Terminale : Exercices sur les équations différentielles
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Second membre exponentiel) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ y'+y=e^{-x} \]- Vérifier que la fonction \(x\mapsto xe^{-x}\) est solution de l'équation.
- Résoudre l'équation différentielle et en déduire toutes ses solutions.
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1. Calculez la dérivée de la fonction proposée et injectez-la dans l'équation.
2. Solution générale = Solution homogène + Solution particulière.
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1. Vérification
Soit \(f(x) = xe^{-x}\). On calcule \(f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}\).
On injecte dans l'équation : \(f'(x) + f(x) = (1-x)e^{-x} + xe^{-x} = e^{-x}(1-x+x) = e^{-x}\).
L'égalité est vérifiée, donc \(f\) est bien solution.
2. Résolution complète
Solution homogène : \(y' + y = 0 \iff y' = -y\). Les solutions sont \(y_h(x) = Ce^{-x}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
Solution particulière : D'après la question 1, \(y_p(x) = xe^{-x}\) est une solution particulière.
Solution générale : \(y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{-x} + xe^{-x} = \boxed{(C+x)e^{-x}}\).
Exercice n°2 (Méthode d'Euler) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ y'=3y(1-y) \quad \textrm{avec} \quad y(0)=1 \]Soit \(N\in\mathbb{N}\) et \(f\) une solution de l'équation différentielle. On se place sur l'intervalle \([0,1]\) et on note \(h\) le pas.
- En définissant la bonne suite \((x_k)_{1\le k \le N}\), trouver la fonction \(g\) qui vérifie : \[ f(x_{k+1})=g(f(x_k)) \]
- Écrire un code Python qui permet de résoudre cette équation sur l'intervalle \([0,1]\) puis tracer la solution.
- En utilisant le changement de variable \(z=1/y\), résoudre l'équation directement.
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1. Approximation d'Euler : \(f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)\).
2. Utilisez une boucle pour calculer les valeurs successives.
3. Exprimez \(z'\) en fonction de \(y'\).
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1. Relation de récurrence
La méthode d'Euler donne l'approximation : \(f(x+h) \approx f(x) + h f'(x)\).
D'après l'équation, \(f'(x) = 3f(x)(1-f(x))\).
Donc \(f(x_{k+1}) \approx f(x_k) + h \cdot 3f(x_k)(1-f(x_k))\).
La fonction \(g\) est donc définie par \(\boxed{g(X) = X + 3hX(1-X)}\).
2. Code Python
import matplotlib.pyplot as plt
def euler_method(N):
h = 1/N
x = [0]
y = [1] # Condition initiale y(0)=1
for k in range(N):
val_y = y[-1]
# y_{k+1} = y_k + h * 3 * y_k * (1 - y_k)
new_y = val_y + h * 3 * val_y * (1 - val_y)
x.append(x[-1] + h)
y.append(new_y)
plt.plot(x, y, label=f'N={N}')
plt.legend()
plt.show()
euler_method(100)3. Résolution directe
Posons \(z = 1/y\). Alors \(y = 1/z\) et \(y' = -z'/z^2\).
L'équation \(y' = 3y(1-y)\) devient :
\[ -\frac{z'}{z^2} = 3 \frac{1}{z} \left(1 - \frac{1}{z}\right) = 3 \frac{1}{z} \frac{z-1}{z} = 3 \frac{z-1}{z^2} \]En multipliant par \(-z^2\) (car \(y \neq 0\)), on obtient : \(z' = -3(z-1) = -3z + 3\).
C'est une équation linéaire \(z' + 3z = 3\).
Solution homogène : \(z_h(x) = Ke^{-3x}\).
Solution particulière évidente : \(z_p(x) = 1\).
Donc \(z(x) = 1 + Ke^{-3x}\).
On revient à \(y\) : \(y(x) = \frac{1}{1 + Ke^{-3x}}\).
Condition initiale : \(y(0)=1 \implies 1 = \frac{1}{1+K} \implies 1+K=1 \implies K=0\).
Donc la solution est \(\boxed{y(x) = 1}\).
(Remarque : Si on avait \(y(0) \neq 1\), on aurait une courbe logistique classique).
Exercice n°3 (Second membre polynomial) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ y'=x(x^2-1) \quad \textrm{avec} \quad y(0)=1 \]Résoudre l'équation différentielle et en déduire toutes ses solutions.
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Il s'agit d'une simple recherche de primitive. Développez l'expression avant d'intégrer.
