Terminale : Nombres complexes
L'ensemble des nombres complexes, noté \(\mathbb{C}\), est une extension fondamentale de l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\). Il permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans \(\mathbb{R}\), comme \(x^2 = -1\). Dans ce chapitre, nous allons explorer les différentes approches des nombres complexes : algébrique, géométrique et trigonométrique.
📚 Table des matières
1. Approche algébrique
Définition 1. Nombre complexe
On définit l'ensemble des nombres complexes, noté \(\mathbb{C}\), comme l'ensemble des nombres de la forme \(z = x +iy\) avec \(i\) un nombre dit imaginaire vérifiant : \(i^2 = -1\). On appelle alors \(x\) sa partie réelle, notée \(\mathcal{R}e(z)\), et \(y\) sa partie imaginaire, notée \(\mathcal{I}m(z)\). On muni \(\mathbb{C}\) de deux opérations : une opération d'addition + et une opération de multiplication \(\times\) définies comme suit : \[ \forall x,y,x',y' \in \mathbb{R}, (x + iy) + (x' + iy') = (x + x') + i(y + y') \] \[ (x + iy) \times (x' + iy') = (xx' - yy') + i(xy' + x'y) \]
Remarques : On a \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). En effet, pour \(x \in \mathbb{R}\), \(x + 0i = x \in \mathbb{C}\). De plus, pour \(z = x + iy \in \mathbb{C}\), si \(x = 0\), \(z\) est appelé un imaginaire pur et on note alors \(z \in i\mathbb{R}\).
Quelques exemples :
\((2 + 3i) + (5 + 2i) = (2+5) + i(3+2) = 7 + 5i\)
\((2 + 3i) \times (5 + 2i) = (2\times 5 - 3 \times 2) + i(2\times 2 + 3 \times 5) = 4 + 19i\)
Point historique
1. Gérolamo Cardano (1501 - 1576) : En cherchant à résoudre \(x(10 - x) = 40\), il trouve deux solutions qui n'ont pas de sens : \(5 + \sqrt{-15}\) et \(5 - \sqrt{-15}\).
2. René Descartes (1596 - 1650) : Nomme ces nombres d'imaginaires.
3. Caspar Wessel (1745 - 1818) : Interprétation géométrique de ces nombres.
4. Jean-Robert Argand (1768 - 1822) : Interprète l'ensemble de ces nombres comme une extension à deux dimensions des réels.
5. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) : les nomme, ils deviennent alors : les nombres complexes.
6. Leonhard Euler (1707 - 1783) : Remarque que la notation \(\sqrt{-1}\) est incohérente avec les propriétés de la racine carrée et propose donc de la remplacer par \(i\), un nombre imaginaire vérifiant : \(i^2 = -1\)
Proposition 1. Quelques propriétés de \(\mathbb{C}\)
1. Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
2. La forme algébrique est unique. Ainsi, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
Théorème 1 (admis). Propriétés des opérations dans \(\mathbb{C}\)
1. L'addition
- est associative : \(\forall z,z',z'' \in \mathbb{C}, z + (z' + z'') = (z + z') + z''\)
- est commutative : \(\forall z,z' \in \mathbb{C}, z + z' = z' + z\)
- possède \(0+0i\), noté 0, comme élément neutre : \(\forall z \in \mathbb{C}, z + 0 = z\)
- Tout nombre complexe \(z = x + iy\) possède un opposé. On le note \(-z = -x - iy\)
2. La multiplication
- est associative : \(\forall z,z',z'' \in \mathbb{C}, z \times (z' \times z'') = (z \times z') \times z''\)
- est commutative : \(\forall z,z' \in \mathbb{C}, z\times z' = z' \times z\)
- possède \(1 + 0i\), noté 1, comme élément neutre : \(\forall z \in \mathbb{C}, z \times 1 = z\)
- est distributive sur l'addition : \(\forall z,z',z'' \in \mathbb{C}, z \times (z' + z'') = z \times z' + z \times z''\)
- Si \(z \in \mathbb{C}\) avec \(z \neq 0\) (également noté \(z \in \mathbb{C}^*\)), il existe \(z' \in \mathbb{C}\) tel que \(z' = \dfrac{1}{z}\)
- Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\), si \(z \times z' = 0\), alors \(z = 0\) ou \(z' = 0\)
Définition 2. Conjugué
Soit \(z = x + iy \in \mathbb{C}\), on définit le conjugué de \(z\), noté \(\overline{z}\) comme suit : \(\overline{z} = x - iy\).
