1. Calcul des dérivées

\[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) \] \[ f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2) \]

2. Variations de \(f\)

Étude du signe de \(f'(x) = 4x^2(x - 3)\) :

Le terme \(4x^2\) est toujours positif ou nul. Le signe de \(f'(x)\) dépend donc uniquement du signe de \(x - 3\). Ainsi, \(f'(x)\) est négatif sur \(]-\infty; 3]\) et positif sur \([3; +\infty[\).

Par conséquent, la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty; 3]\) et croissante sur l'intervalle \([3; +\infty[\).

Elle admet donc un minimum global en \(x = 3\), dont la valeur est \(f(3) = 81 - 108 + 6 = -21\).

3. Convexité et points d'inflexion

Étude du signe de \(f''(x) = 12x(x - 2)\) :

La dérivée seconde \(f''(x)\) est un polynôme du second degré qui s'annule en \(x = 0\) et \(x = 2\). Elle est du signe du coefficient dominant (positif) à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.

Ainsi, \(f\) est convexe sur \(]-\infty; 0]\) et sur \([2; +\infty[\), car \(f''(x) \geq 0\). Elle est concave sur l'intervalle \([0; 2]\), où \(f''(x) \leq 0\).

Points d'inflexion :

La fonction change de convexité en \(x = 0\) et en \(x = 2\). Les points d'inflexion sont donc \((0; f(0)) = \boxed{(0; 6)}\) et \((2; f(2)) = \boxed{(2; -10)}\).

4. Allure de la courbe

En résumé, la courbe représentative de \(f\) commence par être convexe en décroissant jusqu'au point d'inflexion \((0; 6)\). Elle devient ensuite concave tout en continuant de décroître, passant par le second point d'inflexion \((2; -10)\). Elle redevient alors convexe, atteint son minimum en \((3; -21)\), puis croît vers \(+\infty\) en \(\pm\infty\).

1. Calcul des dérivées

Première dérivée :

\[ f'(x) = 1 \times e^{-x} + x \times (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x) \]

Deuxième dérivée :

\[ f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x} \times (-1) = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} \] \[ f''(x) = -e^{-x}(1 - x + 1) = -e^{-x}(2 - x) = e^{-x}(x - 2) \]

2. Convexité de \(f\)

Puisque \(e^{-x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(x - 2\).

\(f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

• Si \(x < 2\) : \(f''(x) < 0\) donc \(f\) est concave sur \(]-\infty; 2]\)
• Si \(x > 2\) : \(f''(x) > 0\) donc \(f\) est convexe sur \([2; +\infty[\)

Point d'inflexion : \(x = 2\), \(f(2) = 2e^{-2} = \dfrac{2}{e^2}\)

\(\boxed{\left(2; \dfrac{2}{e^2}\right)}\)

3. Équation de la tangente au point d'inflexion

\(f'(2) = e^{-2}(1 - 2) = -e^{-2} = -\dfrac{1}{e^2}\)

L'équation de la tangente en \(x = 2\) est :

\[ y = f(2) + f'(2)(x - 2) \] \[ y = \frac{2}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x - 2) \] \[ y = \frac{2}{e^2} - \frac{x - 2}{e^2} \] \[ \boxed{y = \frac{4 - x}{e^2}} \]

4. Traversée de la tangente

Posons \(g(x) = f(x) - T(x) = xe^{-x} - \dfrac{4 - x}{e^2}\)

Calculons \(g'(x)\) :

\[ g'(x) = f'(x) - \left(-\frac{1}{e^2}\right) = e^{-x}(1 - x) + \frac{1}{e^2} \]

En \(x = 2\) : \(g(2) = 0\) (le point est sur la tangente)

Et \(g'(2) = e^{-2}(1 - 2) + e^{-2} = -e^{-2} + e^{-2} = 0\)

Calculons \(g''(x) = f''(x) = e^{-x}(x - 2)\)

\(g''(2) = 0\) mais \(g''\) change de signe en \(x = 2\).

