Terminale : Équations différentielles
Ce cours a été construit de façon à ne laisser aucun point sombre lors de l'apprentissage de ce dernier ou durant sa lecture. Il généralise dans les sections 1 et 2, la notion d'équation différentielle en essayant tant bien que mal à définir de la manière la plus rigoureuse chacun des termes clés. En première lecture, le lecteur pourra se contenter de lire seulement les sections 3 et 4. Pour approfondir la notion, nous l'invitons à compléter sa lecture avec les sections 1 et 2.
📚 Table des matières
1. Première approche
Définition 1.
On appelle équation différentielle une équation où l'inconnue est une fonction. Plus généralement, on considère \(n\in \mathbb{N}\) et \(y\) une fonction dérivable \(n\) fois sur un intervalle de \(\mathbb{R}\) noté \(I\). On dit que \(y\) est solution d'une équation différentielle lorsqu'il existe une fonction \(F\) non nulle telle que :
où \(y^{(n)}\) désigne la dérivée \(n\)-ème de \(y\) sur \(I\).
Exemple 1.
Nous rencontrons en cours cette équation différentielle :
\[ y'+ay=0 \]où \(y\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(a\) une constante réelle. Essayons de trouver la fonction \(F\) tel que :
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \quad F\left(y,y'\right)(x)=0 \]Ici, on observe que cette fonction \(F\) s'écrit comme :
\[ F : \left(y,y'\right) \mapsto y'+ay \]On comprend ainsi la généralisation de la définition 1 sur cet exemple.
Maintenant que l'on a défini rigoureusement ce que représente une équation différentielle, nous devons maintenant déterminer des schémas de raisonnement qui nous permettront de trouver l'inconnue \(y\) dans les cas rencontrés en cours. C'est l'objet de la section 3. Mais avant, définissons notre cadre d'étude.
2. Équation différentielle linéaire normalisée du premier ordre
Ici, avant de détailler les solutions aux équations différentielles, il faut définir ces nouveaux termes : linéaire, normalisée et premier ordre.
Définition 2. (Linéaire)
On appelle équation différentielle linéaire, une équation différentielle qui ne fait pas intervenir de termes croisés entre \(y\) et ses dérivées successives. Autrement dit, la fonction \(F\) qui caractérise cette équation est de la forme suivante :
où \(a_0,a_1,...,a_n\) sont des réels et par convention, on pose : \(y^{(0)}=y\).
Nous pouvons généraliser la définition précédente. Cette généralisation s'adresse au lecteur averti ! Une équation différentielle est linéaire si et seulement s'il existe \(F\) linéaire au sens d'application linéaire telle que l'équation différentielle s'écrit :
\[ \forall x \in I, \quad \quad F\left(y,y',y'',...,y^{(n)}\right)(x)=0 \]L'intérêt de la linéarité est que cette équation vérifie alors le principe de superposition, c'est le théorème qui suit qu'on énonce dans le cas \(n=2\) mais qui se généralise naturellement pour \(n\ge3\).
Théorème 1. (Principe de superposition)
Soit \((E)\) une équation différentielle de la forme \(y'+ay=0\) où \(y\) est une fonction dérivable sur \(I\).
Soient \(f_1\) et \(f_2\) deux solutions de \((E)\) et \(\lambda\) un réel alors \(\lambda f_1+f_2\) est une solution de (E).
Preuve
Supposons qu'il existe \(f_1\) et \(f_2\) deux solutions de \((E)\) et prenons \(\lambda\) un réel quelconque. Montrons \(\lambda f_1+f_2\) est une solution de (E). Il suffit de l'écrire :
\[ \begin{align*} \left(\lambda f_1+f_2\right)'+a\left(\lambda f_1+f_2\right)& =\lambda f_1'+f_2'+a\lambda f_1+af_2 \quad \textrm{par linéarité de la dérivée}\\ &= \lambda f_1+a\lambda f_1+f_2'+af_2\\ &= \lambda\underbrace{\left(f_1'+af_1\right)}_{= 0} + \underbrace{\left(f_2'+af_2\right)}_{= 0} \quad \textrm{car $f_1$ et $f_2$ sont deux solutions de $(E)$} \\ &=0 \end{align*} \]On montre ainsi que \(\lambda f_1+f_2\) est solution de \((E)\).
