L'ensemble des diviseurs positifs de 18 est : \(\{1,2,3,6,9,18\}\).

L'ensemble des diviseurs positifs de 24 est : \(\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\).

L'ensemble des diviseurs positifs de 60 est : \(\{1,2,3,5,6,10,12,20,30,60\}\).

On cherche les couples \((x,y)\) d’entiers relatifs tels que \(x^2 - y^2 = 7\).

On reconnaît une différence de deux carrés : \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

Ainsi, on doit avoir \((x-y)(x+y)=7\).

Or, \(7\) est premier, donc ses diviseurs dans \(\mathbb{Z}\) sont \(\{1,-1,7,-7\}\).

On pose \(x-y=a\) et \(x+y=b\) avec \(ab=7\). On obtient alors les systèmes suivants :

• Si \(a=1\) et \(b=7\) : \(x=\frac{1+7}{2}=4\), \(y=4-1=3 \Rightarrow (4,3)\).
• Si \(a=7\) et \(b=1\) : \(x=\frac{7+1}{2}=4\), \(y=4-7=-3 \Rightarrow (4,-3)\).
• Si \(a=-1\) et \(b=-7\) : \(x=\frac{-1-7}{2}=-4\), \(y=-4-(-1)=-3 \Rightarrow (-4,-3)\).
• Si \(a=-7\) et \(b=-1\) : \(x=\frac{-7-1}{2}=-4\), \(y=-4-(-7)=3 \Rightarrow (-4,3)\).

Ainsi, l'ensemble des solutions est \(\boxed{\mathcal{S}=\{(4,3),(4,-3),(-4,3),(-4,-3)\}}\).

On cherche les entiers \(n\) tels que \(3n+1 \mid 10n-4\).

L'idée est d'éliminer \(n\). On utilise la propriété de combinaison linéaire : si \(d \mid A\) et \(d \mid B\), alors \(d \mid \alpha A + \beta B\).

Ici, si \(3n+1 \mid 10n-4\) et \(3n+1 \mid 3n+1\), alors \(3n+1\) divise :

\[ -3(10n-4) + 10(3n+1) = -30n + 12 + 30n + 10 = 22 \]

Donc \(3n+1\) doit diviser \(22\).

Les diviseurs de \(22\) dans \(\mathbb{Z}\) sont \(\{1, -1, 2, -2, 11, -11, 22, -22\}\).

On teste les cas :

• \(3n+1=1 \Rightarrow 3n=0 \Rightarrow n=0\)
• \(3n+1=-1 \Rightarrow 3n=-2 \Rightarrow n \notin \mathbb{Z}\)
• \(3n+1=2 \Rightarrow 3n=1 \Rightarrow n \notin \mathbb{Z}\)
• \(3n+1=-2 \Rightarrow 3n=-3 \Rightarrow n=-1\)
• \(3n+1=11 \Rightarrow 3n=10 \Rightarrow n \notin \mathbb{Z}\)
• \(3n+1=-11 \Rightarrow 3n=-12 \Rightarrow n=-4\)
• \(3n+1=22 \Rightarrow 3n=21 \Rightarrow n=7\)
• \(3n+1=-22 \Rightarrow 3n=-23 \Rightarrow n \notin \mathbb{Z}\)

Les valeurs entières possibles pour \(n\) sont \(\{0, -1, -4, 7\}\).

On vérifie réciproquement que ces valeurs conviennent. Ainsi, \(\boxed{\mathcal{S}=\{0, -1, -4, 7\}}\).

On remarque que \(5n+21 = 5(n+3) + 6\).

Pour que cette égalité corresponde à la division euclidienne de \(5n+21\) par \(n+3\), il faut que le reste \(r=6\) vérifie \(0 \le r < n+3\).

Donc il faut \(6 < n+3\), soit \(n > 3\).

Ainsi, si \(n > 3\), le reste est \(\boxed{6}\).

Étudions les cas particuliers :

• Si \(n=0\) : \(21 = 3 \times 7 + 0\). Reste \(\boxed{0}\).
• Si \(n=1\) : \(26 = 4 \times 6 + 2\). Reste \(\boxed{2}\).
• Si \(n=2\) : \(31 = 5 \times 6 + 1\). Reste \(\boxed{1}\).
• Si \(n=3\) : \(36 = 6 \times 6 + 0\). Reste \(\boxed{0}\).

On cherche \((x,y) \in \mathbb{N}^2\) tels que \(xy \mid x+y\).

Cela signifie qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(x+y = kxy\).

Si \(x=0\), alors \(y = 0\). Le couple \((0,0)\) est solution (car \(0\) est multiple de \(0\) au sens large, ou on exclut ce cas selon la définition, mais ici la correction l'inclut).

