Terminale : Exercices sur les fonctions
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Détermination de l'ensemble de définition) 🌶️ 🌶️ 🌶️
- Rappeler l'ensemble de définition des fonctions usuelles suivantes : \[ x\mapsto \cos(x) \quad ; \quad x\mapsto \tan(x) \quad \textrm{et} \quad x\mapsto \ln(x) \]
- Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : \[ x\mapsto \cos(\ln(x)) \quad ; \quad x\mapsto \exp(\cos(x)) \quad \textrm{et} \quad x\mapsto \ln(x^2+x-2) \]
- Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : \[ x\mapsto \ln\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) \quad \textrm{et} \quad x\mapsto \dfrac{\tan(x)}{x\ln(x)} \]
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1. Attention aux valeurs interdites pour la tangente.
2. Pour \(\ln(u)\), il faut \(u > 0\). Pour le polynôme, étudiez son signe.
3. Pour le quotient dans le ln, faites un tableau de signes. Pour la seconde, attention aux conditions cumulées (dénominateur non nul, argument du ln positif, argument de tan défini).
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1. Rappels
- \(x \mapsto \cos(x)\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
- \(x \mapsto \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) est définie si \(\cos(x) \neq 0\), soit sur \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\).
- \(x \mapsto \ln(x)\) est définie sur \(]0; +\infty[\).
2. Ensembles de définition
- \(f_1 : x \mapsto \cos(\ln(x))\)
La fonction \(\ln\) est définie sur \(]0; +\infty[\). La fonction \(\cos\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Donc \(f_1\) est définie sur \(\boxed{]0; +\infty[}\). - \(f_2 : x \mapsto \exp(\cos(x))\)
La fonction \(\cos\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et \(\exp\) sur \(\mathbb{R}\).
Donc \(f_2\) est définie sur \(\boxed{\mathbb{R}}\). - \(f_3 : x \mapsto \ln(x^2+x-2)\)
Il faut que \(x^2+x-2 > 0\).
Calculons le discriminant : \(\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\).
Les racines sont \(x_1 = \frac{-1-3}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{-1+3}{2} = 1\).
Le polynôme est du signe de \(a=1\) (positif) à l'extérieur des racines.
Donc \(f_3\) est définie sur \(\boxed{]-\infty; -2[ \cup ]1; +\infty[}\).
3. Ensembles de définition (suite)
- \(f_4 : x \mapsto \ln\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)\)
Il faut que \(\dfrac{x^2-1}{x} > 0\).
Tableau de signes :
\(x^2-1\) s'annule en -1 et 1. \(x\) s'annule en 0.
- Sur \(]-\infty; -1[\) : \(+/-\) donc \(-\)
- Sur \(]-1; 0[\) : \(-/-\) donc \(+\)
- Sur \(]0; 1[\) : \(-/+\) donc \(-\)
- Sur \(]1; +\infty[\) : \(+/+\) donc \(+\)
Donc \(f_4\) est définie sur \(\boxed{]-1; 0[ \cup ]1; +\infty[}\). - \(f_5 : x \mapsto \dfrac{\tan(x)}{x\ln(x)}\)
Conditions :
1. \(x > 0\) (pour le ln)
2. \(\ln(x) \neq 0 \implies x \neq 1\)
3. \(x \neq 0\) (déjà couvert)
4. \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) (pour la tangente)
Donc \(f_5\) est définie sur \(\boxed{]0; 1[ \cup ]1; +\infty[ \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{N}\}}\).
Exercice n°2 (Détermination de l'ensemble de dérivabilité) 🌶️ 🌶️ 🌶️
- Rappeler l'ensemble de dérivabilité des fonctions usuelles suivantes : \[ x\mapsto \sqrt{x} \quad ; \quad x\mapsto |x| \quad \textrm{et} \quad x\mapsto \ln(x) \]
- Déterminer l'ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes : \[ x\mapsto \sqrt{\sin(x)} \quad ; \quad x\mapsto |\exp(\tan(x))| \quad \textrm{et} \quad x\mapsto \sqrt{\ln(x^2-2)} \]
- Déterminer l'ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes : \[ x\mapsto \ln\left(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\right) \quad \textrm{et} \quad x\mapsto \dfrac{\sqrt{\exp(x)}}{x^3\ln(|x|)} \]
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1. La racine carrée n'est pas dérivable en 0.
2. Pour \(\sqrt{u}\), il faut \(u > 0\). L'exponentielle est toujours positive, donc \(|\exp(\dots)| = \exp(\dots)\).
3. Procédez par étapes en vérifiant la dérivabilité de chaque composée.
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1. Rappels
- \(x \mapsto \sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0; +\infty[\).
- \(x \mapsto |x|\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\).
- \(x \mapsto \ln(x)\) est dérivable sur \(]0; +\infty[\).