Corollaire 1.
Toute équation différentielle linéaire vérifie le principe de superposition.
Preuve
Le résultat est immédiat. Il suffit d'utiliser la remarque précédente, hors-programme pour le vérifier. En effet, il faut ajouter à la preuve précédente l'argument de la linéarité de la somme finie.
Définition 3. (Normalisée)
On appelle équation différentielle linéaire normalisée, une équation différentielle linéaire qui a comme coefficient devant le terme de plus haute dérivation de \(y\) non nul égal à 1. En notant \(p\) l'ordre de dérivation le plus élevé de \(y\) tel que \(y^{(p)}\) est non nul alors \(a_p=1\) et la fonction \(F\) qui caractérise cette équation est de la forme suivante :
où \(a_0,a_1,...,a_p\) sont des réels avec \(a_p=1\).
La définition, bien qu'elle soit abstraite, permet de dire que l'équation différentielle de la forme \(y'+ay=0\) est normalisée car le coefficient devant \(y'\) est égal 1. C'est le cas \(p=1\) de la définition précédente.
Définition 4. (Premier ordre)
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre, une équation différentielle linéaire qui associe à travers une égalité les termes \(y\) et \(y'\). La fonction \(F\) qui caractérise cette équation est donc de la forme suivante :
où \(a_0,a_1\) deux réels.
Dans toute la suite, nous n'étudierons que des équations différentielles linéaires normalisées du premier ordre. En effet, les équations différentielles étudiées dans le cadre du programme sont de cette forme : électrocinétique, radioactivité, profil de la température.
Remarque. Nous pouvons proposer une plus grande généralisation des résultats précédemment cités. En effet, au lieu de prendre des coefficients \(a_0,a_1,...,a_n\) réels, nous aurions pu choisir des fonctions continues définies sur \(I\). Cette généralisation sera rencontrée durant vos études supérieures.
3. Résolution d'équations différentielles
Dans cette section, nous allons étudier différentes équations différentielles classiques dont la solution est à connaître parfaitement.
3.1. Solution polynomiale
Soient \(n\in \mathbb{N^*}\) et \(y\) une fonction dérivable \(n\) fois sur \(I\) et on pose (E), l'équation différentielle :
\[ y^{(n)}=0 \quad (E) \]où \(y^{(n)}\) désigne la dérivée \(n\)-ème de \(y\).
Définition 5. (Polynôme réel)
On appelle polynôme réel d'indéterminée \(X\) de degré \(n\), une combinaison linéaire de monômes de degré au plus égal à \(n\). Autrement, il existe \(c_0,c_1,...,c_n\) des réels tels que :
Définition 6. (Fonction polynomiale)
On appelle fonction polynomiale de degré \(n\) sur \(I\), toute fonction \(f\) définie sur \(I\) telle qu'il existe un polynôme \(P\) de degré \(n\) tel que pour tout \(x\in I\), \(f(x)=P(x)\).
Remarque. Grâce au cours sur la dérivabilité, on sait que toute fonction polynomiale \(f\) est dérivable autant de fois que l'on souhaite donc si on se donne \(n\in \mathbb{N}\) alors \(f\) est dérivable \(n\) fois sur \(\mathbb{R}\) (cas réel).
Théorème 2. (Solution polynomiale)
La solution à l'équation \((E)\) est un polynôme de degré \((n-1)\).
Preuve
Il faut prouver une équivalence, autrement dit, si \(y\) est solution de \((E)\) alors \(y\) est une fonction polynomiale de degré \((n-1)\) puis réciproquement, si \(f\) est une fonction polynomiale de degré \((n-1)\) alors \(f\) est solution de \((E)\).
\(\Longrightarrow\) : Soit \(y\) une fonction. Montrons ce résultat par récurrence, fixons \(n\) un entier naturel non nul et posons \(P(n)\) le prédicat : "Si \(y\) est dérivable \(n\) fois sur \(I\) et est solution de l'équation \(y^{(n)}=0\) alors \(y\) est une fonction polynomiale de degré \((n-1)\)".
