Terminale : Exercices sur les nombres complexes
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Équation du second degré) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\) l'équation suivante :
\[ z^2 - 6z + 25 = 0 \]Voir l'indice
Il s'agit d'une équation du second degré à coefficients réels. Calculez le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
Si \(\Delta < 0\), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées de la forme \(\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
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L'équation \(z^2 - 6z + 25 = 0\) d'inconnue \(z \in \mathbb{C}\) est une équation du second degré avec \(a=1\), \(b=-6\) et \(c=25\).
1. Calcul du discriminant
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 25 \] \[ \Delta = 36 - 100 = -64 \]2. Calcul des racines
Le discriminant est strictement négatif (\(\Delta < 0\)). L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées distinctes.
On a \(\sqrt{-\Delta} = \sqrt{64} = 8\).
Les solutions sont données par les formules :
\[ z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \]Soit :
\[ z_1 = \frac{-(-6) - 8i}{2 \times 1} = \frac{6 - 8i}{2} = \boxed{3 - 4i} \] \[ z_2 = \frac{-(-6) + 8i}{2 \times 1} = \frac{6 + 8i}{2} = \boxed{3 + 4i} \]Remarque : Si \(a, b, c\) sont réels et \(\Delta < 0\), les solutions sont toujours conjuguées (c'est-à-dire que la partie imaginaire de l'une est l'opposée de l'autre).
Exercice n°2 (Suites complexes et géométrie) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère la suite \((z_n)\) définie par \(z_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\) :
\[ z_{n+1} = \frac{z_n - 6}{1 + i} \]Partie A : Exploration
- Calculer \(z_1\) et \(z_2\) sous forme algébrique.
- Dans un repère orthonormé \((O; \vec{u}, \vec{v})\), placer les points \(M_0, M_1\) et \(M_2\) d'affixes respectives \(z_0, z_1\) et \(z_2\).
Partie B : Étude de la suite
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation : \(\omega = \dfrac{\omega - 6}{1 + i}\). (Ceci correspond au "point fixe" de la suite).
- On considère la suite auxiliaire \((u_n)\) définie pour tout \(n\) par \(u_n = z_n - \omega\).
- Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison \(q\) et le premier terme.
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
- En déduire l'expression de \(z_n\) en fonction de \(n\).
- Déterminer la limite du module \(|u_n|\) quand \(n\) tend vers l'infini. Vers quel point de la figure les points \(M_n\) se rapprochent-ils ?
Partie C : Conjugaison
- On note \(\overline{z_n}\) le conjugué de \(z_n\).
- En prenant le conjugué de l'égalité \(z_{n+1} = \dfrac{z_n - 6}{1 + i}\), exprimer \(\overline{z_{n+1}}\) en fonction de \(\overline{z_n}\).
- Comparer ce résultat avec une suite \((t_n)\) qui serait définie par \(t_{n+1} = \dfrac{t_n - 6}{1 - i}\). Que peut-on en conclure si \(t_0 = z_0\) ?
Voir l'indice
Partie A :
1) Calculez successivement \(z_1 = \dfrac{z_0 - 6}{1 + i}\) et \(z_2 = \dfrac{z_1 - 6}{1 + i}\). Pour la forme algébrique, multipliez numérateur et dénominateur par le conjugué de \(1+i\).
2) Utilisez les formes algébriques trouvées pour placer les points dans le plan complexe.
Partie B :
3) Multipliez les deux membres par \(1+i\) et résolvez l'équation obtenue.
4a) Remplacez \(z_n\) par \(u_n + \omega\) dans la relation de récurrence et utilisez le fait que \(\omega\) est point fixe.
5) Calculez le module de la raison \(q\) pour étudier la convergence.
Partie C :
6a) Utilisez les propriétés : \(\overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b}\), \(\overline{a/b} = \overline{a}/\overline{b}\), et \(\overline{1+i} = 1-i\).
6b) Comparez les relations de récurrence obtenues.