Donc \(g(x)\) change de signe en \(x = 2\), ce qui signifie que la courbe traverse effectivement sa tangente au point d'inflexion.

1. Inégalité de Jensen pour 3 points

Méthode : On va appliquer la convexité plusieurs fois.

Posons \(m = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\). Par convexité de \(f\) avec \(\lambda = \dfrac{1}{2}\) :

\[ f(m) = f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \]

Maintenant, considérons \(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \dfrac{2m + x_3}{3} = \dfrac{1}{3}m + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{m + x_3}{2}\)

En fait, utilisons une approche plus directe. Posons :

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{1}{3}x_1 + \frac{1}{3}x_2 + \frac{1}{3}x_3 \]

On peut écrire \(\bar{x}\) comme une combinaison convexe en deux étapes :

\[ \bar{x} = \frac{2}{3} \times \frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{1}{3}x_3 \]

Par convexité :

\[ f(\bar{x}) \leq \frac{2}{3}f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) + \frac{1}{3}f(x_3) \]

Et par convexité à nouveau :

\[ f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \]

Donc :

\[ f(\bar{x}) \leq \frac{2}{3} \times \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} + \frac{1}{3}f(x_3) \] \[ f(\bar{x}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{3} + \frac{f(x_3)}{3} \] \[ \boxed{f\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)}{3}} \]

2. Application avec \(f(x) = x^2\)

On a montré que \(f(x) = x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

En appliquant l'inégalité de Jensen avec \(x_1 = a\), \(x_2 = b\), \(x_3 = c\) :

\[ \left(\frac{a + b + c}{3}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \]

Cette inégalité exprime que le carré de la moyenne est inférieur ou égal à la moyenne des carrés.

3. Bonus : Généralisation

Par récurrence, on peut montrer que pour une fonction convexe \(f\) et pour tous \(x_1, \ldots, x_n \in I\) :

\[ \boxed{f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + \cdots + f(x_n)}{n}} \]

C'est l'inégalité de Jensen, un résultat fondamental en analyse.

1. Concavité de \(f(x) = \ln(x)\)

On a déjà vu que :

\[ f'(x) = \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2} \]

Pour tout \(x > 0\), on a \(x^2 > 0\), donc \(f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\).

\(\boxed{\text{La fonction } \ln \text{ est concave sur } ]0; +\infty[}\)

2. Inégalité de concavité

Par définition, une fonction \(f\) est concave sur un intervalle \(I\) si pour tous \(\alpha, \beta \in I\) et pour tout \(\lambda \in [0; 1]\) :

\[ f(\lambda \alpha + (1-\lambda)\beta) \geq \lambda f(\alpha) + (1-\lambda)f(\beta) \]

En appliquant cette définition à \(f(x) = \ln(x)\) :

\[ \boxed{\ln(\lambda \alpha + (1-\lambda)\beta) \geq \lambda \ln(\alpha) + (1-\lambda)\ln(\beta)} \]

3. Application avec les paramètres donnés

On pose :

• \(\lambda = \dfrac{1}{p}\)
• \(\alpha = a^p\)
• \(\beta = b^q\)

Calcul de \(1 - \lambda\) :

Puisque \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\), on a :

\[ 1 - \lambda = 1 - \frac{1}{p} = \frac{1}{q} \]

Membre de gauche :

\[ \lambda \alpha + (1-\lambda)\beta = \frac{1}{p} \times a^p + \frac{1}{q} \times b^q = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \]

Membre de droite :

\[ \lambda \ln(\alpha) + (1-\lambda)\ln(\beta) = \frac{1}{p}\ln(a^p) + \frac{1}{q}\ln(b^q) \] \[ = \frac{1}{p} \times p\ln(a) + \frac{1}{q} \times q\ln(b) \] \[ = \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab) \]

En appliquant l'inégalité de concavité :

\[ \ln\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq \ln(ab) \]

4. Conclusion : Inégalité de Young

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0; +\infty[\).