Initialisation : On pose \(n=1\). On se donne \(y\) dérivable sur \(I\) et qui vérifie l'équation différentielle \(y'=0\). Il en suit naturellement que \(y\) est une fonction constante donc il existe \(C\) réel tel que pour tout \(x\in I\), \(y(x)=C=Cx^0\) car \(x^0=1\). Donc \(y\) est une fonction polynomiale de degré \(0\). La propriété est ainsi initialisée.
Hérédité : Soit \(n\in \mathbb{N^*}\) tel que la propriété \(P(n)\) est vérifiée. Montrons que la propriété au rang \((n+1)\) est vraie.
Soit \(y\) une fonction \((n+1)\) fois dérivable sur \(I\) solution de l'équation \(y^{(n+1)}=0\). Posons le changement de variable \(Y=y'\) alors \(Y\) est dérivable \(n\) fois sur \(I\) et est solution de l'équation \(Y^{(n)}=0\). Appliquons à \(Y\) notre hypothèse de récurrence. Il en résulte que \(Y\) est une fonction polynomiale de degré \((n-1)\). C'est équivalent à dire que \(y'\) est une fonction polynomiale de degré \((n-1)\). En intégrant une fois pour récupérer \(y\), il en suit que \(y\) est une fonction polynomiale de degré \(n\). L'hérédité se propage.
Conclusion : On vient de prouver que pour tout \(n\) entier naturel non nul, \(P(n)\) est vraie. Ce qui conclut la récurrence.
\(\Longleftarrow\) : Ici, il suffit de vérifier que la dérivée d'une fonction polynomiale de degré \(d\in \mathbb{N^*}\) abaisse son degré à \((d-1)\). Ainsi, le dériver \((d+1)\) fois conduit à un degré final égal à -1. Dans l'usage, un polynôme de degré -1 renvoie au polynôme constant égal à 0. Ainsi, en appliquant ce résultat dans notre cas, il en résulte que toute fonction polynomiale de degré \((n-1)\) est solution de \((E)\). On aurait pu démontrer l'observation précédente directement par récurrence en posant pour tout \(d\in \mathbb{N^*}\), \(P(d)\) : "Soit \(f\) une fonction polynomiale de degré \(d\) alors pour tout \(k\in \mathbb{N}\), \(d\ge k\), \(f^{(k)}\) est une fonction polynomiale de degré \((d-k)\)".
3.2. Solution de l'équation \(y'+ay=0\)
Soient \(a\) un réel et \(y\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et on note \((E)\), l'équation différentielle :
\[ y'+ay=0 \quad (E) \]On parle aussi d'équation différentielle homogène.
Théorème 3. (Solution de l'équation \(y'+ay=0\))
La solution à l'équation \((E)\) est de la forme suivante :
où \(C^{ste}\) est une constante réelle. De plus, si \(y\) est définie en 0 alors :
Preuve
Là encore, il faut prouver une équivalence. On raisonne comme suit :
\[ \begin{align*} y'+ay=0 &\iff \forall x\in I, \quad y'(x)+ay(x)=0\\ &\iff \forall x\in I,\quad \exp(ax)\left(y'(x)+ay(x)\right)=0 \\ &\iff \forall x\in I, \quad y'(x)\exp(ax)+ay(x)\exp(ax)=0\\ &\iff \forall x\in I, \quad (\exp\left(f\right)y)'(x)=0 \quad \textrm{où $f:x\mapsto ax$}\\ &\iff \exists C^{ste}\in \mathbb{R} : \forall x \in I,\quad (\exp\left(f\right)y)(x)=C^{ste}\\ &\iff \exists C^{ste}\in \mathbb{R} : \forall x \in I,\quad y(x)=C^{ste}\exp\left(-f(x)\right)\\ &\iff \exists C^{ste}\in \mathbb{R} : \forall x \in I,\quad y(x)=C^{ste}\exp\left(-ax\right) \end{align*} \]Cela achève la preuve.
3.3. Résolution d'une équation de la forme \(y'+ay=b\) avec \(b\) une constante
Soient \(a,b\) deux réels et \(y\) une fonction dérivable et on note \((E)\), l'équation différentielle :
\[ y'+ay=b \quad (E) \]On parle aussi d'équation différentielle à second membre constant.