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On développe le second membre : \(y' = x^3 - x\).
On intègre directement : \(y(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
Condition initiale : \(y(0)=1 \implies \frac{0}{4} - \frac{0}{2} + C = 1 \implies C=1\).
La solution est \(\boxed{y(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + 1}\).
Exercice n°4 (Équation différentielle du second ordre à coefficients non constants) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ (1+x^2)y''+xy'-y=0 \]Vérifier que la fonction \(x\mapsto x + \sqrt{1+x^2}\) est bien solution de l'équation.
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Calculez les dérivées première et seconde de la fonction proposée, puis remplacez dans l'équation pour vérifier l'égalité.
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Soit \(f(x) = x + \sqrt{1+x^2}\).
Calculons \(f'(x)\) :
\[ f'(x) = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{f(x)}{\sqrt{1+x^2}} \]Calculons \(f''(x)\) :
\[ f''(x) = \left( \frac{f(x)}{\sqrt{1+x^2}} \right)' = \frac{f'(x)\sqrt{1+x^2} - f(x)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} \] \[ f''(x) = \frac{f(x) - \frac{x f(x)}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{f(x)(1 - \frac{x}{\sqrt{1+x^2}})}{1+x^2} \]Injectons dans l'équation \((1+x^2)y'' + xy' - y\) :
\[ (1+x^2)f''(x) + xf'(x) - f(x) = f(x)\left(1 - \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) + x\frac{f(x)}{\sqrt{1+x^2}} - f(x) \] \[ = f(x) - \frac{x f(x)}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x f(x)}{\sqrt{1+x^2}} - f(x) = 0 \]L'égalité est vérifiée, donc \(f\) est bien solution.
Exercice n°5 (Évolution d'une population de bactéries) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Une colonie de 2000 bactéries est placée dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence. On admet que l’évolution en fonction du temps \(t\) (en heures) du nombre d’individus \(N\) de cette colonie est solution de l’équation différentielle :
\[ N'+aN^2-bN=0 \quad (*) \]où \(a\) et \(b\) sont des réels positifs.
On suppose que la population de bactéries n'est jamais nulle à partir de \(t\ge0\).
- Montrer que \(N\) est solution de l'équation \((*)\) si et seulement si la fonction \(n=1/N\) est solution de l'équation différentielle \(y'+by=a\).
- Déterminer l'expression de \(n\) et en déduire celle de \(N\).
- Déterminer le nombre d'individus dans la population au bout de deux heures.
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1. Calculez la dérivée de \(n = 1/N\) en fonction de \(N\) et \(N'\).
2. Résolvez l'équation linéaire du premier ordre pour \(n\).
3. Utilisez la condition initiale (\(N(0) = 2000\)).
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1. Changement de variable
Si \(n = 1/N\), alors \(N = 1/n\) et \(N' = -n'/n^2\).
L'équation \(N' + aN^2 - bN = 0\) devient :
\[ -\frac{n'}{n^2} + a\frac{1}{n^2} - b\frac{1}{n} = 0 \]En multipliant par \(-n^2\) (car \(N \neq 0\)), on obtient : \(n' - a + bn = 0 \iff n' + bn = a\).
2. Résolution
L'équation \(n' + bn = a\) a pour solution :
\[ n(t) = C e^{-bt} + \frac{a}{b} \]On en déduit \(N(t)\) :
\[ N(t) = \frac{1}{C e^{-bt} + \frac{a}{b}} = \frac{b}{b C e^{-bt} + a} \]3. Application
À \(t=0\), \(N(0) = 2000\). Donc \(\frac{b}{bC+a} = 2000\).
\(bC+a = \frac{b}{2000} \implies C = \frac{1}{2000} - \frac{a}{b}\).
Le nombre d'individus au bout de 2 heures est :
\[ N(2) = \frac{b}{b \left(\frac{1}{2000} - \frac{a}{b}\right) e^{-2b} + a} \](L'expression dépend des valeurs de \(a\) et \(b\)).
En route vers le supérieur
Exercice n°6 (Familiarisation avec la forme générale) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère \(n\in \mathbb{N}\) et \(y\) une fonction dérivable \(n\) fois sur un intervalle de \(\mathbb{R}\) noté \(I\). On rappelle que \(y\) est solution d'une équation différentielle \((E)\) lorsqu'il existe une fonction \(F\) non nulle telle que :
\[ \forall x \in I, \quad \quad F\left(y,y',y'',...,y^{(n)}\right)(x)=0 \quad (*) \]où \(y^{(n)}\) désigne la dérivée \(n\)-ème de \(y\) sur \(I\).
