elles est évidente !).
- Pour la 4, multipliez le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée de \(\sqrt{x} - 2\).
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1) \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} (2x + 1) = 7\). \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} (x - 3) = 0^+\). Par quotient : \(\boxed{+\infty}\).
2) \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} (x) = 2\). \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} (2 - x) = 0^+\). Par quotient : \(\boxed{+\infty}\).
3) Forme indéterminée "0/0". On factorise \(2x^2 - 3x + 1\). Racines \(x_1=1\), \(x_2=1/2\). \[ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(x-1/2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} 2(x-1/2) = 2(1-1/2) = \boxed{1} \]
4) Forme indéterminée "0/0". On utilise la quantité conjuguée. \[ \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \boxed{\frac{1}{4}} \]
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Exercice n°4 (Théorème des gendarmes) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Théorème des gendarmes)
Soit \( f \) une fonction définie sur \(]0; +\infty[\) par \( f(x) = \frac{x + \sin(x)}{x} \).
- Démontrer que, pour tout réel \( x > 0 \), on a : \[ 1 - \frac{1}{x} \leq f(x) \leq 1 + \frac{1}{x} \]
- En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
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1) Partez de l'encadrement de base de la fonction sinus : \(-1 \le \sin(x) \le 1\). Essayez ensuite de "construire" l'expression de \(f(x)\) étape par étape (ajouter \(x\), puis diviser par \(x\)).
2) Calculez la limite en \(+\infty\) des deux fonctions qui "encadrent" \(f(x)\). Si elles sont identiques, vous pouvez conclure.
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1) Démonstration de l'encadrement
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(-1 \le \sin(x) \le 1\).
En ajoutant \(x\) à chaque membre : \(x - 1 \le x + \sin(x) \le x + 1\).
Comme \(x > 0\), on peut diviser par \(x\) (qui est positif) sans changer le sens des inégalités :
\[
\frac{x-1}{x} \le \frac{x+\sin(x)}{x} \le \frac{x+1}{x}
\]
Ce qui donne \(\boxed{1 - \frac{1}{x} \leq f(x) \leq 1 + \frac{1}{x}}\).
2) Limite en \(+\infty\)
On calcule les limites des deux bornes en \(+\infty\) :
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1\)
D'après le théorème des gendarmes, on conclut que \(\boxed{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1}\).
Exercice n°5 (Asymptotes) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Asymptotes)
Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) par \( f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} \).
- Déterminer les limites de \( f \) en \( 1^+ \) et \( 1^- \). Que peut-on en déduire graphiquement pour la courbe de \( f \) ?
- Démontrer que la droite \( (d) \) d'équation \( y = x + 3 \) est une asymptote oblique à la courbe de \( f \) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). (On étudiera la limite de \(f(x) - (x+3)\)).
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1) Étudiez la limite du numérateur (qui est un nombre fini non nul) et le signe du dénominateur (qui tend vers 0). Cela vous donnera la nature de l'asymptote.
2) Suivez l'indication : calculez la différence \(f(x) - (x+3)\). Mettez tout au même dénominateur \((x-1)\) et simplifiez le numérateur. Calculez ensuite la limite de l'expression obtenue en \(\pm\infty\).
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1) Limites en 1 et Asymptote Verticale
On étudie la limite du numérateur et du dénominateur en 1.
\(\displaystyle\lim_{x \to 1} (x^2 + 2x - 1) = 1+2-1 = 2\).
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0^+\). Par quotient, \(\boxed{\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty}\).
- \(\displaystyle\lim_{x \to 1^-} (x - 1) = 0^-\). Par quotient, \(\boxed{\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty}\).
On en déduit que la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d'équation \(x=1\).