Définition 7. (Solution particulière)
On appelle solution particulière de l'équation \((E)\), une fonction trouvée \(f_p\) solution de \((E)\) autrement dit \(f_p'+af_p=b\).
Théorème 4. (Forme des solutions d'une équation différentielle)
Notons \(f_p\) une solution particulière de \((E)\) et \(f\) une solution quelconque de \((E)\). Alors il existe \(h\) solution de l'équation homogène associée à (E) telle que :
Preuve
C'est un théorème d'existence ! Ici, il suffit de montrer que \(f-f_p\) est bien solution de l'équation homogène associée à \((E)\), c'est-à-dire, l'équation \(y'+ay=0\). Après vérification, il suffit d'observer que la fonction \(f-f_p\) appartient à l'ensemble des solutions à l'équation homogène \((E)\). Donc parmi toutes les fonctions de cet ensemble, une coïncide avec \(f-f_p\) d'où l'existence de \(h\) solution de l'équation homogène associée à \((E)\) telle que \(h=f-f_p\).
Théorème 5. (Solution de l'équation \(y'+ay=b\))
La solution à l'équation \((E)\) dépend de la valeur de \(a\).
Si \(a\) est nul, alors l'équation devient \(y'=b\) et la solution est une fonction polynomiale de degré 1.
Sinon, quand \(a\) est non nul alors la solution de \((E)\) est de la forme :
où \(C^{ste}\) est une constante réelle. De plus, si \(y\) est définie en 0 alors :
En résumé, quand \(a\) est non nul, la solution particulière s'écrit :
Preuve
Il suffit de trouver à quoi ressemble \(f\) une solution quelconque de \((E)\) mais le théorème 4 nous fournit que \(f\) s'écrit comme \(h+f_p\) où \(h\) est la solution à l'équation homogène associée à \((E)\) donnée par le théorème 3. Il manque plus que de voir à quoi ressemble \(f_p\). Ici, \(f_p\) que l'on cherche est constant donc \(f_p'=0\) d'où si \(f_p\) est solution de \((E)\) (par définition) alors \(af_p=b\) et donc \(f_p=\frac{b}{a}\) au sens d'égalité de fonctions. Pour établir l'égalité \(C^{ste}=y(0)-\frac{b}{a}\), il suffit de calculer \(f(0)\) car c'est définie.
Remarque. Petite observation sur la méthode de recherche de la solution \(f_p\). Pour trouver \(f_p\), on a supposé que \(f_p\) était déjà solution de \((E)\) donc \(f_p'+af_p=b\) car \(f_p\) est une solution particulière de \((E)\) donc on suppose qu'elle vérifie déjà cette propriété par définition. Or dans le cas d'une équation différentielle à coefficient constant, une solution constante marche, il suffit juste de la trouver et on la définit comme étant notre solution particulière.
3.4. Résolution d'une équation différentielle à second membre polynomial
Soient \(a\) réel, \(f\) une fonction polynomiale de degré \(d\in \mathbb{N}\), \(y\) une fonction dérivable et on note \((E)\), l'équation différentielle :
\[ y'+ay=f \quad (E) \]On parle d'équation différentielle à second membre polynomial.
Théorème 6. (Solution de l'équation \(y'+ay=f\) avec \(f\) une fonction polynomiale)
La solution à l'équation \((E)\) dépend de la valeur de \(a\).
Si \(a\) est nul, alors l'équation devient \(y'=f\) et une solution particulière \(p\) est une fonction polynomiale de degré \((d+1)\).
Sinon, quand \(a\) est non nul alors une solution particulière \(p\) de \((E)\) est une fonction polynomiale de degré \(d\).
Ainsi, selon les cas distingués, \(y\) s'écrit comme :
Preuve
La preuve est hors programme. En revanche, une version possible intéressante de démonstration est d'utiliser la méthode de la variation de la constante aussi hors programme... Cette méthode permettra de trouver une solution particulière selon les cas à différencier notée \(p\). Ensuite, en utilisant le théorème 4, on montre que \(y=h+p\) avec \(h\) une solution de l'équation \(y'+ay=0\).