Terminale : Exercices sur la dérivabilité
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Calculs de dérivées) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminer son ensemble de définition \(\mathcal{D}_f\) et son ensemble de dérivabilité, puis calculer sa fonction dérivée \(f'(x)\).
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1) Pour \(f_1\), utilisez la formule du produit : \((uv)' = u'v + uv'\).
2) Pour \(f_2\), utilisez la formule du quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Vérifiez que le dénominateur ne s'annule jamais.
3) Pour \(f_3\), rappelez-vous que \((e^u)' = u'e^u\) et \((\sqrt{w})' = \dfrac{w'}{2\sqrt{w}}\).
4) Pour \(f_4\), utilisez \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\). L'argument du logarithme doit être strictement positif.
5) Pour \(f_5\), simplifiez l'expression avant de dériver en utilisant \(\ln(\sqrt{A}) = \frac{1}{2}\ln(A)\) et \(\ln(A/B) = \ln(A) - \ln(B)\). Attention au domaine : l'intérieur du logarithme doit être strictement positif.
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1. Fonction \(f_1(x) = x^2 \sin(3x - 1)\)
Ensemble de définition :
La fonction \(f_1\) est le produit d'une fonction polynôme et d'une fonction sinus composées. Ces fonctions sont définies sur l'ensemble des réels.
\[ \mathcal{D}_{f_1} = \mathbb{R} \]Dérivabilité :
Posons \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \sin(3x - 1)\). La fonction \(u\) est une fonction polynôme, donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(v\) est la composée de la fonction affine \(x \mapsto 3x-1\) et de la fonction sinus, toutes deux dérivables sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) en tant que produit de fonctions dérivables.
Calcul de la dérivée :
Pour tout réel \(x\), on a \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = 3\cos(3x - 1)\).
En appliquant la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\), on obtient :
\[ f_1'(x) = 2x \sin(3x - 1) + x^2 (3\cos(3x - 1)) \] \[ \boxed{f_1'(x) = 2x \sin(3x - 1) + 3x^2 \cos(3x - 1)} \]2. Fonction \(f_2(x) = \frac{4x}{x^2 + 5}\)
Ensemble de définition :
Le dénominateur \(x^2 + 5\) ne s'annule jamais car pour tout réel \(x\), \(x^2 \ge 0\) donc \(x^2 + 5 \ge 5\). La fonction est donc définie sur tout \(\mathbb{R}\).
\[ \mathcal{D}_{f_2} = \mathbb{R} \]Dérivabilité :
Posons \(u(x) = 4x\) et \(v(x) = x^2 + 5\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont des polynômes, donc dérivables sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(v\) ne s'annule jamais sur \(\mathbb{R}\). Par conséquent, \(f_2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) en tant que quotient de fonctions dérivables.
Calcul de la dérivée :
Pour tout réel \(x\), on a \(u'(x) = 4\) et \(v'(x) = 2x\).
En utilisant la formule du quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), on obtient :
\[ f_2'(x) = \frac{4(x^2 + 5) - (4x)(2x)}{(x^2 + 5)^2} \] \[ f_2'(x) = \frac{4x^2 + 20 - 8x^2}{(x^2 + 5)^2} \] \[ \boxed{f_2'(x) = \frac{-4x^2 + 20}{(x^2 + 5)^2}} \]3. Fonction \(f_3(x) = e^{\sqrt{3x^2 + 1}}\)
Ensemble de définition :
La fonction racine carrée est définie si son argument est positif ou nul. Ici, pour tout réel \(x\), \(3x^2 + 1 \ge 1 > 0\). La condition est toujours vérifiée.
\[ \mathcal{D}_{f_3} = \mathbb{R} \]Dérivabilité :
La fonction \(x \mapsto 3x^2 + 1\) est dérivable et strictement positive sur \(\mathbb{R}\). La fonction racine carrée est dérivable sur \(]0; +\infty[\). Par composition, la fonction \(u : x \mapsto \sqrt{3x^2 + 1}\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\). Enfin, la fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, \(f_3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) par composition.