- Dans cette définition générale, identifier les variables de \(F\).
- Dans les cas suivants, trouver la fonction \(F\) vérifiant la définition \((*)\) lorsque \(y\) vérifie les équations différentielles suivantes : \begin{align*} (E_1) :& \quad yy'+5y^2=5y\\ (E_2) :& \quad y^{(5)}y^{(3)}y-5y^3y'-5=0\\ (E_3) :& \quad y'e^y-\sin(y)=0 \end{align*}
- Rappeler, dans le cas où \(F:(y,y')\mapsto F(y,y')\), ce que signifie que \(F\) est linéaire. Donner un exemple d'équations différentielles linéaire et non linéaire.
- Comment peut-on interpréter géométriquement une équation de la forme \(F(y,y')=0\) lorsqu'elle est linéaire ?
- Écrire le principe de superposition en utilisant \(F\) dans le cas d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. On rappelle que si l'on note \(\lambda\) et \(\mu\) des réels, le principe de superposition permet d'écrire : \[ \textrm{Si } \left\{ \begin{array}{ll} f_1 \textrm{ est solution de } ay'+by=g_1 \\ f_2 \textrm{ est solution de } ay'+by=g_2 \\ \end{array} \right. \textrm{ alors } \lambda f_1+\mu f_2 \textrm{ est solution de } ay'+by=\lambda g_1+\mu g_2 \]
- Donner un exemple d'équation différentielle qui ne vérifie pas le principe de superposition.
- Résoudre l'équation \(y'=y\). Relier les pentes de la solution à la fonction elle-même et les représenter pour des petites valeurs \(x\in\{-2,-1,0,1,2\}\).
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1. Regardez les arguments de la fonction \(F\).
2. Mettez tout du même côté de l'égalité pour obtenir \(= 0\).
3. Linéarité : \(F(au+bv) = aF(u) + bF(v)\).
4. Pensez à l'équation d'une droite ou d'un plan.
5. Utilisez la linéarité de \(F\).
6. Cherchez une équation avec des termes au carré ou des produits de \(y\).
7. La solution est l'exponentielle.
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1. Variables de \(F\)
La fonction \(F\) prend en argument la fonction \(y\) et ses dérivées successives jusqu'à l'ordre \(n\). Les variables sont donc \((y, y', y'', \dots, y^{(n)})\).
2. Identification de \(F\)
- \((E_1)\) : \(yy' + 5y^2 - 5y = 0\). Donc \(F(y, y') = yy' + 5y^2 - 5y\).
- \((E_2)\) : \(y^{(5)}y^{(3)}y - 5y^3y' - 5 = 0\). Donc \(F(y, y', y^{(3)}, y^{(5)}) = y^{(5)}y^{(3)}y - 5y^3y' - 5\).
- \((E_3)\) : \(y'e^y - \sin(y) = 0\). Donc \(F(y, y') = y'e^y - \sin(y)\).
3. Linéarité
\(F\) est linéaire si \(F(\lambda u + \mu v) = \lambda F(u) + \mu F(v)\) (par rapport aux variables \(y, y'\)).
Exemple linéaire : \(y' + y = 0\) (ici \(F(y, y') = y' + y\)).
Exemple non linéaire : \(y'^2 + y = 0\) (car le carré n'est pas une opération linéaire).
4. Interprétation géométrique
Une équation linéaire du type \(ay' + by = c\) définit, pour chaque point \((x, y)\), une relation affine entre la pente \(y'\) et l'ordonnée \(y\). C'est l'équation d'un plan dans l'espace \((x, y, y')\).
5. Principe de superposition
Si \(F\) est linéaire, alors \(F(f_1) = g_1\) et \(F(f_2) = g_2\) implique \(F(\lambda f_1 + \mu f_2) = \lambda F(f_1) + \mu F(f_2) = \lambda g_1 + \mu g_2\).
6. Contre-exemple
L'équation \(y' = y^2\) ne vérifie pas le principe de superposition. Si \(y\) est solution, \(2y\) n'est pas forcément solution de \(y' = (2y)^2 = 4y^2\).
7. Résolution de \(y'=y\)
Les solutions sont de la forme \(y(x) = Ce^x\).
Géométriquement, en tout point \((x, y)\), la pente de la tangente est égale à l'ordonnée \(y\).
