Terminale : Exercices sur la physique quantique (photons et atomes)
La mention ❤️ signale une méthode classique à connaître pour le BAC. Les exercices sont classés par difficulté : 🌶️ (application) à 🌶️🌶️🌶️ (approfondissement). Certains items sont pensés pour lancer une discussion : l’idée est de comprendre ce que la physique quantique change dans notre manière de raisonner.
Exercices
Exercice n°1 🌶️ (Le photon : énergie, fréquence, longueur d’onde) ❤️
On modélise la lumière comme un flux de photons. On donne la constante de Planck \(h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J·s}\), la vitesse de la lumière \(c = 3{,}00\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}\) et \(1\ \text{eV} = 1{,}60\times 10^{-19}\ \text{J}\).
On considère une lumière de longueur d’onde \(\lambda = 500\ \text{nm}\) (lumière verte).
1) Calculer la fréquence \(f\) de cette lumière.
2) Calculer l’énergie \(E\) d’un photon en joules, puis convertir en eV.
3) En utilisant la relation \(p=\dfrac{h}{\lambda}\), calculer l’impulsion \(p\) d’un photon.
4) Montrer, en utilisant uniquement des relations du cours, que pour un photon dans le vide on a \(E=pc\). Expliquer en une phrase pourquoi cette relation est typique d’une particule « sans masse ».
5) Discussion. On remplace \(\lambda=500\ \text{nm}\) par une lumière rouge \(\lambda=650\ \text{nm}\). Dire ce qui change pour \(f\), \(E\) et \(p\), et ce qui ne change pas. Justifier sans refaire tous les calculs.
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Dans le vide, on a \(c=\lambda f\). L’énergie d’un photon vaut \(E=hf\). L’impulsion est donnée par \(p=\dfrac{h}{\lambda}\). Pour relier \(E\) et \(p\), pense à remplacer \(f\) par \(\dfrac{c}{\lambda}\).
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On utilise \(c=\lambda f\). Avec \(\lambda=500\ \text{nm}=500\times 10^{-9}\ \text{m}=5{,}00\times 10^{-7}\ \text{m}\), on obtient \[ f=\frac{c}{\lambda}=\frac{3{,}00\times 10^8}{5{,}00\times 10^{-7}}=6{,}00\times 10^{14}\ \text{Hz}. \]
L’énergie d’un photon vaut \(E=hf\). Donc \[ E=6{,}63\times 10^{-34}\times 6{,}00\times 10^{14}=3{,}98\times 10^{-19}\ \text{J}. \] Conversion en eV : \[ E=\frac{3{,}98\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}}\approx 2{,}49\ \text{eV}. \]
L’impulsion vaut \(p=\dfrac{h}{\lambda}\). Donc \[ p=\frac{6{,}63\times 10^{-34}}{5{,}00\times 10^{-7}}=1{,}33\times 10^{-27}\ \text{kg·m·s}^{-1}. \]
Pour relier \(E\) et \(p\), on part de \(E=hf\) et on remplace \(f\) par \(\dfrac{c}{\lambda}\) : \[ E=h\frac{c}{\lambda}=\left(\frac{h}{\lambda}\right)c=pc. \] Cette relation est caractéristique d’un photon : il transporte de l’énergie et une impulsion tout en se déplaçant à la vitesse \(c\), ce qui correspond à une particule sans masse au repos dans les modèles relativistes.
Discussion. Si \(\lambda\) augmente (rouge), alors \(f=\dfrac{c}{\lambda}\) diminue. Comme \(E=hf\), l’énergie diminue aussi. Et comme \(p=\dfrac{h}{\lambda}\), l’impulsion diminue également. Ce qui ne change pas, c’est la vitesse de propagation dans le vide : c’est toujours \(c\).
Exercice n°2 🌶️🌶️ (Effet photoélectrique : seuil et énergie maximale)
On éclaire une plaque métallique avec une lumière monochromatique de fréquence \(f\). On rappelle le modèle d’Einstein : \[ E_{c,\max}=hf-W_e, \] où \(W_e\) est le travail d’extraction (énergie minimale pour arracher un électron).
On donne \(h = 6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J·s}\), \(c = 3{,}00\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}\) et \(e = 1{,}60\times 10^{-19}\ \text{C}\). Pour le métal considéré, \(W_e = 2{,}20\ \text{eV}\).