2) Asymptote Oblique
On étudie la limite de la différence \(f(x) - (x+3)\) en \(\pm\infty\). \[ f(x) - (x+3) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} - (x+3) \] On met au même dénominateur : \[ = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} - \frac{(x+3)(x-1)}{x-1} \] \[ = \frac{(x^2 + 2x - 1) - (x^2 - x + 3x - 3)}{x-1} \] \[ = \frac{x^2 + 2x - 1 - x^2 - 2x + 3}{x-1} = \frac{2}{x-1} \] On calcule la limite de cette différence : \[ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - (x+3) \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x-1} = 0 \] Comme la limite de la différence est 0, la droite \((d)\) d'équation \(y=x+3\) est bien une asymptote oblique à la courbe en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Exercice n°6 (Paramètre réel) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Limite avec paramètre)
On cherche, selon les valeurs du paramètre réel \(a\), la limite en \(x = 2\) de la fonction définie par :
\[ f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x - a}. \]Voir l'indice
Il faut distinguer le cas où le dénominateur s'annule en \(x=2\) (c'est-à-dire \(a=8\)) et le cas où il ne s'annule pas (\(a \neq 8\)).
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Commençons par évaluer séparément les limites du numérateur et du dénominateur :
\[ \lim_{x \to 2} (x^3 - 8) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x - a) = 8 - a. \]Nous distinguons deux situations selon la valeur de \(a\).
Premier cas : \(a \neq 8\)
Dans ce cas, le dénominateur ne s'annule pas en \(x = 2\), donc la limite se calcule directement :
\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{0}{8 - a} = 0. \]Deuxième cas : \(a = 8\)
Ici, on obtient une forme indéterminée du type \(\dfrac{0}{0}\).
Remarquons que pour \(a = 8\), le dénominateur \(x^2 + 2x - 8\) s'annule pour \(x = 2\).
On peut alors factoriser ce trinôme : comme \(2\) en est une racine, le second facteur est \((x + 4)\) puisque le produit des racines vaut \(-8\).
On obtient donc :
\[ x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4). \]Ainsi, pour tout \(x \in D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4, 2\}\) :
\[ f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x - 8} = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 4)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 4}. \]On peut alors calculer la limite sans difficulté :
\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2^2 + 2 \times 2 + 4}{2 + 4} = \frac{12}{6} = 2. \]En résumé :
\[ \boxed{ \lim_{x \to 2} f(x) = \begin{cases} 0, & \text{si } a \neq 8,\\[6pt] 2, & \text{si } a = 8. \end{cases} } \]Exercice n°7 (Oscillations) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Limite oscillante)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right). \]- Étudier le comportement de \( f \) en \( 0^+ \).
- La fonction \( f \) admet-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, donner sa valeur.
- Étudier le comportement de \( f \) en \( +\infty \).
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1-2) Pour étudier la limite en \(0^+\), utilisez l'encadrement classique de la fonction sinus : \(-1 \le \sin(u) \le 1\) pour tout réel \(u\). Appliquez ensuite le théorème des gendarmes.
3) En \(+\infty\), la fonction oscille. Montrez qu'elle n'a pas de limite en étudiant son comportement sur des suites particulières.
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1) Comportement en \(0^+\)
Pour tout \(x > 0\), on a \(-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1\).
En multipliant par \(x > 0\) (qui ne change pas le sens des inégalités) :
\[ -x \le x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x \]Or, \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x = 0\).
D'après le théorème des gendarmes :
\[ \boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0} \]2) Prolongement par continuité
Puisque \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\), la fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en 0.
Ce prolongement est la fonction \(\tilde{f}\) définie sur \([0; +\infty[\) par :
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases} x \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{si } x > 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases} \]La valeur en 0 est donc \(\boxed{\tilde{f}(0) = 0}\).
3) Comportement en \(+\infty\)
La fonction \(f\) n'a pas de limite en \(+\infty\) car elle oscille.
Pour le démontrer, considérons deux suites particulières :
- Pour \(x_n = \frac{1}{2\pi n}\) (avec \(n \in \mathbb{N}^*\)) :
\(f(x_n) = \frac{1}{2\pi n} \sin(2\pi n) = \frac{1}{2\pi n} \times 0 = 0\)
Donc \(\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = 0\). - Pour \(y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}\) (avec \(n \in \mathbb{N}\)) :
\(f(y_n) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \times 1\)
Donc \(\lim_{n \to +\infty} f(y_n) = 0\).