Exercice n°7 (Fausse équation du second ordre) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ y''+y'=x \]De deux manière différentes, en intégrant et à l'aide d'un changement de variable, retrouver les solutions de cette équation différentielle.
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1. Intégrez chaque terme de l'équation.
2. Posez \(Z = y'\).
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Méthode 1 : Intégration directe
On intègre l'équation \(y''+y'=x\) :
\[ y' + y = \frac{x^2}{2} + C_1 \]C'est une équation linéaire du premier ordre. Solution homogène : \(y_h = K e^{-x}\).
Solution particulière de la forme \(y_p = ax^2+bx+c\).
\(y_p' = 2ax+b\).
\(2ax+b + ax^2+bx+c = ax^2 + (2a+b)x + b+c = \frac{x^2}{2} + C_1\).
Par identification : \(a=1/2\), \(2a+b=0 \implies b=-1\), \(b+c=C_1 \implies c=C_1+1\).
Donc \(y(x) = K e^{-x} + \frac{1}{2}x^2 - x + C_2\) (avec \(C_2 = C_1+1\)).
Méthode 2 : Changement de variable
Posons \(Z = y'\). L'équation devient \(Z' + Z = x\).
Solution homogène : \(Z_h = K e^{-x}\).
Solution particulière évidente : \(Z_p = x-1\) (car \(1 + x-1 = x\)).
Donc \(Z(x) = K e^{-x} + x - 1\).
On intègre pour trouver \(y\) : \(y(x) = \int (K e^{-x} + x - 1) dx\).
\(y(x) = -K e^{-x} + \frac{x^2}{2} - x + K'\).
En posant \(A=-K\) et \(B=K'\), on retrouve la même forme : \(\boxed{y(x) = A e^{-x} + \frac{x^2}{2} - x + B}\).
Exercice n°8 (Second membre polynomial-exponentiel) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ y'+y=e^{-x}(1+x) \]- Résoudre l'équation différentielle homogène associée.
- Déterminer une solution particulière \(f\) sous la forme : \[ f:x\mapsto e^{-x}(ax^2+bx+c) \] où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels à déterminer.
- En déduire l'ensemble des solutions.
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1. L'équation homogène est \(y' + y = 0\).
2. Dérivez \(f\), injectez dans l'équation complète et identifiez les coefficients par identification.
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1. Équation homogène
\(y' + y = 0\). Les solutions sont \(y_h(x) = C e^{-x}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
2. Solution particulière
Soit \(f(x) = e^{-x}(ax^2+bx+c)\).
\(f'(x) = -e^{-x}(ax^2+bx+c) + e^{-x}(2ax+b) = e^{-x}(-ax^2 + (2a-b)x + b-c)\).
\(f'(x) + f(x) = e^{-x}( (-ax^2+(2a-b)x+b-c) + (ax^2+bx+c) ) = e^{-x}(2ax+b)\).
On veut \(f'(x)+f(x) = e^{-x}(1+x)\). Par identification :
- \(2a = 1 \implies a = 1/2\)
- \(b = 1\)
- \(c\) est quelconque, prenons \(c=0\).
Donc \(f(x) = e^{-x}\left(\frac{1}{2}x^2 + x\right)\).
3. Solution générale
\(y(x) = y_h(x) + f(x) = C e^{-x} + e^{-x}\left(\frac{1}{2}x^2 + x\right) = \boxed{e^{-x}\left(\frac{1}{2}x^2 + x + C\right)}\).
Exercice n°9 (Équation différentielle homogène du second ordre) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère l'équation différentielle suivante :
\[ ay''+by'+cy=0 \quad (*) \]- Montrer que la fonction \(x\mapsto \lambda e^{rx}\) avec \(\lambda\in\mathbb{R}\) est solution de \((*)\) si et seulement si \(r\) est solution de l'équation caractéristique suivante : \[ ax^2+bx+c=0 \] On suppose dans toute la suite que \(b^2-4ac\ge0\) et on note \(r_1\) et \(r_2\) les solutions de l'équation caractéristique.
- Exprimer \(r_1+r_2\) et \(r_1r_2\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\). Réécrire l'équation caractéristique \(ax^2+bx+c=0\) en fonction de \(r_1\) et \(r_2\) seulement.