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Partie A : Exploration
1. Calcul de \(z_1\) et \(z_2\)
Calcul de \(z_1\) :
\[ z_1 = \frac{z_0 - 6}{1 + i} = \frac{1 - 6}{1 + i} = \frac{-5}{1 + i} \]Pour obtenir la forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de \(1+i\), qui est \(1-i\) :
\[ z_1 = \frac{-5}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{-5(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{-5 + 5i}{1^2 - i^2} = \frac{-5 + 5i}{2} \] \[ \boxed{z_1 = -\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i} \]Calcul de \(z_2\) :
\[ z_2 = \frac{z_1 - 6}{1 + i} = \frac{-\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i - 6}{1 + i} = \frac{-\frac{17}{2} + \frac{5}{2}i}{1 + i} \]On multiplie par le conjugué :
\[ z_2 = \frac{-\frac{17}{2} + \frac{5}{2}i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{\left(-\frac{17}{2} + \frac{5}{2}i\right)(1 - i)}{2} \]Développons le numérateur :
\[ \left(-\frac{17}{2} + \frac{5}{2}i\right)(1 - i) = -\frac{17}{2} + \frac{17}{2}i + \frac{5}{2}i + \frac{5}{2} = -6 + 11i \]Donc :
\[ \boxed{z_2 = \frac{-6 + 11i}{2} = -3 + \frac{11}{2}i} \]2. Placement des points
- \(M_0\) a pour affixe \(z_0 = 1\), donc \(M_0(1; 0)\)
- \(M_1\) a pour affixe \(z_1 = -\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i\), donc \(M_1(-2{,}5; 2{,}5)\)
- \(M_2\) a pour affixe \(z_2 = -3 + \frac{11}{2}i\), donc \(M_2(-3; 5{,}5)\)
Partie B : Étude de la suite
3. Résolution de l'équation du point fixe
On cherche \(\omega \in \mathbb{C}\) tel que \(\omega = \dfrac{\omega - 6}{1 + i}\).
Multiplions les deux membres par \(1+i\) :
\[ \omega(1 + i) = \omega - 6 \] \[ \omega + \omega i = \omega - 6 \] \[ \omega i = -6 \] \[ \boxed{\omega = \frac{-6}{i} = \frac{-6 \times (-i)}{i \times (-i)} = \frac{6i}{1} = 6i} \]4. Étude de la suite auxiliaire \((u_n)\)
a) Nature de \((u_n)\) :
On a \(u_n = z_n - \omega = z_n - 6i\), donc \(z_n = u_n + 6i\).
La relation de récurrence donne :
\[ z_{n+1} = \frac{z_n - 6}{1 + i} \]En remplaçant :
\[ u_{n+1} + 6i = \frac{(u_n + 6i) - 6}{1 + i} = \frac{u_n + 6i - 6}{1 + i} \]Donc :
\[ u_{n+1} = \frac{u_n + 6i - 6}{1 + i} - 6i \]Calculons séparément \(\dfrac{6i - 6}{1 + i}\) :
\[ \frac{6i - 6}{1 + i} = \frac{-6(1 - i)}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{-6(1 - i)^2}{2} = \frac{-6(1 - 2i - 1)}{2} = \frac{12i}{2} = 6i \]Donc :
\[ u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + i} + 6i - 6i = \frac{u_n}{1 + i} \]Simplifions \(\dfrac{1}{1+i}\) :
\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i}{2} \]Ainsi :
\[ \boxed{u_{n+1} = \frac{1 - i}{2} \times u_n} \]La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de raison \(q = \dfrac{1 - i}{2}\) et de premier terme \(u_0 = z_0 - 6i = 1 - 6i\).
b) Expression de \(u_n\) :
Comme \((u_n)\) est géométrique :
\[ \boxed{u_n = u_0 \times q^n = (1 - 6i) \left(\frac{1 - i}{2}\right)^n} \]c) Expression de \(z_n\) :
Comme \(z_n = u_n + \omega = u_n + 6i\) :
\[ \boxed{z_n = (1 - 6i) \left(\frac{1 - i}{2}\right)^n + 6i} \]5. Question bonus - Comportement asymptotique
Calculons le module de la raison :
\[ |q| = \left|\frac{1 - i}{2}\right| = \frac{|1 - i|}{2} = \frac{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 \]Comme \(|q| < 1\), on a \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\), donc :
\[ \lim_{n \to +\infty} |u_n| = \lim_{n \to +\infty} |1 - 6i| \times |q|^n = 0 \]Par conséquent :
\[ \lim_{n \to +\infty} z_n = \lim_{n \to +\infty} (u_n + 6i) = 0 + 6i = 6i \]Conclusion : Les points \(M_n\) se rapprochent du point de coordonnées \((0; 6)\), qui correspond au point fixe \(\omega = 6i\).