Supposons \(x \neq 0\) et \(y \neq 0\).

Comme \(x \mid kxy\), alors \(x \mid x+y\), donc \(x \mid y\). De même \(y \mid x\).

Puisque \(x, y \in \mathbb{N}^*\), cela implique \(x=y\).

L'équation devient \(2x = kx^2\). Comme \(x \neq 0\), on simplifie par \(x\) : \(2 = kx\).

Les diviseurs positifs de 2 sont 1 et 2.

• Si \(x=1\), alors \(k=2\). On a \(y=1\). Couple \((1,1)\).
• Si \(x=2\), alors \(k=1\). On a \(y=2\). Couple \((2,2)\).

L'ensemble des solutions est \(\boxed{\mathcal{S}=\{(0,0), (1,1), (2,2)\}}\).

1)

\(\Rightarrow\) Si \(p\) est pair, \(p=2k\), alors \(p^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\), donc \(p^2\) est pair.

\(\Leftarrow\) Par contraposée : si \(p\) est impair, \(p=2k+1\), alors \(p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\), donc \(p^2\) est impair.

Donc \(p\) pair \(\iff p^2\) pair.

---

2) Raisonnons par l'absurde. Supposons \(\sqrt{2}\) rationnel.

Il existe \(p, q \in \mathbb{N}^*\) irréductibles (premiers entre eux) tels que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\).

En élevant au carré : \(2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2\).

Donc \(p^2\) est pair. D'après 1), \(p\) est pair. Posons \(p=2k\).

L'équation devient \((2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow 2k^2 = q^2\).

Donc \(q^2\) est pair, ce qui implique que \(q\) est pair.

Ainsi, \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, donc divisibles par 2. Cela contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux.

C'est absurde. Donc \(\boxed{\sqrt{2} \text{ est irrationnel}}\).

1) Si \(d \mid 12n+7\) et \(d \mid 3n+1\), alors \(d\) divise toute combinaison linéaire.

\(d \mid (12n+7) - 4(3n+1)\)

\(d \mid 12n+7 - 12n - 4\)

\(d \mid 3\).

Donc \(\boxed{d \mid 3}\).

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2) Supposons que la fraction n'est pas irréductible. Soit \(d\) un diviseur commun positif à \(12n+7\) et \(3n+1\) avec \(d > 1\).

D'après 1), \(d\) doit diviser 3. Comme \(d > 1\), alors \(d=3\).

Or, \(3n+1 = 3n + 1\). \(3n\) est divisible par 3, mais 1 ne l'est pas. Donc \(3n+1\) n'est pas divisible par 3.

C'est une contradiction. Donc le seul diviseur commun positif est 1.

La fraction est donc \(\boxed{\text{irréductible}}\).

1) Le petit théorème de Fermat énonce que si \(p\) est un nombre premier et \(a\) un entier non divisible par \(p\), alors :

\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

Dans le cadre de l'exercice, on considère \(a = 2\).

Comme \(p\) est un nombre premier différent de 2, \(p\) est impair. Donc \(p\) ne divise pas 2.

On peut donc appliquer le théorème de Fermat :

\[ 2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

En élevant cette congruence à la puissance \(k\) (avec \(k \in \mathbb{N}\)) :

\[ (2^{p-1})^k \equiv 1^k \pmod{p} \]

D'où :

\[ \boxed{2^{k(p-1)} \equiv 1 \pmod{p}} \]

---

2) On raisonne modulo \(p\).

On a \(2p \equiv 0 \pmod{p}\).

Donc \(2p-1 \equiv -1 \pmod{p}\).

Ainsi, \((2p-1)^{2p-1} \equiv (-1)^{2p-1} \pmod{p}\).

Comme \(p\) est impair, \(2p-1\) est un nombre impair. Donc \((-1)^{2p-1} = -1\).

D'autre part, \(2p-2 \equiv -2 \pmod{p}\).

Donc \((2p-2)^{2p-2} \equiv (-2)^{2p-2} \pmod{p}\).

Or \((-2)^{2p-2} = (-1)^{2p-2} \times 2^{2p-2}\).

Comme \(2p-2 = 2(p-1)\) est pair, \((-1)^{2p-2} = 1\).

De plus, \(2^{2p-2} = 2^{2(p-1)}\). D'après la question 1 (avec \(k=2\)), on sait que \(2^{2(p-1)} \equiv 1 \pmod{p}\).

Ainsi, \((2p-2)^{2p-2} \equiv 1 \times 1 \equiv 1 \pmod{p}\).

Finalement :

\[ A_p \equiv -1 + 1 \equiv 0 \pmod{p} \]

On en conclut que \(\boxed{p \text{ divise } A_p}\).