2. Ensembles de dérivabilité
- \(g_1 : x \mapsto \sqrt{\sin(x)}\)
Il faut \(\sin(x) > 0\).
Ceci est vrai sur les intervalles de la forme \(]2k\pi; (2k+1)\pi[\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).
Donc \(g_1\) est dérivable sur \(\boxed{\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ]2k\pi; (2k+1)\pi[}\). - \(g_2 : x \mapsto |\exp(\tan(x))|\)
Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, \(|\exp(\tan(x))| = \exp(\tan(x))\).
La fonction est dérivable là où \(\tan(x)\) est dérivable.
Donc \(g_2\) est dérivable sur \(\boxed{\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}}\). - \(g_3 : x \mapsto \sqrt{\ln(x^2-2)}\)
Il faut \(\ln(x^2-2) > 0 \iff x^2-2 > 1 \iff x^2 > 3\).
Donc \(g_3\) est dérivable sur \(\boxed{]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[}\).
3. Ensembles de dérivabilité (suite)
- \(g_4 : x \mapsto \ln\left(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}\right)\)
Simplification : pour \(x > 1\), \(\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x+1} = \dfrac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{(x+1)^2}} = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\).
Conditions :
1. \(x^2-1 > 0\) (pour la racine au numérateur et dérivabilité racine) : \(x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[\).
2. \(x+1 \neq 0\) : \(x \neq -1\).
3. Argument du ln positif : \(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1} > 0\).
Si \(x > 1\), numérateur > 0, dénominateur > 0. OK.
Si \(x < -1\), numérateur > 0, dénominateur < 0. Impossible.
Donc \(g_4\) est dérivable sur \(\boxed{]1; +\infty[}\). - \(g_5 : x \mapsto \dfrac{\sqrt{\exp(x)}}{x^3\ln(|x|)}\)
Conditions :
1. \(x \neq 0\) (dénominateur).
2. \(\ln(|x|) \neq 0 \implies |x| \neq 1 \implies x \neq 1\) et \(x \neq -1\).
3. \(\exp(x) \ge 0\) (toujours vrai).
Donc \(g_5\) est dérivable sur \(\boxed{\mathbb{R}^* \setminus \{-1; 1\}}\).
Exercice n°3 (Étude de fonctions - Niveau 1) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Étudier la fonction suivante :
\[ x\mapsto \ln\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) \]Voir l'indice
Commencez par le domaine de définition (tableau de signes). Ensuite, calculez la dérivée et étudiez son signe. N'oubliez pas les limites aux bornes.
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1. Ensemble de définition
On cherche \(x\) tel que \(\dfrac{x^2-1}{x} > 0\).
Tableau de signes :
- \(x^2-1\) est positif sur \(]-\infty; -1[\) et \(]1; +\infty[\).
- \(x\) est positif sur \(]0; +\infty[\).
Le quotient est positif sur \(\boxed{]-1; 0[ \cup ]1; +\infty[}\).
2. Limites aux bornes
- En -1 : \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x} = 0^-\) (car \(x \approx -1 < 0\)). Impossible car argument du ln doit être positif. Erreur de signe ? Ah, sur \(]-1; 0[\), \(x^2-1 < 0\) et \(x < 0\), donc quotient > 0.
Quand \(x \to -1^+\), \(x^2-1 \to 0^-\) et \(x \to -1\), donc quotient \(\to 0^+\).
\(\lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty\). Donc \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty\). - En 0 : Quand \(x \to 0^-\), \(x^2-1 \to -1\) et \(x \to 0^-\), donc quotient \(\to +\infty\).
\(\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty\). Donc \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty\). - En 1 : Quand \(x \to 1^+\), \(x^2-1 \to 0^+\) et \(x \to 1\), donc quotient \(\to 0^+\).
Donc \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty\). - En \(+\infty\) : \(\frac{x^2-1}{x} = x - \frac{1}{x} \to +\infty\).
Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
3. Dérivée et variations
\(f(x) = \ln(u(x))\) avec \(u(x) = \frac{x^2-1}{x} = x - \frac{1}{x}\).
\(u'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2}\).
\(f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{\frac{x^2+1}{x^2}}{\frac{x^2-1}{x}} = \frac{x^2+1}{x^2} \times \frac{x}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x(x^2-1)}\).
Signe de \(f'(x)\) :
- \(x^2+1 > 0\) toujours.
- Sur \(]-1; 0[\), \(x < 0\) et \(x^2-1 < 0\), donc \(x(x^2-1) > 0\). \(f'(x) > 0\).
- Sur \(]1; +\infty[\), \(x > 0\) et \(x^2-1 > 0\), donc \(x(x^2-1) > 0\). \(f'(x) > 0\).
La fonction est strictement croissante sur ses deux intervalles de définition.