Calcul de la dérivée :
Posons \(u(x) = \sqrt{3x^2 + 1}\). La dérivée de \(\sqrt{w}\) est \(\frac{w'}{2\sqrt{w}}\), donc \(u'(x) = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2 + 1}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}\).
En appliquant la règle de la chaîne \((e^u)' = u'e^u\), on trouve :
\[ \boxed{f_3'(x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}} e^{\sqrt{3x^2 + 1}}} \]4. Fonction \(f_4(x) = \ln(2 + e^{-x})\)
Ensemble de définition :
Le logarithme népérien est défini si son argument est strictement positif. Pour tout réel \(x\), \(e^{-x} > 0\), donc \(2 + e^{-x} > 2 > 0\). La fonction est définie partout.
\[ \mathcal{D}_{f_4} = \mathbb{R} \]Dérivabilité :
La fonction \(u : x \mapsto 2 + e^{-x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et prend ses valeurs dans \(]2; +\infty[\). La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0; +\infty[\). Par composition, \(f_4\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Calcul de la dérivée :
On a \(u'(x) = -e^{-x}\).
En utilisant la formule \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\), on obtient :
\[ \boxed{f_4'(x) = \frac{-e^{-x}}{2 + e^{-x}}} \]5. Fonction \(f_5(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 1}} \right)\)
Ensemble de définition :
La fonction est définie si le terme à l'intérieur du logarithme est strictement positif. Comme une racine carrée est toujours positive ou nulle, il faut que l'intérieur de la racine soit strictement positif.
Posons la fonction auxiliaire \(h(x) = \dfrac{2x - 1}{2x + 1}\). Nous devons déterminer le signe de \(h(x)\).
Le numérateur \(2x - 1\) s'annule pour \(x = 1/2\). Le dénominateur \(2x + 1\) s'annule pour \(x = -1/2\) (valeur interdite).
Dressons le tableau de signes :
\[ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1/2 & & 1/2 & & +\infty \\ \hline 2x - 1 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline 2x + 1 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline h(x) & & + & || & - & 0 & + & \\ \hline \end{array} \]La fonction \(f_5\) est définie lorsque \(h(x) > 0\). D'après le tableau, cela correspond à :
\[ \mathcal{D}_{f_5} = ]-\infty ; -1/2[ \cup ]1/2 ; +\infty[ \]Dérivabilité :
Sur l'ensemble \(\mathcal{D}_{f_5}\), la fonction rationnelle \(x \mapsto \frac{2x - 1}{2x + 1}\) est dérivable et strictement positive. Par composition successive avec la fonction racine carrée (dérivable sur \(]0; +\infty[\)) et la fonction logarithme (dérivable sur \(]0; +\infty[\)), la fonction \(f_5\) est dérivable sur tout son ensemble de définition.
Calcul de la dérivée :
Pour simplifier le calcul, nous utilisons les propriétés du logarithme : \(\ln(\sqrt{A}) = \frac{1}{2}\ln(A)\) et \(\ln(A/B) = \ln(A) - \ln(B)\).
Ainsi, pour tout \(x \in \mathcal{D}_{f_5}\), \(f_5(x) = \frac{1}{2} \left( \ln(2x - 1) - \ln(2x + 1) \right)\).
Dérivons chaque terme : la dérivée de \(\ln(u)\) est \(\frac{u'}{u}\).
\[ f_5'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{2x - 1} - \frac{2}{2x + 1} \right) \]En factorisant par 2, on simplifie :
\[ f_5'(x) = \frac{1}{2} \times 2 \left( \frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{2x + 1} \right) = \frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{2x + 1} \]Mise au même dénominateur :
\[ f_5'(x) = \frac{(2x + 1) - (2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2}{4x^2 - 1} \] \[ \boxed{f_5'(x) = \frac{2}{4x^2 - 1}} \]Exercice n°2 (Étude d'une fonction composée) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la fonction \( f : x \mapsto \sqrt{1 - x^2} \). On note \( D \) le domaine de définition de \( f \) et \( D' \) son domaine de dérivabilité.