Proposition 2. Les identités remarquables sur \(\mathbb{C}\)
Soit \(z = x +iy \in \mathbb{C}\),
1. \(z\times \overline{z} = (x + iy) \times (x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2 \in \mathbb{R}\)
2. \(z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy\)
3. \(\overline{z}^2 = (x - iy)^2 = x^2 - y^2 - 2ixy\)
Point méthode 1. Détermination de l'inverse d'un nombre
On cherchera toujours à exprimer un nombre complexe sous sa forme algébrique. Pour cela, on va utiliser l'identité remarquable précédente :
Soit \(z = x+ iy \in \mathbb{C}\),
\[ \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{1}{x + iy} \times \overbrace{\frac{x- iy}{x-iy}}^{=1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i \frac{y}{x^2 + y^2} \]Remarque : Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\), comme \(\dfrac{z}{z'} = z \times \dfrac{1}{z'}\), on utilise la même méthode pour calculer un quotient, en inversant le dénominateur et en multipliant cet inverse par \(z\).
Théorème 2. Propriétés calculatoires du conjugué
Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\), \(n \in \mathbb{N}\)
1. \(\overline{\overline{z}} = z\)
2. \(\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\)
3. \(\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}\)
4. \(\overline{z^n} = \overline{z}^n\)
5. si \(z \neq 0\), \(\overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\overline{z}}\)
Preuve
Démonstration : Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\),
1. \(\overline{\overline{z}} = \overline{\overline{x+iy}} = \overline{x - iy} = x + iy = z\)
2. \(\overline{z + z'} = \overline{(x + x') + i(y + y')} = (x + x') - i(y + y') = (x -iy) + (x' - iy') = \overline{z} + \overline{z'}\)
3. \(\overline{z \times z'} = \overline{(xx' - yy') + i(xy' + x'y)} = (xx' - yy') - i(xy' + x'y)\)
\(= (xx' - (-y)(-y')) + i(x(-y') + x'(-y)) = (x -iy) \times (x' - iy') = \overline{z} \times \overline{z'}\)
4. Si \(z \neq 0\),
\[ \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \overline{\left(\frac{\overline{z}}{z \times \overline{z}}\right)} = \overline{\frac{1}{z \times \overline{z}} \times \overline{z}} = \overline{\frac{1}{z \times \overline{z}}} \times \overline{\overline{z}} \]
Or, \(\dfrac{1}{z \times \overline{z}} \in \mathbb{R}\). Donc \(\overline{\left(\dfrac{1}{z \times \overline{z}}\right)} = \dfrac{1}{z \times \overline{z}}\)
Ainsi,
\[ \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{z}{z \times \overline{z}} = \frac{1}{\overline{z}} \]
5. Par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\). (Laissée en exercice).
Rappel : Coefficients binomiaux et formule de Pascal
On définit, pour tout \((n,k) \in \mathbb{N}^2\), le coefficient binomial \(k\) parmi \(n\) :
\[ \binom{n}{k} = \begin{cases} \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \text{si } 0 \leq k \leq n \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \]Il vérifie les propriétés suivantes :
1. \(\forall (n,k) \in \mathbb{N}^2\), \(\binom{n}{k} \in \mathbb{N}\)
2. Symétrie : \(\forall (n,k) \in \mathbb{N}^2\), \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
3. Formule de Pascal : \(\forall (n,k) \in \mathbb{N}^2\), \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\)
Théorème 3. Binôme de Newton
Soient \(z_1,z_2 \in \mathbb{C}\), \(n \in \mathbb{N}\),
Preuve
Démonstration : Par récurrence sur \(n\). (Démonstration analogue à celle sur \(\mathbb{R}\)).