1) Calculer la fréquence seuil \(f_0\) à partir de laquelle des électrons peuvent être arrachés.
2) En déduire la longueur d’onde seuil \(\lambda_0\). Interpréter : quelle couleur de lumière est « trop peu énergétique » pour extraire des électrons ?
3) On éclaire avec une lumière de longueur d’onde \(\lambda = 400\ \text{nm}\). Calculer l’énergie \(hf\) d’un photon en eV, puis l’énergie cinétique maximale \(E_{c,\max}\) en eV.
4) On mesure une tension d’arrêt \(U_s\) telle que l’électron le plus rapide soit juste stoppé. On admet \(E_{c,\max}=eU_s\). Calculer \(U_s\).
5) Discussion. Si on augmente l’intensité de la lumière (plus de photons par seconde) mais qu’on garde \(\lambda\) au-dessus du seuil, est-ce que l’énergie cinétique maximale change ? Qu’est-ce qui change alors expérimentalement ?
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La fréquence seuil vérifie \(hf_0=W_e\). Convertis \(W_e\) en joules si besoin. La longueur d’onde seuil vient de \(c=\lambda f\). Pour la tension d’arrêt, on utilise \(E_{c,\max}=eU_s\) avec \(E_{c,\max}\) en joules ou, plus simple ici, en eV.
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La condition seuil est \(hf_0=W_e\). On convertit \(W_e\) en joules : \[ W_e=2{,}20\ \text{eV}=2{,}20\times 1{,}60\times 10^{-19}=3{,}52\times 10^{-19}\ \text{J}. \] Donc \[ f_0=\frac{W_e}{h}=\frac{3{,}52\times 10^{-19}}{6{,}63\times 10^{-34}}\approx 5{,}31\times 10^{14}\ \text{Hz}. \]
La longueur d’onde seuil vaut \(\lambda_0=\dfrac{c}{f_0}\) : \[ \lambda_0=\frac{3{,}00\times 10^8}{5{,}31\times 10^{14}}\approx 5{,}65\times 10^{-7}\ \text{m}=565\ \text{nm}. \] Interprétation : si \(\lambda>\lambda_0\), alors l’énergie des photons est trop faible. Les longueurs d’onde plus grandes que 565 nm correspondent au jaune-orangé-rouge et à l’infrarouge : ce sont donc ces lumières qui ne peuvent pas arracher d’électrons ici.
Pour \(\lambda=400\ \text{nm}\), on calcule d’abord l’énergie du photon. On peut passer directement en eV en gardant l’idée \(hf=\dfrac{hc}{\lambda}\) : \[ hf=\frac{hc}{\lambda}. \] On peut calculer en joules puis convertir, ou utiliser une approche directe. Faisons en joules : \[ hf=\frac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^8}{4{,}00\times 10^{-7}}=4{,}97\times 10^{-19}\ \text{J}. \] En eV : \[ hf=\frac{4{,}97\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}}\approx 3{,}11\ \text{eV}. \] Donc \[ E_{c,\max}=hf-W_e=3{,}11-2{,}20=0{,}91\ \text{eV}. \]
Avec \(E_{c,\max}=eU_s\), et comme \(1\ \text{eV}=e\times 1\ \text{V}\), on obtient directement \[ U_s=0{,}91\ \text{V}. \]
Discussion. Si on augmente l’intensité tout en gardant la même longueur d’onde (donc la même énergie par photon), l’énergie cinétique maximale ne change pas : elle dépend de \(hf-W_e\). En revanche, on augmente le nombre d’électrons arrachés par seconde : le courant photoélectrique augmente.
Exercice n°3 🌶️🌶️ (Modèle de Bohr : niveaux d’énergie et photons émis)
On étudie l’atome d’hydrogène avec le modèle de Bohr. On donne \(E_0=-13{,}6\ \text{eV}\) et \[ E_n=\frac{E_0}{n^2}. \] On donne aussi \(1\ \text{eV}=1{,}60\times 10^{-19}\ \text{J}\), \(h=6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J·s}\) et \(c=3{,}00\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}\).
1) Calculer \(E_1\), \(E_2\) et \(E_3\) en eV. Expliquer pourquoi ces énergies sont négatives.
2) Un électron passe de l’état \(n=3\) à l’état \(n=2\). Montrer qu’il doit émettre un photon, puis calculer l’énergie \(\Delta E\) du photon en eV.