- Déterminer \( D \) et \( D' \).
- Donner une expression de \( f'(x) \) pour tout \( x \in D' \).
- Pour tout réel \( x \in D \), on pose \( g(x) = e^{\sqrt{1-x^2}} \).
- Justifier que \( g \) est dérivable sur \( D' \) et calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \) dans \( D' \).
- En déduire le sens de variations de \( g \).
- Tracer l'allure de la courbe représentative de \( g \) dans un repère orthonormé.
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1) Pour que la racine carrée soit définie, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. Pour la dérivabilité, elle doit être strictement positive.
2) Utilisez la formule de dérivation de \(\sqrt{u}\) : \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\).
3a) \(g\) est la composée de la fonction \(f\) suivie de la fonction exponentielle. Utilisez la formule \((e^u)' = u'e^u\).
3b) Étudiez le signe de la dérivée \(g'(x)\). Rappelez-vous que l'exponentielle est toujours strictement positive.
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1. Domaines de définition et de dérivabilité
La fonction \(x \mapsto 1-x^2\) est définie sur \(\mathbb{R}\) en tant que fonction polynomiale. La fonction racine carrée \(y \mapsto \sqrt{y}\) est définie sur \(\mathbb{R}_+\).
Donc, pour que \(f\) soit bien définie, il faut que :
\[ 1 - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 1 \iff x \in [-1 ; 1] \]Ainsi, le domaine de définition est \(\boxed{D = [-1 ; 1]}\).
Pour la dérivabilité, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. Il faut donc que l'expression sous la racine soit strictement positive :
\[ 1 - x^2 > 0 \iff x \in ]-1 ; 1[ \]Le domaine de dérivabilité est donc \(\boxed{D' = ]-1 ; 1[}\).
2. Expression de la dérivée \(f'(x)\)
On pose :
- Pour tout \(x \in ]-1 ; 1[\), \(u(x) = 1 - x^2\)
- Pour tout \(y \in ]0 ; +\infty[\), \(v(y) = \sqrt{y}\)
Alors :
- \(u'(x) = -2x\)
- \(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\)
Par composition, pour tout \(x \in ]-1 ; 1[\) :
\[ f'(x) = u'(x) \times v'(u(x)) = -2x \times \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \] \[ \boxed{f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}} \]3. Étude de la fonction \(g\)
a) Dérivabilité et calcul de \(g'(x)\)
La fonction \(g\) est définie par \(g(x) = e^{f(x)}\). Comme \(f\) est dérivable sur \(D' = ]-1 ; 1[\) et que la fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\), la composée \(g\) est dérivable sur \(D'\).
En utilisant la formule \((e^u)' = u'e^u\), on obtient pour tout \(x \in D'\) :
\[ g'(x) = f'(x) e^{f(x)} \] \[ \boxed{g'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} e^{\sqrt{1-x^2}}} \]b) Sens de variations
Pour tout \(x \in ]-1 ; 1[\), le terme \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) est strictement positif et l'exponentielle \(e^{\sqrt{1-x^2}}\) est strictement positive. Le signe de \(g'(x)\) dépend donc uniquement du signe de \(-x\).
Ainsi, \(g'(x)\) est positif sur \(]-1 ; 0[\) et négatif sur \(]0 ; 1[\). La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \([-1 ; 0]\) et strictement décroissante sur \([0 ; 1]\). Elle admet un maximum en \(x = 0\).
Tableau de variations :
On calcule les images : \(g(-1) = e^0 = 1\), \(g(1) = e^0 = 1\) et \(g(0) = e^1 = e\).
\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -1 & & 0 & & 1 \\ \hline g'(x) & || & + & 0 & - & || \\ \hline g(x) & 1 & \nearrow & e & \searrow & 1 \\ \hline \end{array} \]c) Allure de la courbe
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire car \(g(-x) = g(x)\)). Elle a la forme d'une cloche ou d'une arche, partant du point \((-1, 1)\), montant jusqu'au sommet \((0, e)\), et redescendant au point \((1, 1)\).