Point méthode 2. Résolution d'une équation dans \(\mathbb{C}\)
Prenons l'équation \(3z + 2 + 5i = 4iz + 8\)
Méthode 1 : On isole \(z\) de la même manière qu'on le fait dans \(\mathbb{R}\)
\(3z + 2 + 5i = 4iz + 8\)
\((3 - 4i)z = 6 - 5i\)
\(z = \dfrac{6 - 5i}{3 - 4i}\)
On passe ensuite \(z\) sous forme algébrique en multipliant le dénominateur par son conjugué (cf Point méthode 1). Après calcul, on trouve finalement : \[ z = \dfrac{38}{25} + \dfrac{9}{25}i \]
Méthode 2 : On utilise la proposition 1 : deux nombres complexes sont égaux ssi leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
Soient \(a,b \in \mathbb{R}\) / \(z = a + ib\),
\(3(a + ib) + 2 + 5i = 4i(a + ib) + 8\)
\(3a + 3ib + 2 + 5i = 4ia + 4i^2b + 8\)
\((3a + 2) + (3b + 5)i = (8 - 4b) + 4ia\)
On utilise alors la proposition 1 : \[ (3a + 2) + (3b + 5)i = (8 - 4b) + 4ia \Longleftrightarrow \begin{cases} 3a + 2 = 8 - 4b \\ 3b + 5 = 4a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3a + 4b = 6 \\ 4a - 3b = 5 \end{cases} \]
On résout ensuite par substitution ou par combinaison. On trouve bien \(a = \dfrac{38}{25}\) et \(b = \dfrac{9}{25}\).
2. Approche géométrique
2.1. Définitions et propriétés
Définition 3. Plan complexe
On définit le plan complexe comme un plan muni d'un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) tel que, à tout nombre complexe \(z = x + iy\), on associe un point \(M\) du plan, de coordonnée \((x,y)\). On dit alors que M est le point image de \(z\) et que \(z\) est l'affixe de \(M\). On peut alors définir le vecteur d'affixe \(z\) comme étant le vecteur \(\vec{OM}\).
Remarque : Comme \(\overline{z} = x - iy\), le point \(M'\) d'affixe \(\overline{z}\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses.
Figure 1. Représentation de \(M(z)\) et \(M'(\overline{z})\)
Définition 4. Module
Soit \(z = x+iy \in \mathbb{C}\),
On définit le module de \(z\), noté \(\left|z\right|\) ou encore \(\rho\) le nombre réel : \(\left|z\right| = \rho = OM = \sqrt{x^2 + y^2}\)
Remarque (Interprétation géométrique) : Le module représente donc la norme du vecteur, i.e. la distance du point \(M\) à \(O\).
Théorème 4. Propriétés du module
Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\), \(n \in \mathbb{N}\),
1. \(z\overline{z} = \left|z\right|^2\)
2. \(\left|z\right| = \left|-z\right| = \left|\overline{z}\right|\)
3. \(z = 0 \Longleftrightarrow \left|z\right| = 0\)
4. \(\left|zz'\right| = \left|z\right| \left|z'\right|\)
5. \(\left|z^n\right| = \left|z\right|^n\)
6. Si \(z \neq 0\), \(\left| \dfrac{1}{z} \right| = \dfrac{1}{\left|z\right|}\)
7. (Inégalité triangulaire) (Admise) : \(\left|z + z'\right| \leq \left|z\right| + \left|z'\right|\)
Preuve
Démonstration (Partielle) : Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\),
1. \(z\overline{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2 = \left|z\right|^2\)
2. \(\left|-z\right| = \left|-x-iy\right| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = \left|z\right|\). De même pour \(\left|\overline{z}\right|\).