Partie C : Conjugaison
6a. Expression de \(\overline{z_{n+1}}\)
Partons de la relation :
\[ z_{n+1} = \frac{z_n - 6}{1 + i} \]En prenant le conjugué des deux membres :
\[ \overline{z_{n+1}} = \overline{\left(\frac{z_n - 6}{1 + i}\right)} = \frac{\overline{z_n - 6}}{\overline{1 + i}} = \frac{\overline{z_n} - \overline{6}}{\overline{1 + i}} = \frac{\overline{z_n} - 6}{1 - i} \]Donc :
\[ \boxed{\overline{z_{n+1}} = \frac{\overline{z_n} - 6}{1 - i}} \]6b. Comparaison avec la suite \((t_n)\)
La suite \((t_n)\) est définie par \(t_0 = 1\) et \(t_{n+1} = \dfrac{t_n - 6}{1 - i}\).
On remarque que la relation de récurrence pour \((t_n)\) est exactement la même que celle trouvée pour \((\overline{z_n})\).
De plus, \(t_0 = 1 = z_0 = \overline{z_0}\).
Conclusion : Par récurrence, on peut montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[ \boxed{t_n = \overline{z_n}} \]Autrement dit, la suite \((t_n)\) est la suite des conjugués de \((z_n)\).
Exercice n°3 (Nombres irrationnels et entiers) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), l'expression \((3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n\) est un entier pair.
Voir l'indice
Méthode 1 (Développement binomial) : Utilisez la formule du binôme de Newton pour développer \((3 + \sqrt{5})^n\) et \((3 - \sqrt{5})^n\). Observez ce qui se passe lorsque vous additionnez les deux expressions.
Méthode 2 (Récurrence) : Posez \(u_n = (3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n\) et cherchez une relation de récurrence. Calculez \(u_0\), \(u_1\), et \(u_2\) pour identifier un motif.
Astuce : Remarquez que \(3 + \sqrt{5}\) et \(3 - \sqrt{5}\) sont conjugués au sens algébrique.
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Méthode 1 : Par le binôme de Newton
Posons \(a = 3\) et \(b = \sqrt{5}\). On cherche à montrer que \((a + b)^n + (a - b)^n\) est un entier pair.
Développement par la formule du binôme :
D'après la formule du binôme de Newton :
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] \[ (a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-1)^k b^k \]En additionnant ces deux expressions :
\[ (a + b)^n + (a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-1)^k b^k \] \[ = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \left(1 + (-1)^k\right) \]Observation clé :
- Si \(k\) est impair : \((-1)^k = -1\), donc \(1 + (-1)^k = 0\)
- Si \(k\) est pair : \((-1)^k = 1\), donc \(1 + (-1)^k = 2\)
Donc seuls les termes avec \(k\) pair subsistent :
\[ (a + b)^n + (a - b)^n = \sum_{k \text{ pair}} 2 \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] \[ = 2 \sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2p} a^{n-2p} b^{2p} \]Avec \(a = 3\) et \(b = \sqrt{5}\), on a \(b^{2p} = (\sqrt{5})^{2p} = 5^p\), qui est un entier.
Donc :
\[ (3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n = 2 \sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2p} 3^{n-2p} \times 5^p \]Cette expression est clairement de la forme \(2 \times (\text{entier})\), donc c'est un entier pair. ✓
Méthode 2 : Par récurrence avec relation de récurrence
Posons \(u_n = (3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n\).
Étape 1 : Calcul des premiers termes
\(u_0 = (3 + \sqrt{5})^0 + (3 - \sqrt{5})^0 = 1 + 1 = 2\) (entier pair) ✓
\(u_1 = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6\) (entier pair) ✓
Étape 2 : Recherche d'une relation de récurrence
Posons \(\alpha = 3 + \sqrt{5}\) et \(\beta = 3 - \sqrt{5}\). Alors \(u_n = \alpha^n + \beta^n\).
Calculons \(\alpha + \beta\) et \(\alpha \times \beta\) :
\[ \alpha + \beta = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6 \] \[ \alpha \times \beta = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 9 - 5 = 4 \]On remarque que \(\alpha\) et \(\beta\) sont les racines de l'équation :
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]Donc \(\alpha^2 = 6\alpha - 4\) et \(\beta^2 = 6\beta - 4\).