Donc, de l'inégalité \(\ln\left(\dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\right) \geq \ln(ab)\), on déduit :

\[ \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \geq ab \]

D'où l'inégalité de Young :

\[ \boxed{ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}} \]

5. Application numérique

Avec \(a = 2\), \(b = 3\), \(p = 2\) et \(q = 2\) :

Vérification de la condition :

\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \quad ✓ \]

Membre de gauche :

\[ ab = 2 \times 3 = 6 \]

Membre de droite :

\[ \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} = \frac{2^2}{2} + \frac{3^2}{2} = \frac{4}{2} + \frac{9}{2} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5 \]

Vérification :

\[ 6 \leq 6{,}5 \quad ✓ \]

L'inégalité est bien vérifiée !

Partie A : Inégalité de droite

1. Étude de \(f(x) = x - \sin(x)\)

a) Calcul et signe de \(f'(x)\) :

\[ f'(x) = 1 - \cos(x) \]

Sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\), on a \(\cos(x) \in [0; 1]\), donc :

• \(\cos(x) \leq 1\) pour tout \(x\)
• Donc \(f'(x) = 1 - \cos(x) \geq 0\)

\(\boxed{f'(x) \geq 0 \text{ sur } \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}\)

b) Variations de \(f\) :

Puisque \(f'(x) \geq 0\), la fonction \(f\) est croissante sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Calculons \(f(0)\) :

\[ f(0) = 0 - \sin(0) = 0 \]

Comme \(f\) est croissante et \(f(0) = 0\), on a pour tout \(x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\) :

\[ f(x) \geq f(0) = 0 \]

\(\boxed{f(x) \geq 0 \text{ sur } \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}\)

c) Conclusion :

De \(f(x) \geq 0\), on déduit :

\[ x - \sin(x) \geq 0 \] \[ \boxed{\sin(x) \leq x} \]

Partie B : Inégalité de gauche

2. Concavité de \(\sin\) sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\)

Calculons la dérivée seconde de \(\sin(x)\) :

\[ (\sin(x))' = \cos(x) \] \[ (\sin(x))'' = -\sin(x) \]

Sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin(x) \geq 0\), donc :

\[ (\sin(x))'' = -\sin(x) \leq 0 \]

\(\boxed{\text{La fonction } \sin \text{ est concave sur } \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}\)

3. Position par rapport à la corde

Pour une fonction concave, la courbe est au-dessus de toutes ses cordes.

La corde reliant les points \(A(0; 0)\) et \(B\left(\dfrac{\pi}{2}; 1\right)\) représente le segment entre ces deux points sur la courbe de \(\sin\).

Donc pour tout \(x \in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\), le point \((x; \sin(x))\) est au-dessus de cette corde.

4. Équation de la corde et conclusion

Équation de la droite passant par \(A(0; 0)\) et \(B\left(\dfrac{\pi}{2}; 1\right)\) :

Le coefficient directeur est :

\[ m = \frac{1 - 0}{\frac{\pi}{2} - 0} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} \]

L'équation de la droite passant par l'origine avec ce coefficient est :

\[ y = \frac{2}{\pi}x \]

Puisque la courbe de \(\sin\) est au-dessus de cette corde, on a :

\[ \boxed{\sin(x) \geq \frac{2}{\pi}x} \]

Partie C : Application

5. Vérification numérique pour \(x = \dfrac{\pi}{4}\)

Calculs :

• \(x = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785\)
• \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)
• \(\dfrac{2}{\pi} \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\)

Vérification de l'encadrement :

\[ \frac{2}{\pi} \times \frac{\pi}{4} \leq \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\pi}{4} \] \[ 0{,}5 \leq 0{,}707 \leq 0{,}785 \quad \]

L'encadrement est bien vérifié !