3. \(z = 0 \Longleftrightarrow x=0 \text{ et } y=0 \Longleftrightarrow x^2+y^2 = 0 \Longleftrightarrow \sqrt{x^2+y^2} = 0 \Longleftrightarrow |z| = 0\)
4. \(\left|zz'\right|^2 = (zz')(\overline{zz'}) = (z\overline{z})(z'\overline{z'}) = |z|^2 |z'|^2\). Comme les modules sont positifs, \(\left|zz'\right| = \left|z\right| \left|z'\right|\).
Définition 5. Ensemble U
On définit \(\mathbb{U} = \left\{ z \in \mathbb{C} \hspace{5pt} / \hspace{5pt} \left|z\right| = 1 \right\}\), i.e. l'ensemble des nombres complexes de module 1.
Remarque : Géométriquement, dans le plan complexe, \(\mathbb{U}\) correspond au cercle trigonométrique.
Proposition 3. Stabilité de \(\mathbb{U}\)
Soient \(z,z' \in \mathbb{U}\),
1. \(zz' \in \mathbb{U}\)
2. \(\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}\)
3. \(\dfrac{z}{z'} \in \mathbb{U}\)
Preuve
Démonstration : Soient \(z,z' \in \mathbb{U}\), (i.e. \(|z|=1\) et \(|z'|=1\))
1. \(\left|zz'\right| \underset{\text{Th.4}}{=} \left|z\right| \left|z'\right| = 1\times1 = 1 \Longleftrightarrow zz' \in \mathbb{U}\)
2. \(\left| \dfrac{1}{z} \right| \underset{\text{Th.4}}{=} \dfrac{1}{\left|z\right|} = \dfrac{1}{1} = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}\)
3. \(\left| \dfrac{z}{z'} \right| = \left| z\times \dfrac{1}{z'} \right|\). D'après (i) et (ii), \(\dfrac{z}{z'} \in \mathbb{U}\)
Définition 6. Argument
Soit \(z \in \mathbb{C}^*\),
On appelle argument de \(z\) tout réel \(\theta\) tel que \(\theta\) est une mesure en radian de l'angle orienté \((\vec{i},\vec{OM})\).
Il est donc unique à \(2\pi\) près (on dit aussi unique modulo \(2\pi\)). On note \(arg(z) = \theta [2\pi]\).
Remarque : Attention à ne pas parler de l'argument d'un nombre complexe mais bien un argument de celui-ci.
Figure 2. Argument \(\theta\) de \(z\)
Proposition 4. Calcul de l'argument
Soit \(z= x + iy \in \mathbb{C}\), \(\theta\) un argument de \(z\).
Remarque : Ce résultat découle des relations trigonométriques usuelles.
Définition 7. Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Soit \(z = x + iy \in \mathbb{C}\), \(\theta\) un argument de \(z\),
On appelle forme trigonométrique de \(z\) son écriture telle que : \(z = \left|z\right|(\cos(\theta) + i \sin(\theta))\)
Remarque : En remplaçant \(\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta)\) par leurs expressions de la proposition 4, on retrouve bien \(z = x +iy\). De plus, comme les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques, \(z\) possède une infinité de formes trigonométriques.
Théorème 5. Propriétés de l'argument
Soient \(z,z' \in \mathbb{C}\), \(n \in \mathbb{N}\),
1. \(arg(\overline{z}) = -arg(z)[2\pi]\)
2. \(arg(-z) = arg(z) + \pi [2\pi]\)
3. \(arg(-\overline{z}) = -arg(z) + \pi [2\pi]\)
4. \(z \in \mathbb{R}^* \Longleftrightarrow arg(z) = 0[\pi]\)
5. \(z \in i\mathbb{R}^* \Longleftrightarrow arg(z) = \dfrac{\pi}{2}[\pi]\)
6. \(arg(zz') = arg(z) + arg(z')[2\pi]\)
7. \(arg(\dfrac{1}{z}) = - arg(z) [2\pi]\)
8. \(arg(\dfrac{z}{z'}) = arg(z) - arg(z')[2\pi]\)
9. \(arg(z^n) = n \times arg(z) [2\pi]\)
Point méthode 3. Mettre un nombre sous forme trigonométrique
Soit \(z = x +iy \in \mathbb{C}^*\).