- En utilisant \((*)\) écrite avec les réels \(r_1\) et \(r_2\), montrer que : \[ y'-r_1y=Ce^{r_2x} \quad (**) \]
- En utilisant \((**)\), déterminer une solution particulière de la forme \(x\mapsto Be^{r_2x}\).
- En déduire, dans ce cas, la solution de l'équation homogène \((*)\) : \[ y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x} \quad \textrm{où }(A,B)\in\mathbb{R}^2 \] Vérifier que ces formes sont bien solutions de \((*)\).
- En utilisant \((***)\), déterminer une solution particulière de la forme \(x\mapsto Dxe^{rx}\). \[ y(x)=(Ax+B)e^{rx} \quad \textrm{où }(A,B)\in\mathbb{R}^2 \] Vérifier que ces formes sont bien solutions de \((*)\).
- Résumer en un énoncé le résultat que l'on vient d'établir.
- Appliquer ce résultat aux des exemples suivants : \[ \left\{ \begin{array}{ll} y''-y'-y=0 \\ y(0)=1 \textrm{ et } y'(0)=0 \\ \end{array} \right. \quad \textrm{et} \quad \left\{ \begin{array}{ll} y''-y=0 \\ y(0)=1 \textrm{ et } y'(0)=1 \\ \end{array} \right. \]
On suppose d'abord que \(r_1\) et \(r_2\) sont deux racines distinctes.
On suppose dorénavant que \(r_1\) et \(r_2\) sont confondues. On note cette racine double \(r\). On peut montrer de la même manière que :
\[ y'-ry=Ce^{rx} \quad (***) \]Voir l'indice
C'est un exercice théorique guidé. Suivez pas à pas les questions.
Pour la question 2, pensez aux relations coefficients-racines.
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1. Équation caractéristique
Si \(y(x) = \lambda e^{rx}\), alors \(y' = \lambda r e^{rx}\) et \(y'' = \lambda r^2 e^{rx}\).
\(ay''+by'+cy = \lambda e^{rx}(ar^2+br+c) = 0 \iff ar^2+br+c=0\) (car \(e^{rx} \neq 0\)).
2. Relations coefficients-racines
\(r_1+r_2 = -b/a\) et \(r_1r_2 = c/a\).
\(ax^2+bx+c = a(x-r_1)(x-r_2)\).
3. Équivalence
Dérivons \(y'-r_1y = C e^{r_2x}\) : \(y''-r_1y' = C r_2 e^{r_2x} = r_2(y'-r_1y)\).
\(y'' - (r_1+r_2)y' + r_1r_2y = 0\).
En multipliant par \(a\), on retrouve \(ay'' - a(r_1+r_2)y' + ar_1r_2y = ay''+by'+cy=0\).
4 & 5. Cas racines distinctes
Solution particulière de \(y'-r_1y = C e^{r_2x}\) : on cherche \(y_p = B e^{r_2x}\).
\(B(r_2-r_1)e^{r_2x} = C e^{r_2x} \implies B = \frac{C}{r_2-r_1}\).
Solution homogène de \(y'-r_1y=0\) : \(y_h = A e^{r_1x}\).
Donc \(y(x) = A e^{r_1x} + B e^{r_2x}\).
6. Cas racine double
Si \(r_1=r_2=r\), on a \(y'-ry = C e^{rx}\).
On cherche \(y_p = D x e^{rx}\). \(y_p' = D(e^{rx} + rxe^{rx})\).
\(y_p' - r y_p = D e^{rx} = C e^{rx} \implies D=C\).
Donc \(y(x) = (Ax+B)e^{rx}\).
7. Résumé
- Si \(\Delta > 0\), \(y(x) = A e^{r_1x} + B e^{r_2x}\).
- Si \(\Delta = 0\), \(y(x) = (Ax+B)e^{rx}\).
8. Exemples
Premier système : \(y''-y'-y=0\). \(\Delta=5\). \(r_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).
\(y(x) = A e^{r_1x} + B e^{r_2x}\).
Conditions initiales : \(A+B=1\) et \(Ar_1+Br_2=0\).
On trouve \(A = \frac{r_2}{r_2-r_1}\) et \(B = \frac{-r_1}{r_2-r_1}\).
Second système : \(y''-y=0\). \(r^2-1=0 \implies r=\pm 1\).
\(y(x) = A e^x + B e^{-x}\).
\(y(0)=A+B=1\) et \(y'(0)=A-B=1\).
En additionnant : \(2A=2 \implies A=1\). Donc \(B=0\).
Solution : \(\boxed{y(x) = e^x}\).