Calculons \(u_{n+2}\) :
\[ u_{n+2} = \alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = \alpha^n \times \alpha^2 + \beta^n \times \beta^2 \] \[ = \alpha^n(6\alpha - 4) + \beta^n(6\beta - 4) \] \[ = 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 4(\alpha^n + \beta^n) \] \[ = 6u_{n+1} - 4u_n \]Donc on a la relation de récurrence : \(\boxed{u_{n+2} = 6u_{n+1} - 4u_n}\)
Étape 3 : Démonstration par récurrence forte
Propriété à démontrer : Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n\) est un entier pair.
Initialisation :
- \(u_0 = 2\) est un entier pair ✓
- \(u_1 = 6\) est un entier pair ✓
Hérédité : Supposons que pour un certain \(n \geq 0\), \(u_n\) et \(u_{n+1}\) sont des entiers pairs.
Montrons que \(u_{n+2}\) est un entier pair.
D'après la relation de récurrence :
\[ u_{n+2} = 6u_{n+1} - 4u_n \]Par hypothèse de récurrence, \(u_n = 2k\) et \(u_{n+1} = 2k'\) où \(k, k' \in \mathbb{Z}\).
Donc :
\[ u_{n+2} = 6(2k') - 4(2k) = 12k' - 8k = 2(6k' - 4k) \]Ainsi \(u_{n+2}\) est de la forme \(2m\) avec \(m = 6k' - 4k \in \mathbb{Z}\), donc \(u_{n+2}\) est un entier pair. ✓
Conclusion : Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \((3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n\) est un entier pair.
En route vers le superieur
Exercice n°4 (Interprétation géométrique) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{u}, \vec{v})\).
On considère trois points distincts \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives \(a\), \(b\) et \(c\).
On suppose que :
\[ \frac{c - a}{b - a} = e^{i\frac{\pi}{3}} \]- Interpréter géométriquement le module et l'argument du nombre complexe \(\dfrac{c - a}{b - a}\).
- En déduire la nature exacte du triangle \(ABC\).
- Généralisation : On considère maintenant le point \(D\) d'affixe \(d\) tel que \(ABCD\) soit un losange direct.
- Montrer que la relation \(d = a + c - b\) permet d'obtenir un parallélogramme \(ABDC\).
- Déterminer l'affixe \(d\) pour que \(ABCD\) soit un losange direct.
Voir l'indice
1) Rappelez-vous que pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) d'affixes \(z_u\) et \(z_v\), le quotient \(\dfrac{z_v}{z_u}\) a pour module le rapport des longueurs et pour argument l'angle de rotation de \(\vec{u}\) vers \(\vec{v}\).
2) Utilisez les informations sur le module (égal à 1) et l'argument (\(\pi/3\)).
3) Pour un losange, tous les côtés ont la même longueur. Pensez aux rotations.
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1. Interprétation géométrique
Le quotient \(\dfrac{c - a}{b - a}\) compare les vecteurs \(\vec{AC}\) et \(\vec{AB}\).
Module :
\[ \left|\frac{c - a}{b - a}\right| = \left|e^{i\frac{\pi}{3}}\right| = 1 \]Donc : \(|c - a| = |b - a|\), ce qui signifie \(\boxed{AC = AB}\).
Argument :
\[ \arg\left(\frac{c - a}{b - a}\right) = \frac{\pi}{3} \]Cela signifie que \(\boxed{\left(\vec{AB}, \vec{AC}\right) = \frac{\pi}{3} \text{ [2}\pi\text{]}}\).
Autrement dit, le vecteur \(\vec{AC}\) s'obtient en faisant tourner le vecteur \(\vec{AB}\) d'un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) (60°) dans le sens direct (trigonométrique).
2. Nature du triangle \(ABC\)
D'après la question précédente :
- \(AB = AC\) : le triangle est isocèle en \(A\)
- \(\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3} = 60°\)
Un triangle isocèle avec un angle de 60° au sommet est nécessairement équilatéral.
\(\boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est équilatéral direct (sens trigonométrique).}}\)
3. Généralisation au losange
a) Parallélogramme \(ABDC\)
Si \(d = a + c - b\), alors :
\[ d - a = c - b \]Donc \(\vec{AD} = \vec{BC}\), ce qui signifie que \(ABCD\) est un parallélogramme (en fait \(ABDC\) avec cet ordre).
b) Losange direct \(ABCD\)
Pour que \(ABCD\) soit un losange direct, il faut :
- \(AB = BC = CD = DA\)
- L'ordre des sommets soit dans le sens direct
On sait déjà que \(AB = AC\) (triangle équilatéral).