- La première étape consiste à calculer son module : \( \left|z\right| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- Une fois le module calculé, on le met en facteur dans l'expression de \(z\) : \(z = \left|z\right| \left( \dfrac{x}{\left|z\right|} + i\dfrac{y}{\left|z\right|} \right)\)
- On identifie un angle \(\theta\) tel que \(\cos(\theta) = \dfrac{x}{\left|z\right|}\) et \(\sin(\theta) = \dfrac{y}{\left|z\right|}\).
En pratique, on se retrouvera souvent avec des valeurs remarquables qui permettent de déterminer immédiatement la valeur de \(\theta\). Il est donc impératif de connaître ses valeurs remarquables sur le cercle trigonométrique !
2.2. Un peu de géométrie
1. Rappels sur la trigonométrie
Rappel : Dans un triangle rectangle \(ABC\), rectangle en \(A\), il existe des relations entre les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\), et les longueurs du triangle :
\(\cos\left(\widehat{ABC}\right) = \dfrac{AB}{BC}\) (Adjacent / Hypoténuse)
\(\sin\left(\widehat{ABC}\right) = \dfrac{AC}{BC}\) (Opposé / Hypoténuse)
\(\tan\left(\widehat{ABC}\right) = \dfrac{AC}{AB}\) (Opposé / Adjacent)
On pourra se souvenir de la formule CAH-SOH-TOA.
Définition 8. Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Ce sens est alors appelé positif ou trigonométrique.
Figure 4. Cercle trigonométrique
Remarque : on remarque que le triangle \(OMx_M\) est rectangle en \(x_M\) et on peut ainsi définir à partir des relations trigonométriques précédentes que : \[ \cos\left(\theta\right) = \dfrac{x_M}{1} = x_M \hspace{5pt};\hspace{5pt} \sin\left(\theta\right) = \dfrac{y_M}{1} = y_M \hspace{5pt};\hspace{5pt} \tan\left(\theta\right) = \dfrac{y_M}{x_M} \] Ainsi, \(\cos(\theta)\) est l'abscisse du point \(M\) et \(\sin(\theta)\) est l'ordonnée du point \(M\), i.e. \(M = (\cos(\theta),\sin(\theta))\).
2. Utilisation dans le plan complexe
On commence alors à comprendre l'intérêt géométrique de la forme trigonométrique. En effet, on avait remarqué que le module représentait la distance du point à l'origine. Alors, en factorisant par le module, on va pouvoir se ramener sur le cercle trigonométrique et utiliser ses propriétés.
Preuve
Retour sur la Proposition 4 : Comme on a pu le dire, l'abscisse sur le cercle trigonométrique s'exprime par \(\cos(\theta)\) et l'ordonnée par \(\sin(\theta)\). Or, pour \(z = x +iy\), on écrit également \[ z = \left|z\right| \left(\dfrac{x}{\left|z\right|} + i\dfrac{y}{\left|z\right|}\right) \] Par conséquent, \(\left(\dfrac{x}{\left|z\right|} + i\dfrac{y}{\left|z\right|}\right)\) est un nombre complexe de module 1, il est donc sur le cercle trigonométrique du plan complexe. D'où \[ \begin{cases} \cos(\theta) = \dfrac{x}{\left|z\right|} \\ \sin(\theta) = \dfrac{y}{\left|z\right|} \end{cases} \]
En prenant \(M\) un point du plan complexe, d'affixe \(z_M\), on peut illustrer certaines propriétés du module et de l'argument. On note \(M'\) le point d'affixe \(\overline{z}\), \(M''\) d'affixe \(-z\), \(M'''\) d'affixe \(-\overline{z}\).
