On souhaite calculer l'intégrale \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) e^t \, dt \).

Cette intégrale ne peut pas être calculée directement à l'aide des primitives usuelles. La présence d'un produit de fonctions nous oriente vers une intégration par parties.

1. Première Intégration par Parties (IPP)

On pose :

• \( u(t) = \sin(t) \). La fonction \( u \) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0; \frac{\pi}{2}]\), et \( u'(t) = \cos(t) \).
• \( v'(t) = e^t \). On choisit une primitive \( v \) définie par \( v(t) = e^t \). La fonction \( v \) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Justification : Les fonctions \( u \) et \( v \) sont dérivables sur l'intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\) et leurs dérivées \( u' \) et \( v' \) sont continues sur cet intervalle (ce sont des fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \)). On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

\[ \int_{a}^{b} u(t)v'(t) \, dt = \left[ u(t)v(t) \right]_a^b - \int_{a}^{b} u'(t)v(t) \, dt \]

Ici, cela donne :

\[ I = \left[ \sin(t) e^t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, dt \]

Calculons le terme tout intégré (entre crochets) :

\[ \left[ \sin(t) e^t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) e^{\frac{\pi}{2}} - \sin(0) e^0 = 1 \times e^{\frac{\pi}{2}} - 0 \times 1 = e^{\frac{\pi}{2}} \]

On obtient alors une relation faisant intervenir une nouvelle intégrale que l'on note \( J \) :

\[ I = e^{\frac{\pi}{2}} - J \quad \text{avec} \quad J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^t \, dt \]

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2. Seconde Intégration par Parties (sur J)

L'intégrale \( J \) ressemble fortement à \( I \). On effectue une seconde IPP avec des choix analogues pour ne pas "tourner en rond".

On pose :

• \( u_2(t) = \cos(t) \). Fonction dérivable sur \([0; \frac{\pi}{2}]\), avec \( u_2'(t) = -\sin(t) \).
• \( v_2'(t) = e^t \). On choisit \( v_2(t) = e^t \).

Justification : De même, \( u_2 \) et \( v_2 \) sont de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur l'intervalle d'intégration. La formule d'IPP s'applique :

\[ J = \left[ \cos(t) e^t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\sin(t)) e^t \, dt \] \[ J = \left[ \cos(t) e^t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) e^t \, dt \]

Calculons le terme entre crochets :

\[ \left[ \cos(t) e^t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) e^{\frac{\pi}{2}} - \cos(0) e^0 = 0 \times e^{\frac{\pi}{2}} - 1 \times 1 = -1 \]

On reconnait l'intégrale de départ \( I \) dans le second terme. On a donc établi que :

\[ J = -1 + I \]

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3. Conclusion et résolution de l'équation

Nous avons un système de deux équations :

\[ \begin{cases} I = e^{\frac{\pi}{2}} - J \\ J = -1 + I \end{cases} \]

On remplace \( J \) par \((-1 + I)\) dans la première équation :

\[ I = e^{\frac{\pi}{2}} - (-1 + I) \] \[ I = e^{\frac{\pi}{2}} + 1 - I \]

C'est une équation du premier degré d'inconnue \( I \). On passe le \( -I \) à gauche :

\[ I + I = e^{\frac{\pi}{2}} + 1 \] \[ 2I = e^{\frac{\pi}{2}} + 1 \]

En divisant par 2, on obtient la valeur exacte de l'intégrale :

\[ \boxed{I = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} + 1}{2}} \]

On souhaite calculer \( I = \int_{1}^{3} \frac{1}{t(t+1)} \, dt \).

1. Décomposition en éléments simples

La méthode est de décomposer la fraction en éléments simples. On cherche \( a, b \in \mathbb{R} \) tels que :

\[ \frac{1}{t(t+1)} = \frac{a}{t} + \frac{b}{t+1} \]

Mettons le membre de droite au même dénominateur :

\[ \frac{a}{t} + \frac{b}{t+1} = \frac{a(t+1) + bt}{t(t+1)} = \frac{at + a + bt}{t(t+1)} = \frac{(a+b)t + a}{t(t+1)} \]

Par identification avec le terme de gauche \( \frac{1}{t(t+1)} = \frac{0 \cdot t + 1}{t(t+1)} \), on obtient le système :

\[ \begin{cases} a + b = 0 \quad (\text{Pour annuler le terme devant } t) \\ a = 1 \end{cases} \]

D'où :

\[ \begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \end{cases} \]

Ainsi, on a l'égalité :

\[ \frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \]

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2. Calcul de l'intégrale

On peut maintenant réécrire l'intégrale \( I \) :

\[ I = \int_{1}^{3} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) \, dt \]

Par linéarité de l'intégrale, on cherche une primitive de \( t \mapsto \frac{1}{t} \) et de \( t \mapsto \frac{1}{t+1} \).
Sur l'intervalle \([1; 3]\), \( t > 0 \) et \( t+1 > 0 \), donc :

• Une primitive de \( \frac{1}{t} \) est \( \ln(t) \).
• Une primitive de \( \frac{1}{t+1} \) est \( \ln(t+1) \).

On a donc :

\[ I = \left[ \ln(t) - \ln(t+1) \right]_{1}^{3} \]

Calculons les valeurs aux bornes :

\[ I = (\ln(3) - \ln(3+1)) - (\ln(1) - \ln(1+1)) \] \[ I = \ln(3) - \ln(4) - \underbrace{\ln(1)}_{0} + \ln(2) \] \[ I = \ln(3) - \ln(4) + \ln(2) \]

On simplifie en utilisant les propriétés du logarithme (\( \ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b) \) et \( \ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b}) \)) :

\[ I = \ln\left( \frac{3 \times 2}{4} \right) = \ln\left( \frac{6}{4} \right) \]

En simplifiant la fraction :

\[ \boxed{I = \ln\left( \frac{3}{2} \right)} \]