Pour un losange \(ABCD\), on doit avoir \(\vec{AD} = \vec{BC}\), donc \(d - a = c - b\).
Mais on doit aussi avoir \(AD = AB\). Or \(AB = |b - a|\).
Le point \(D\) est tel que \(\vec{AD}\) est l'image de \(\vec{AB}\) par une rotation.
Pour un losange avec l'angle \(\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\), et sachant que \(ABC\) est équilatéral, le point \(D\) est tel que \(ABCD\) forme un losange.
On a : \(\dfrac{d - a}{b - a} = e^{i\theta}\) où \(\theta\) est l'angle de rotation.
Pour un losange basé sur un triangle équilatéral, une solution est :
\[ \boxed{d = a + (c - a) + (b - a) = b + c - a} \]Ou en utilisant une rotation de \(-\dfrac{\pi}{3}\) :
\[ d - a = (b - a) e^{-i\frac{\pi}{3}} \] \[ \boxed{d = a + (b - a) e^{-i\frac{\pi}{3}}} \]Exercice n°5 (Sommes trigonométriques) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Pour tout réel \(x \in ]0, 2\pi[\) et pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on considère les sommes :
\[ S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin(kx) = \sin(0) + \sin(x) + \sin(2x) + \cdots + \sin(nx) \] \[ C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kx) = \cos(0) + \cos(x) + \cos(2x) + \cdots + \cos(nx) \]- Exprimer la somme \(Z_n = C_n + i S_n\) sous la forme d'une somme de termes géométriques.
- Calculer \(Z_n\) et montrer que : \[ Z_n = \frac{1 - e^{i(n+1)x}}{1 - e^{ix}} \]
- L'astuce de l'arc-moitié : En factorisant le numérateur par \(e^{i\frac{(n+1)x}{2}}\) et le dénominateur par \(e^{i\frac{x}{2}}\), montrer que : \[ Z_n = e^{i\frac{nx}{2}} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \]
- En déduire une expression simplifiée de \(S_n\) (sans signe somme).
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1) Utilisez la formule d'Euler : \(e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx)\).
2) Reconnaissez une somme géométrique de raison \(e^{ix}\).
3) Utilisez la formule : \(1 - e^{i\theta} = e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2} - e^{i\theta/2}) = -2i e^{i\theta/2} \sin(\theta/2)\).
4) \(S_n\) est la partie imaginaire de \(Z_n\).
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1. Expression de \(Z_n\) comme somme géométrique
D'après la formule d'Euler : \(e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx)\).
Donc :
\[ Z_n = C_n + iS_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kx) + i \sum_{k=0}^{n} \sin(kx) = \sum_{k=0}^{n} (\cos(kx) + i\sin(kx)) \] \[ \boxed{Z_n = \sum_{k=0}^{n} e^{ikx}} \]2. Calcul de \(Z_n\)
On reconnaît une somme géométrique de premier terme 1, de raison \(e^{ix}\), et de \(n+1\) termes.
Pour \(e^{ix} \neq 1\) (c'est-à-dire \(x \neq 0 \text{ [2\pi]}\), ce qui est garanti par \(x \in ]0, 2\pi[\)) :
\[ Z_n = \frac{1 - (e^{ix})^{n+1}}{1 - e^{ix}} = \boxed{\frac{1 - e^{i(n+1)x}}{1 - e^{ix}}} \]3. Technique de l'arc-moitié
Factorisation du numérateur :
\[ 1 - e^{i(n+1)x} = e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \left( e^{-i\frac{(n+1)x}{2}} - e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \right) \] \[ = e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \times (-2i) \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \]Factorisation du dénominateur :
\[ 1 - e^{ix} = e^{i\frac{x}{2}} \left( e^{-i\frac{x}{2}} - e^{i\frac{x}{2}} \right) = e^{i\frac{x}{2}} \times (-2i) \sin\left(\frac{x}{2}\right) \]Division :
\[ Z_n = \frac{e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \times (-2i) \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{e^{i\frac{x}{2}} \times (-2i) \sin\left(\frac{x}{2}\right)} \] \[ = \frac{e^{i\frac{(n+1)x}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \] \[ = e^{i\frac{(n+1)x - x}{2}} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \] \[ \boxed{Z_n = e^{i\frac{nx}{2}} \times \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}} \]4. Expression de \(S_n\)
On a \(Z_n = e^{i\frac{nx}{2}} \times \dfrac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\).