3) En déduire la fréquence \(f\) du photon émis, puis sa longueur d’onde \(\lambda\). Dire si on est plutôt dans le visible, l’UV ou l’infrarouge.
4) On rappelle aussi la quantification des rayons \(r_n=n^2a_0\), avec \(a_0=53\ \text{pm}\). Calculer \(r_1\), \(r_2\) et \(r_3\).
5) Discussion. Dans le modèle de Bohr, l’électron est “sur une orbite”. Dans une vision plus moderne, on parle plutôt de “probabilité de présence”. Dire ce que cette phrase change dans l’interprétation de \(r_n\). Tu peux répondre avec tes mots, sans formule.
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Pour une transition, l’énergie du photon correspond à la différence d’énergie entre niveaux. Fais attention au signe : le photon emporte une énergie positive. Pour la longueur d’onde, utilise \(\Delta E=hf\) puis \(c=\lambda f\). Pour les rayons, c’est juste \(n^2\) fois \(a_0\).
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On a \(E_n=\dfrac{E_0}{n^2}\) avec \(E_0=-13{,}6\ \text{eV}\). Donc \[ E_1=-13{,}6\ \text{eV},\quad E_2=\frac{-13{,}6}{4}=-3{,}40\ \text{eV},\quad E_3=\frac{-13{,}6}{9}=-1{,}51\ \text{eV}. \] Ces énergies sont négatives car on choisit l’énergie nulle quand l’électron est libre, très loin du noyau. Tant qu’il est lié à l’atome, il “manque” de l’énergie pour le libérer : on représente cela par une énergie négative.
Pour la transition \(n=3\rightarrow n=2\), l’énergie de l’électron diminue (il passe de \(-1{,}51\) eV à \(-3{,}40\) eV). Il doit donc perdre de l’énergie, et cette énergie est emportée par un photon. L’énergie du photon vaut \[ \Delta E = E_3 - E_2 = (-1{,}51)-(-3{,}40)=1{,}89\ \text{eV}. \] Elle est bien positive, ce qui correspond à un photon réel émis.
On convertit en joules : \[ \Delta E = 1{,}89\times 1{,}60\times 10^{-19}=3{,}02\times 10^{-19}\ \text{J}. \] Avec \(\Delta E=hf\), \[ f=\frac{\Delta E}{h}=\frac{3{,}02\times 10^{-19}}{6{,}63\times 10^{-34}}\approx 4{,}56\times 10^{14}\ \text{Hz}. \] Puis \(\lambda=\dfrac{c}{f}\) : \[ \lambda=\frac{3{,}00\times 10^8}{4{,}56\times 10^{14}}\approx 6{,}58\times 10^{-7}\ \text{m}=658\ \text{nm}. \] On est dans le visible, plutôt rouge. C’est d’ailleurs une transition connue de la série de Balmer.
Pour les rayons, \(r_n=n^2a_0\) avec \(a_0=53\ \text{pm}\). Donc \[ r_1=1^2\times 53=53\ \text{pm},\quad r_2=4\times 53=212\ \text{pm},\quad r_3=9\times 53=477\ \text{pm}. \]
Discussion. Dans le modèle de Bohr, \(r_n\) est un rayon d’orbite “bien défini”. Dans une vision plus moderne, on ne dit plus que l’électron est une bille qui tourne sur un cercle. On dit plutôt qu’il existe une zone autour du noyau où l’électron a de fortes chances d’être trouvé. Dans ce langage, \(r_n\) ne serait pas une trajectoire, mais plutôt une “taille caractéristique” associée à l’état \(n\), c’est-à-dire une échelle de distance typique de la distribution de probabilité.
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Exercice n°4 🌶️🌶️🌶️ (Cellule photovoltaïque : photons, courant et limites réelles)
On s’intéresse à une cellule photovoltaïque éclairée par une lumière quasi monochromatique. L’objectif est de relier une idée quantique simple à une grandeur électrique mesurable.
La cellule reçoit une puissance lumineuse \(P_{\text{reçue}} = 1{,}50\ \text{W}\) (sur sa surface utile). La lumière a une longueur d’onde \(\lambda = 600\ \text{nm}\). On donne \(h=6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J·s}\), \(c=3{,}00\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}\), \(e=1{,}60\times 10^{-19}\ \text{C}\).