Exercice n°4 (Étude de fonctions - Niveau intermédiaire) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Étudier la fonction suivante :
\[ x\mapsto \exp\left(\dfrac{1}{x^2-1}\right) \]Voir l'indice
Domaine de définition : attention aux valeurs qui annulent le dénominateur. La fonction est paire, vous pouvez réduire l'intervalle d'étude.
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1. Ensemble de définition et parité
La fonction est définie si \(x^2-1 \neq 0\), soit \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\).
\(f(-x) = \exp\left(\dfrac{1}{(-x)^2-1}\right) = \exp\left(\dfrac{1}{x^2-1}\right) = f(x)\).
La fonction est paire. On peut l'étudier sur \([0; 1[ \cup ]1; +\infty[\) et compléter par symétrie.
2. Limites
- En 0 : \(f(0) = \exp(-1) = 1/e\).
- En 1 :
Si \(x \to 1^-\) (donc \(x < 1\)), \(x^2-1 \to 0^-\). Donc \(\frac{1}{x^2-1} \to -\infty\).
\(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\). Donc \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0\). (On peut prolonger par continuité ? Non demandé).
Si \(x \to 1^+\) (donc \(x > 1\)), \(x^2-1 \to 0^+\). Donc \(\frac{1}{x^2-1} \to +\infty\).
\(\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\). Donc \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\). - En \(+\infty\) : \(\frac{1}{x^2-1} \to 0\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = e^0 = 1\).
3. Dérivée et variations
Posons \(u(x) = \frac{1}{x^2-1}\). Alors \(u'(x) = \frac{-(2x)}{(x^2-1)^2}\).
\(f'(x) = u'(x)e^{u(x)} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2} \exp\left(\dfrac{1}{x^2-1}\right)\).
Sur \([0; 1[ \cup ]1; +\infty[\), le terme \((x^2-1)^2\) est positif, l'exponentielle est positive.
Le signe est celui de \(-2x\), donc négatif (car \(x \ge 0\)).
La fonction est décroissante sur \([0; 1[\) et sur \(]1; +\infty[\).
En route vers le supérieur
Exercice n°5 (Étude de fonctions - Niveau avancé) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Étudier la fonction suivante :
\[ x\mapsto \sqrt{\dfrac{\ln(x^2)}{x}} \]Voir l'indice
Attention au domaine de définition de la racine carrée (l'argument doit être positif). Simplifiez \(\ln(x^2)\) si possible, mais attention au signe de \(x\).
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1. Ensemble de définition
Il faut que l'argument de la racine soit positif : \(\dfrac{\ln(x^2)}{x} \ge 0\).
Notons que \(\ln(x^2)\) est défini pour \(x \neq 0\). De plus, \(\ln(x^2) = 2\ln(|x|)\).
Signe de \(\ln(x^2)\) : positif si \(x^2 \ge 1 \iff x \in ]-\infty; -1] \cup [1; +\infty[\).
Tableau de signes du quotient :
- Sur \(]-\infty; -1]\) : \(\ln(x^2) \ge 0\) et \(x < 0\). Quotient \(\le 0\). (Impossible sauf si nul en -1 ? Non, racine de négatif impossible).
- Sur \(]-1; 0[\) : \(\ln(x^2) < 0\) et \(x < 0\). Quotient \(> 0\). OK.
- Sur \(]0; 1[\) : \(\ln(x^2) < 0\) et \(x > 0\). Quotient \(< 0\). Impossible.
- Sur \(]1; +\infty[\) : \(\ln(x^2) > 0\) et \(x > 0\). Quotient \(> 0\). OK.
Attention aux bornes : en \(x=\pm 1\), \(\ln(x^2)=0\), quotient nul, racine nulle. OK.
Donc \(\mathcal{D}_f = \boxed{]-1; 0[ \cup [1; +\infty[}\).
2. Limites
- En -1 : \(f(-1) = 0\).
- En 0 : Quand \(x \to 0^-\), \(\ln(x^2) \to -\infty\) et \(x \to 0^-\).
Par croissances comparées ? Non, c'est du type \(-\infty / 0^-\) donc \(+\infty\).
Donc \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty\). - En 1 : \(f(1) = 0\).
- En \(+\infty\) : \(\frac{2\ln(x)}{x} \to 0\) (croissances comparées).
Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).
3. Dérivée
Pour \(x > 0\) (donc sur \(]1; +\infty[\)), \(f(x) = \sqrt{\frac{2\ln(x)}{x}}\).
Posons \(u(x) = \frac{2\ln(x)}{x}\). \(u'(x) = 2 \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = 2 \frac{1-\ln(x)}{x^2}\).
\(f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{1-\ln(x)}{x^2 \sqrt{\frac{2\ln(x)}{x}}}\).
Signe de \(f'(x)\) sur \(]1; +\infty[\) : dépend de \(1-\ln(x)\).