En fait, pour \(z_n = \frac{2}{4n+1}\pi\) : \(f(z_n) = \frac{2}{(4n+1)\pi} \sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right) = \frac{2}{(4n+1)\pi} \times 1 = \frac{2}{(4n+1)\pi} \to 0\).
Mais pour \(w_n = \frac{1}{2n\pi}\) : \(f(w_n) = \frac{1}{2n\pi} \sin(2n\pi) = 0\).
Bien que ces exemples donnent 0, prenons \(u_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}\) :
\(f(u_n) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}\), qui tend vers 0, mais la fonction oscille entre des valeurs positives et négatives.
\(\boxed{\text{La fonction n'a pas de limite en } +\infty \text{ (oscillation)}}\)
Exercice n°8 (Partie entière) 🌶️ 🌶️ 🌶️
(Limite avec partie entière)
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R}_+^* \) par :
\[ g(x) = \frac{x - \lfloor x \rfloor}{x} \]où \( \lfloor x \rfloor \) désigne la partie entière de \( x \).
- Simplifier l'expression de \( g(x) \) et en déduire que \( 0 \le g(x) < \frac{1}{x} \) pour tout \( x > 0 \).
- En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)\).
- Étudier le comportement de \( g \) au voisinage de chaque entier naturel non nul \( n \).
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1) Rappelez-vous que \(x - \lfloor x \rfloor\) représente la partie fractionnaire de \(x\), notée \(\{x\}\). Cette quantité vérifie \(0 \le \{x\} < 1\).
2) Utilisez l'encadrement trouvé en 1) avec le théorème des gendarmes.
3) Distinguez les cas \(n^-\) et \(n^+\) en utilisant le fait que \(\lfloor x \rfloor = n-1\) pour \(x \in [n-1; n[\) et \(\lfloor x \rfloor = n\) pour \(x \in [n; n+1[\).
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1) Simplification et encadrement
La quantité \(x - \lfloor x \rfloor\) représente la partie fractionnaire de \(x\), notée \(\{x\}\).
On a donc \(g(x) = \frac{\{x\}}{x}\).
Par définition de la partie fractionnaire : \(0 \le \{x\} < 1\) pour tout réel \(x\).
Comme \(x > 0\), on peut diviser par \(x\) :
\[ 0 \le \frac{\{x\}}{x} < \frac{1}{x} \]Donc \(\boxed{0 \le g(x) < \frac{1}{x}}\) pour tout \(x > 0\).
2) Limite en \(+\infty\)
D'après l'encadrement trouvé en 1) : \(0 \le g(x) < \frac{1}{x}\).
Or :
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 0 = 0\)
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)
D'après le théorème des gendarmes :
\[ \boxed{\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0} \]3) Comportement au voisinage des entiers
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Étudions le comportement de \(g\) en \(n^-\) et \(n^+\).
Limite à gauche (\(n^-\)) :
Pour \(x \in ]n-1; n[\), on a \(\lfloor x \rfloor = n-1\).
Donc \(g(x) = \frac{x - (n-1)}{x} = \frac{x - n + 1}{x} = 1 - \frac{n-1}{x}\).
Quand \(x \to n^-\) :
\[ \lim_{x \to n^-} g(x) = 1 - \frac{n-1}{n} = \frac{n - (n-1)}{n} = \boxed{\frac{1}{n}} \]Limite à droite (\(n^+\)) :
Pour \(x \in ]n; n+1[\), on a \(\lfloor x \rfloor = n\).
Donc \(g(x) = \frac{x - n}{x} = 1 - \frac{n}{x}\).
Quand \(x \to n^+\) :
\[ \lim_{x \to n^+} g(x) = 1 - \frac{n}{n} = \boxed{0} \]Valeur en \(n\) :
Pour \(x = n\), on a \(\lfloor n \rfloor = n\), donc :
\[ g(n) = \frac{n - n}{n} = \boxed{0} \]Conclusion : La fonction \(g\) présente une discontinuité de type "saut" en chaque entier \(n \ge 1\), avec :
\[ \boxed{ \lim_{x \to n^-} g(x) = \frac{1}{n} \neq 0 = \lim_{x \to n^+} g(x) = g(n) } \]