Développons \(e^{i\frac{nx}{2}}\) :
\[ e^{i\frac{nx}{2}} = \cos\left(\frac{nx}{2}\right) + i\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \]Donc :
\[ Z_n = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \left[ \cos\left(\frac{nx}{2}\right) + i\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \right] \]La partie imaginaire de \(Z_n\) est :
\[ S_n = \text{Im}(Z_n) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \times \sin\left(\frac{nx}{2}\right) \]Donc :
\[ \boxed{S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}} \]De même, la partie réelle donne :
\[ \boxed{C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(kx) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \cos\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}} \]Exercice n°6 (Racines de l'unité) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On cherche à résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) :
\[ \left( \frac{z + 1}{z - 1} \right)^n = 1 \]où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
- On pose \(Z = \dfrac{z + 1}{z - 1}\). Quelles sont les valeurs possibles pour \(Z\) ? (On les notera \(\omega_k\) pour \(k \in \{0, \ldots, n-1\}\)).
- Pour chaque valeur \(\omega_k\) (avec \(\omega_k \neq 1\)), exprimer \(z\) en fonction de \(\omega_k\).
- Montrer que les solutions \(z_k\) sont de la forme : \[ z_k = -i \times \text{cotan}\left( \frac{k\pi}{n} \right) \] (Rappel : \(\text{cotan}(\theta) = \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\)).
- En déduire, sans calcul, que toutes les solutions de \((E)\) sont des nombres imaginaires purs. Pouvait-on le prévoir géométriquement en considérant les modules dans l'équation de départ ?
Voir l'indice
1) \(Z^n = 1\) signifie que \(Z\) est une racine \(n\)-ième de l'unité.
2) De \(Z = \dfrac{z+1}{z-1}\), isolez \(z\) : \(Z(z-1) = z+1\).
3) Utilisez \(\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) et les formules d'Euler.
4) Dans l'équation \(\left|\dfrac{z+1}{z-1}\right|^n = 1\), que vaut \(\left|\dfrac{z+1}{z-1}\right|\) ?
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1. Valeurs possibles pour \(Z\)
L'équation \(Z^n = 1\) admet \(n\) solutions dans \(\mathbb{C}\), appelées racines \(n\)-ièmes de l'unité :
\[ \boxed{\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, 2, \ldots, n-1\}} \]2. Expression de \(z\) en fonction de \(\omega_k\)
On a \(Z = \dfrac{z + 1}{z - 1}\), donc :
\[ Z(z - 1) = z + 1 \] \[ Zz - Z = z + 1 \] \[ Zz - z = Z + 1 \] \[ z(Z - 1) = Z + 1 \]Pour \(Z \neq 1\) (c'est-à-dire \(k \neq 0\)) :
\[ \boxed{z = \frac{Z + 1}{Z - 1} = \frac{\omega_k + 1}{\omega_k - 1}} \]Remarque : Si \(Z = \omega_0 = 1\), l'équation \(\dfrac{z+1}{z-1} = 1\) donne \(z + 1 = z - 1\), ce qui est impossible. Donc \(k = 0\) ne donne pas de solution.
3. Forme avec la cotangente
Pour \(k \in \{1, 2, \ldots, n-1\}\), posons \(\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}\).
Calculons \(\omega_k + 1\) et \(\omega_k - 1\) :
\[ \omega_k + 1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}} + 1 = e^{i\frac{k\pi}{n}} \left( e^{i\frac{k\pi}{n}} + e^{-i\frac{k\pi}{n}} \right) = 2e^{i\frac{k\pi}{n}} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) \] \[ \omega_k - 1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}} - 1 = e^{i\frac{k\pi}{n}} \left( e^{i\frac{k\pi}{n}} - e^{-i\frac{k\pi}{n}} \right) = 2ie^{i\frac{k\pi}{n}} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \]Donc :
\[ z_k = \frac{\omega_k + 1}{\omega_k - 1} = \frac{2e^{i\frac{k\pi}{n}} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)}{2ie^{i\frac{k\pi}{n}} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)} = \frac{\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)}{i\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)} \] \[ = \frac{1}{i} \times \frac{\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)} = -i \times \text{cotan}\left(\frac{k\pi}{n}\right) \]Donc :
\[ \boxed{z_k = -i \times \text{cotan}\left(\frac{k\pi}{n}\right) \quad \text{pour } k \in \{1, 2, \ldots, n-1\}} \]4. Nature des solutions
Observation algébrique :
Comme \(\text{cotan}\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\) est un nombre réel, et que \(z_k = -i \times \text{(réel)}\), on en déduit que :
\[ \boxed{\text{Toutes les solutions sont des imaginaires purs.}} \]Interprétation géométrique :
De l'équation \(\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^n = 1\), on tire :
\[ \left|\frac{z+1}{z-1}\right|^n = |1| = 1 \]Donc \(\left|\dfrac{z+1}{z-1}\right| = 1\), ce qui signifie :
\[ |z + 1| = |z - 1| \]Cela signifie que \(z\) est équidistant des points d'affixes \(-1\) et \(1\).