\(1-\ln(x) > 0 \iff \ln(x) < 1 \iff x < e\).
Donc \(f\) croissante sur \([1; e]\) et décroissante sur \([e; +\infty[\). Maximum en \(e\).
Pour \(x < 0\) (sur \(]-1; 0[\)), \(f(x) = \sqrt{\frac{2\ln(-x)}{x}}\) ? Non, \(\ln(x^2) = 2\ln(-x)\) si \(x<0\).
Donc \(f(x) = \sqrt{\frac{2\ln(-x)}{x}}\). Attention, \(x\) est négatif, donc le quotient est bien positif car \(\ln(-x) < 0\) sur \(]-1; 0[\).
Calcul de dérivée similaire, on trouverait que \(f\) est décroissante (à vérifier).
Exercice n°6 (Équivalents de fonctions) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Soit \(a\) un réel ou valant éventuellement \(\pm\infty\). Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions admettant une limite (finie ou non) en \(a\). On suppose qu'à partir d'un certain rang, les deux fonctions ne s'annulent jamais. On dit que \(f\) est équivalente à \(g\) lorsque la fonction quotient \(\frac{f}{g}\) admet une limite en \(a\) et :
\[ \dfrac{f(x)}{g(x)}\underset{x \rightarrow a}{\longrightarrow} 1 \]On note alors \(f\underset{x\rightarrow a}{\sim }g\).
- Montrer que les fonctions suivantes sont bien équivalentes : \[ f\underset{x\rightarrow \infty}{\sim }g \] avec \(f:x\mapsto \ln(x+1)\) et \(g:x\mapsto \ln(x)\).
- Montrer que les fonctions suivantes sont bien équivalentes : \[ f\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim }g \] avec \(f:x\mapsto \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) et \(\displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
- Donner des équivalents simples des fonctions suivantes :
\begin{align*}
&f:x\mapsto \ln(x) \quad \textrm{en } a=1\\
&g:x\mapsto \sin(5x) \quad \textrm{en } a=0\\
&h:x\mapsto \exp(x) \quad \textrm{en } a=0
\end{align*}
(Indication : On pourra faire apparaître pour les trois fonctions des taux d'accroissement usuels)
- Expliquer l'intérêt des équivalents pour obtenir de meilleures allures de courbe.
Voir l'indice
1. Factorisez par \(x\) dans le logarithme : \(\ln(x(1+1/x)) = \ln(x) + \ln(1+1/x)\).
2. Utilisez l'expression conjuguée.
3. Pensez à la dérivée en un point : \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \to f'(a)\).
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1. Équivalence de logarithmes
On veut montrer que \(\ln(x+1) \sim \ln(x)\) en \(+\infty\).
Calculons le quotient :
\[ \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} = \frac{\ln(x(1+1/x))}{\ln(x)} = \frac{\ln(x) + \ln(1+1/x)}{\ln(x)} = 1 + \frac{\ln(1+1/x)}{\ln(x)} \]Quand \(x \to +\infty\), \(1/x \to 0\), donc \(\ln(1+1/x) \to 0\). Et \(\ln(x) \to +\infty\).
Donc le terme \(\frac{\ln(1+1/x)}{\ln(x)} \to 0\).
Ainsi, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} = 1\). Les fonctions sont équivalentes.
2. Équivalence avec racines
\(f(x) = \sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\).
On veut comparer avec \(g(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \times 2\sqrt{x} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1+1/x}+1)} = \frac{2}{\sqrt{1+1/x}+1} \]Quand \(x \to +\infty\), \(1/x \to 0\), donc \(\sqrt{1+1/x} \to 1\).
La limite est \(\frac{2}{1+1} = 1\). C'est gagné.
3. Équivalents usuels
- \(\ln(x)\) en 1 : Posons \(h = x-1\). Quand \(x \to 1\), \(h \to 0\).
\(\ln(x) = \ln(1+h) \sim h\) (limite usuelle \(\frac{\ln(1+h)}{h} \to 1\)).
Donc \(\boxed{\ln(x) \sim x-1}\) en 1. - \(\sin(5x)\) en 0 : On sait que \(\sin(u) \sim u\) en 0.
Donc \(\boxed{\sin(5x) \sim 5x}\) en 0. - \(\exp(x)\) en 0 : Attention, \(\exp(x) \to 1 \neq 0\).
L'équivalent est simplement sa limite si elle est non nulle.
Donc \(\boxed{\exp(x) \sim 1}\) en 0.
(Si on cherchait \(\exp(x)-1\), ce serait \(\sim x\)).
4. Intérêt
Les équivalents permettent de simplifier l'étude locale d'une fonction (limites, signe) en la remplaçant par une fonction plus simple (souvent un monôme) qui a le même comportement localement.