Figure 5. Symétries dans le plan complexe
Preuve
Retour sur le Point méthode 3 : Pourquoi suivre cette méthode pour déterminer l'argument d'un nombre complexe ?
Une manière de le voir est de considérer des axes. On considère un certain \(z = x +iy \in \mathbb{C}\). La coordonnée \(x\) (via \(\cos\)) donne 2 possibilités pour l'angle \(\theta\) (par exemple \(\theta\) et \(-\theta\)).
Figure 6. \(\cos(\theta) = x\) donne deux angles possibles.
Il faut alors pouvoir différencier le cas positif du cas négatif grâce à un 2ème axe dû à la coordonnée \(y\) (via \(\sin\)). La fonction \(\arccos\) ne nous renvoie que la valeur positive de l'angle car elle est à valeur dans \([0,\pi]\). La seconde coordonnée (\(y\)) permet alors de faire ce choix via le signe du sinus.
3. Nombres complexes et trigonométrie
3.1 Trigonométrie : les formules d'additions
Soient \(a,b \in \mathbb{R}\),
Théorème 6. Formules d'addition
1. \(\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\)
2. \(\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\)
3. \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)
4. \(\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\)
5. \(\tan(a+b) = \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}\)
6. \(\tan(a-b) = \dfrac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}\)
Preuve
Démonstration (i) et (ii) :
On utilise la propriété \(\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')\).
Soient \(z = e^{ia} = \cos(a) + i\sin(a)\) et \(z' = e^{ib} = \cos(b) + i\sin(b)\).
Le produit \(zz'\) vaut :
\[ zz' = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) \]
\[ zz' = (\cos a \cos b - \sin a \sin b) + i(\sin a \cos b + \cos a \sin b) \]
Mais on sait aussi que \(zz' = e^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i\sin(a+b)\).
Par identification des parties réelles et imaginaires (Proposition 1), on obtient :
\[ \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \]
\[ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \]
Démonstration (iv), (v), (vi) : On utilise les formules (i), (ii), (iii) en remplaçant \(b\) par \(-b\) et on utilise la parité de \(\cos\) (\(\cos(-b) = \cos(b)\)) et l'imparité de \(\sin\) (\(\sin(-b) = -\sin(b)\)) et \(\tan\).
3.2. Retour dans le plan complexe
Définition 9. Exponentielle complexe
Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on appelle exponentielle complexe (ou exponentielle imaginaire) le nombre complexe :
Remarque : Il s'agit uniquement d'une notation. «\(e\) puissance \(i\theta\)» n'a pas de sens en soi (au niveau Terminale).
Proposition 5. Paramétrisation de \(\mathbb{U}\) par \(e^{i\theta}\)
1. \(\forall z \in \mathbb{C}^*, z \in \mathbb{U} \Longleftrightarrow \exists \theta \in \mathbb{R} \hspace{5pt} / \hspace{5pt} z = e^{i\theta}\)
2. \(\forall (\theta,\theta') \in \mathbb{R}^2, e^{i\theta} = e^{i\theta'} \Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z} \hspace{5pt} / \hspace{5pt} \theta' = \theta + 2k\pi \Longleftrightarrow \theta' \equiv \theta [2\pi]\)
Définition 10. Forme exponentielle d'un nombre complexe
Soit \(z\in \mathbb{C}\). En reprenant la forme trigonométrique et à l'aide de l'exponentielle complexe, pour \(\rho = \left|z\right|\) et \(\theta\) un argument de \(z\), on définit la forme exponentielle de \(z\) comme étant son écriture telle que :
Remarque : Tout comme la forme trigonométrique, tout nombre complexe possède une infinité de formes exponentielles (liées à la périodicité de \(2\pi\) de l'argument).