L'ensemble des points équidistants de \(-1\) et \(1\) est la médiatrice du segment \([-1, 1]\), c'est-à-dire l'axe des imaginaires purs.
\(\boxed{\text{Géométriquement, } z \text{ appartient à l'axe imaginaire pur.}}\)
Exercice n°7 (Racines 5-ièmes de l'unité et trigonométrie) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \((O; \vec{u}, \vec{v})\).
On considère le nombre complexe \(z\) défini par : \(z = e^{i\frac{2\pi}{5}}\)
Partie A : Étude algébrique
- Vérifier que \(z^5 = 1\).
- Montrer que : \(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0\)
- Diviser l'égalité précédente par \(z^2\) et démontrer que \(z\) vérifie la relation : \[ \left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) + \left(z + \frac{1}{z}\right) + 1 = 0 \]
- On pose \(u = z + \dfrac{1}{z}\). Montrer que \(u\) est solution de l'équation : \(X^2 + X - 1 = 0\)
Partie B : Détermination de la valeur exacte
- Exprimer \(u\) en fonction de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) et justifier que \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) > 0\).
- En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\).
Voir l'indice
1) Utilisez \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\).
2) Suite géométrique de raison \(z\).
4) Développez \(u^2\) et substituez.
5) \(z + \overline{z} = 2\text{Re}(z)\).
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Partie A : Étude algébrique
1. Vérification que \(z^5 = 1\)
On a \(z = e^{i\frac{2\pi}{5}}\), donc :
\[ z^5 = \left(e^{i\frac{2\pi}{5}}\right)^5 = e^{i\frac{2\pi \times 5}{5}} = e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 \]\(\boxed{z^5 = 1}\) donc \(z\) est une racine 5-ième de l'unité. ✓
2. Somme des puissances de \(z\)
La somme \(S = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4\) est une suite géométrique de premier terme 1, de raison \(z\) et de 5 termes.
Comme \(z \neq 1\), on a :
\[ S = \frac{1 - z^5}{1 - z} = \frac{1 - 1}{1 - z} = 0 \]\(\boxed{1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0}\)
3. Division par \(z^2\)
Divisons par \(z^2\) (non nul) :
\[ \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + 1 + z + z^2 = 0 \]Regroupons :
\[ \boxed{\left(z^2 + \frac{1}{z^2}\right) + \left(z + \frac{1}{z}\right) + 1 = 0} \]4. Équation du second degré
Posons \(u = z + \dfrac{1}{z}\). Alors :
\[ u^2 = z^2 + 2 + \frac{1}{z^2} \implies z^2 + \frac{1}{z^2} = u^2 - 2 \]En substituant dans la relation de la question 3 :
\[ (u^2 - 2) + u + 1 = 0 \] \[ \boxed{u^2 + u - 1 = 0} \]Partie B : Détermination de la valeur exacte
5. Expression de \(u\) en fonction du cosinus
On a \(z = e^{i\frac{2\pi}{5}} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) + i\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\)
Comme \(|z| = 1\), on a \(\dfrac{1}{z} = \overline{z} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) - i\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\)
Donc :
\[ \boxed{u = 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)} \]L'angle \(\dfrac{2\pi}{5} \in \left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[\), donc \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) > 0\).
6. Valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\)
L'équation \(X^2 + X - 1 = 0\) a pour discriminant \(\Delta = 1 + 4 = 5\).
Les racines sont : \(X = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Comme \(u = 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) > 0\), on prend la racine positive :
\[ u = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \]Donc :
\[ 2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \] \[ \boxed{\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}} \]