On fait une hypothèse “optimiste” pour commencer : un photon reçu libère au maximum un électron utilisable dans le circuit extérieur.
1) Calculer l’énergie \(E\) d’un photon à \(\lambda=600\ \text{nm}\).
2) En déduire le nombre de photons reçus par seconde \(N\) si la puissance reçue vaut \(P_{\text{reçue}}\).
3) En utilisant l’hypothèse “un photon \(\rightarrow\) un électron”, exprimer puis calculer le courant maximal théorique \(I_{\max}\) que la cellule pourrait délivrer.
4) En réalité, on mesure sur la cellule un courant de court-circuit \(I_{cc}=0{,}22\ \text{A}\). Définir un rendement quantique externe simple \(q=\dfrac{I_{cc}}{I_{\max}}\) et le calculer. Interpréter la valeur obtenue.
5) Discussion. Donner au moins deux raisons physiques (simples) qui expliquent pourquoi \(q\) est inférieur à 1. Dans ta réponse, essaie de faire le lien avec l’idée de “seuil” vue dans l’effet photoélectrique (même si ce n’est pas exactement le même matériau).
6) Discussion (plus ouverte). Dans la formule du cours \(\eta=\dfrac{UI}{hf\Delta t}\), on voit apparaître \(hf\). Dire ce que cette présence traduit sur la nature de l’énergie lumineuse. Expliquer pourquoi, dans ce type de raisonnement, la longueur d’onde (ou la fréquence) est aussi importante que la puissance totale.
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La puissance est une énergie par seconde. Si un photon a une énergie \(E\), alors le nombre de photons par seconde est \(N=\dfrac{P}{E}\). Si chaque photon libère un électron, alors le nombre d’électrons par seconde vaut \(N\) et le courant vaut \(I=eN\).
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L’énergie d’un photon vaut \(E=\dfrac{hc}{\lambda}\). Avec \(\lambda=600\ \text{nm}=6{,}00\times 10^{-7}\ \text{m}\), \[ E=\frac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^8}{6{,}00\times 10^{-7}} =3{,}32\times 10^{-19}\ \text{J}. \]
La puissance reçue est une énergie reçue par seconde. Si chaque photon apporte \(E\), alors le nombre de photons par seconde vaut \[ N=\frac{P_{\text{reçue}}}{E}=\frac{1{,}50}{3{,}32\times 10^{-19}}\approx 4{,}52\times 10^{18}\ \text{photons·s}^{-1}. \]
Avec l’hypothèse “un photon \(\rightarrow\) un électron”, on aurait \(N\) électrons par seconde dans le circuit. Le courant maximal théorique serait donc \[ I_{\max}=eN=1{,}60\times 10^{-19}\times 4{,}52\times 10^{18}\approx 0{,}72\ \text{A}. \]
On définit \(q=\dfrac{I_{cc}}{I_{\max}}\). Donc \[ q=\frac{0{,}22}{0{,}72}\approx 0{,}31. \] Interprétation : seulement environ 31 % des photons reçus conduisent ici à un électron effectivement récupéré sous forme de courant (dans la condition de court-circuit).
Discussion. Plusieurs raisons peuvent expliquer \(q<1\). D’abord, tous les photons ne sont pas absorbés : une partie est réfléchie par la surface, une autre traverse sans interaction. Ensuite, même lorsqu’un photon est absorbé, l’électron libéré peut se recombiner (perdre son énergie) avant d’être collecté, surtout si le matériau a des défauts ou si la jonction n’est pas parfaite. Enfin, il existe aussi une idée de seuil : si l’énergie du photon n’est pas suffisante pour créer une paire électron-trou exploitable (lien avec un “gap” ou une énergie minimale), alors l’absorption ne produit pas de courant utile, ou produit beaucoup moins efficacement.
Discussion (plus ouverte). Voir apparaître \(hf\) signifie qu’on raisonne en termes de paquets d’énergie : l’énergie lumineuse n’est pas seulement “une quantité totale”, elle est distribuée en photons dont l’énergie dépend de la fréquence. C’est pour cela que la longueur d’onde compte autant que la puissance : deux lumières de même puissance peuvent transporter un nombre de photons très différent, et surtout ces photons n’ont pas la même énergie. Donc selon le matériau, une lumière peut être efficace (photons assez énergétiques) ou presque inefficace (photons pas assez énergétiques), même si la puissance reçue est la même.