1) On factorise par \(e^{2x}\) : \(e^{2x} - x^3 = e^{2x} \left(1 - \frac{x^3}{e^{2x}}\right)\). Par croissance comparée, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^{2x}} = 0\).
Donc la limite est \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x}(1-0) = \boxed{+\infty}\).

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2) On factorise par \(e^x\) au numérateur et au dénominateur :
\(\frac{e^x}{e^x(1+1/e^x)} = \frac{1}{1+e^{-x}}\). Comme \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0\), la limite est \(\frac{1}{1+0} = \boxed{1}\).

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3) On développe : \( (x+1)e^x = xe^x + e^x \).
Par croissance comparée, \(\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0\). De plus, \(\lim_{x \to -\infty} e^x=0\).
Par somme, la limite est \(0+0 = \boxed{0}\).

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4) On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction \(g(x)=e^x\) en \(a=0\).
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = g'(0)\).
Comme \(g'(x)=e^x\), on a \(g'(0)=e^0=1\). La limite est \(\boxed{1}\).

Soit \(f(x) = x - 2 + e^{-x+1}\).

1) Limites

• En \(+\infty\) : \(\lim_{x \to +\infty} (x-2) = +\infty\). \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x+1} = 0\). Donc \(\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}\).
• En \(-\infty\) : C'est une F.I. Factorisons par \(e^{-x+1}\) :
  \(f(x) = e^{-x+1} \left( \frac{x-2}{e^{-x+1}} + 1 \right)\).
  Posons \(X = -x+1 \implies x = 1-X\). Si \(x \to -\infty\), \(X \to +\infty\).
  \(\frac{x-2}{e^{-x+1}} = \frac{(1-X)-2}{e^X} = \frac{-X-1}{e^X} = -\frac{X}{e^X} - \frac{1}{e^X}\).
  Par croissance comparée, \(\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{e^X} = 0\) et \(\lim_{X \to +\infty} \frac{1}{e^X} = 0\).
  Donc \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{e^{-x+1}} = 0\).
  La limite est \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x+1} \left( 0 + 1 \right) = \boxed{+\infty}\).

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2) Variations
\(f'(x) = 1 - e^{-x+1}\).
\(f'(x) > 0 \iff 1 > e^{-x+1} \iff e^0 > e^{-x+1} \iff 0 > -x+1 \iff x > 1\).
La fonction est décroissante sur \(]-\infty, 1]\) et croissante sur \([1, +\infty[\).

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3) Solution de \(f(x)=0\)
Le minimum de \(f\) est atteint en \(x=1\) et vaut \(f(1)=1-2+e^{-1+1} = -1+e^0 = 0\).
La fonction est toujours positive ou nulle (son minimum est 0) et ne s'annule qu'en son minimum.
L'équation \(f(x)=0\) admet donc une unique solution \(\boxed{\alpha = 1}\).

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4) Convexité
\(f''(x) = -(-1)e^{-x+1} = \boxed{e^{-x+1}}\).
Comme \(e^{-x+1} > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe est entièrement située au-dessus de ses tangentes.

Méthode : Nous allons utiliser une fonction auxiliaire pour résoudre cette équation différentielle.

Posons \(g(x) = f(x) \cdot e^{-x}\). Calculons la dérivée de \(g\) :

\[ g'(x) = f'(x) \cdot e^{-x} + f(x) \cdot (-e^{-x}) = f'(x) \cdot e^{-x} - f(x) \cdot e^{-x} \] \[ g'(x) = e^{-x}(f'(x) - f(x)) \]

Or, d'après l'équation fonctionnelle, \(f'(x) = f(x)\), donc :

\[ g'(x) = e^{-x}(f(x) - f(x)) = e^{-x} \cdot 0 = 0 \]

Puisque \(g'(x) = 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la fonction \(g\) est constante.

Il existe donc une constante \(C\) telle que \(g(x) = C\) pour tout \(x\).

Cela signifie que \(f(x) \cdot e^{-x} = C\), soit \(f(x) = C \cdot e^x\).

Utilisons la condition initiale \(f(0) = 3\) :

\[ f(0) = C \cdot e^0 = C \cdot 1 = C = 3 \]

Donc \(\boxed{f(x) = 3e^x}\).

Vérification : \(f'(x) = 3e^x = f(x)\) ✓ et \(f(0) = 3e^0 = 3\) ✓

Réponse finale : \(\boxed{f(2) = 3e^2}\)

1) Montrons par récurrence que \(u_n \geq 1\)

Initialisation : \(u_0 = 1 \geq 1\) ✓

Hérédité : Supposons \(u_n \geq 1\). Alors :

\[ u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + e^{u_n}) \geq \frac{1}{2}(1 + e^1) = \frac{1 + e}{2} \]

Comme \(e \approx 2{,}718\), on a \(\frac{1 + e}{2} \approx 1{,}859 > 1\).

Donc \(u_{n+1} \geq 1\).

Conclusion : \(\boxed{\forall n \geq 0, \; u_n \geq 1}\)

2) Étude de la monotonie

Calculons \(u_{n+1} - u_n\) :

\[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(u_n + e^{u_n}) - u_n = \frac{1}{2}(e^{u_n} - u_n) \]

Le signe de \(u_{n+1} - u_n\) dépend donc du signe de \(e^{u_n} - u_n\).

Considérons la fonction \(h(x) = e^x - x\) sur \([1; +\infty[\).

\(h'(x) = e^x - 1 > 0\) pour \(x \geq 1\) (car \(e^x > e^1 = e > 1\)).

Donc \(h\) est croissante sur \([1; +\infty[\).

\(h(1) = e^1 - 1 = e - 1 > 0\).

Par conséquent, pour tout \(x \geq 1\), \(h(x) \geq h(1) > 0\), soit \(e^x - x > 0\).

Donc \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(e^{u_n} - u_n) > 0\).

Conclusion : \(\boxed{\text{La suite } (u_n) \text{ est strictement croissante}}\)

3) Convergence et limite

Montrons que la suite est majorée. Nous allons montrer que si \(u_n \leq 2\), alors \(u_{n+1} \leq 2\).

Si \(u_n \leq 2\), alors :

\[ u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + e^{u_n}) \leq \frac{1}{2}(2 + e^2) \]

Comme \(e^2 \approx 7{,}39\), on a \(\frac{1}{2}(2 + e^2) \approx 4{,}69 > 2\).

Cette approche ne fonctionne pas directement. Essayons une autre méthode.

Puisque la suite est croissante et minorée par 1, elle converge vers une limite \(\ell \geq 1\).

En passant à la limite dans la relation de récurrence :

\[ \ell = \frac{1}{2}(\ell + e^\ell) \] \[ 2\ell = \ell + e^\ell \] \[ \ell = e^\ell \]

Cette équation n'a pas de solution avec \(\ell > 0\) car la fonction \(f(x) = e^x - x\) vérifie \(f'(x) = e^x - 1 > 0\) pour \(x > 0\) et \(f(0) = 1 > 0\).

En réalité, la suite croît vers \(+\infty\). Vérifions :

Si \(u_n \geq 2\), alors \(u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + e^{u_n}) \geq \frac{1}{2}(u_n + e^2) > u_n\) car \(e^2 > u_n\).

Conclusion : \(\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty}\)