6. Bonus : Extension à \(\mathbb{R}^+\)

Pour montrer que \(\sin(x) \leq x\) pour tout \(x \geq 0\) :

On a déjà montré que c'est vrai sur \(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

Pour \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \pi\right]\) :

• \(\sin(x) \leq 1\) (maximum du sinus)
• \(x \geq \dfrac{\pi}{2} > 1\)
• Donc \(\sin(x) \leq 1 < x\)

Pour \(x > \pi\) :

• \(\sin(x) \leq 1\) toujours
• \(x > \pi > 1\)
• Donc \(\sin(x) \leq 1 < x\)

\(\boxed{\text{L'inégalité } \sin(x) \leq x \text{ est vraie pour tout } x \geq 0}\)

1. Démonstration par récurrence

Initialisation : Pour \(n = 2\) et \(x > -1\) :

\[ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \]

Comme \(x^2 \geq 0\), on a :

\[ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geq 1 + 2x \quad \]

Hérédité : Supposons que pour un certain \(n \geq 2\), on ait :

\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]

Montrons que \((1 + x)^{n+1} \geq 1 + (n+1)x\).

Puisque \(x > -1\), on a \(1 + x > 0\). On peut donc multiplier l'hypothèse de récurrence par \((1 + x)\) :

\[ (1 + x)^{n+1} = (1 + x)^n \times (1 + x) \geq (1 + nx)(1 + x) \]

Développons le membre de droite :

\[ (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2 \]

Comme \(n \geq 2\) et \(x^2 \geq 0\), on a \(nx^2 \geq 0\), donc :

\[ (1 + x)^{n+1} \geq 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x \quad \]

Conclusion : Par récurrence, l'inégalité est vraie pour tout \(n \geq 2\).

2. Méthode par la convexité

a) Convexité de \(f(x) = (1 + x)^n\) :

Calculons les dérivées :

\[ f'(x) = n(1 + x)^{n-1} \] \[ f''(x) = n(n-1)(1 + x)^{n-2} \]

Comme \(n \geq 2\), \(n(n-1) > 0\). De plus, pour \(x > -1\), \(1 + x > 0\), donc \((1 + x)^{n-2} > 0\).

Ainsi \(f''(x) > 0\), donc \(f\) est convexe sur \(]-1; +\infty[\).

b) Tangente en 0 :

\(f(0) = (1+0)^n = 1\)

\(f'(0) = n(1+0)^{n-1} = n\)

L'équation de la tangente en 0 est :

\[ y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + nx \]

Comme \(f\) est convexe, sa courbe est au-dessus de sa tangente :

\[ f(x) \geq 1 + nx \]

c) Conclusion :

\[ \boxed{(1 + x)^n \geq 1 + nx} \]

3. Vérification numérique

Avec \(x = 0{,}5\) et \(n = 3\) :

• Membre de gauche : \((1 + 0{,}5)^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\)
• Membre de droite : \(1 + 3 \times 0{,}5 = 1 + 1{,}5 = 2{,}5\)

\(3{,}375 \geq 2{,}5\)

4. Application

Attention, l'inégalité de Bernoulli donne une minoration. Ici on cherche une majoration.

L'énoncé demande de montrer \((1 + 1/n)^n \leq 3\). L'inégalité de Bernoulli donne \((1+1/n)^n \geq 1 + n(1/n) = 2\), ce qui est vrai mais ne répond pas à la question.

Cependant, on sait que la suite \(u_n = (1 + 1/n)^n\) est croissante et converge vers \(e \approx 2{,}718\).

Comme \(e < 3\), l'inégalité est vraie pour \(n\) assez grand.

Pour une preuve rigoureuse utilisant Bernoulli, on peut utiliser une variante ou passer par le logarithme : \(\ln(u_n) = n \ln(1 + 1/n) \leq n(1/n) = 1\) (car \(\ln(1+x) \leq x\)).

Donc \(u_n \leq e^1 = e < 3\).