Ici, on considère un projectile repéré par un point \(M\) de masse \(m\) lancé à une vitesse \(V_0\), qui forme un angle \(\alpha\) avec l'horizontal, depuis une hauteur \(h\).

1. Définir le système étudié et le référentiel d'étude approprié.

2. En négligeant la poussée d'Archimède subie par le projectile, montrer que : \[ \vec{a}_x=\vec{0} \quad \textrm{et} \quad \vec{a}_y=\vec{g} \] (Note: l'équation LaTeX \(\vec{a}_y=\vec{g}\) suppose un axe \(y\) vers le bas. L'image `plan project.png` montre un axe \(y\) vers le haut. Nous suivrons l'image pour les indices, mais la question est posée telle quelle.)

3. Déterminer alors les équations horaires du mouvement.

4. Déterminer l'équation de la trajectoire. Comment appelle-t-on ce type de trajectoire ?

5. Montrer que le projectile ne retombe que s'il vérifie la condition suivante : \[ \frac{V_0^2\sin^2(\alpha)+2gh}{V_0^2\cos^2(\alpha)}>0 \]

6. En supposant dans toute la suite que \(h=0\), montrer que l'expression de la portée est donnée par : \[ x_p(h=0)=\frac{V_0^2\sin(2\alpha)}{g} \] (Indication : pour tout \(x\) réel, \(\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\))

7. Pour quelle valeur d'angle \(\alpha\), la portée est maximale ?

8. Au niveau de la flèche, que dire de la vitesse verticale ?

9. Montrer que l'expression de la flèche \(y_f\) dans le cas où la portée est maximale est la suivante : \[ y_f(h=0)=\frac{V_0^2}{2g} \]

On considère un condensateur dont l'armature supérieure a une charge \(+Q>0\) et l'armature inférieure a une charge \(-Q<0\). On note \(q\) la charge de la particule en entrée du condensateur animée d'une vitesse initiale \(V_0\) selon l'horizontale. Le but de l'exercice est de déterminer les coordonnées du point d'impact \(C\) situé sur l'écran en sortie du condensateur. On suppose que le champ électrique est uniforme.

1. D'après la configuration du condensateur, en déduire le signe de la charge \(q\).

2. En supposant que la particule chargée ne subit pas l'effet de son poids, montrer que les équations horaires du mouvement s'écrivent : \[ x(t)= V_0t \quad \textrm{et} \quad y(t)=-\frac{qE}{2m}t^2 \]

3. Écrire l'équation de la trajectoire de la particule dans le condensateur.

4. Comment appelle-t-on la trajectoire de la particule dans le condensateur ?

5. En supposant que le condensateur mesure en longueur \(d\), déterminer les coordonnées du point au moment où la particule quitte le condensateur.

6. Justifier qu'en sortie du condensateur, la charge a un mouvement rectiligne uniforme.

7. Si l'on note \(\beta\), l'angle de déviation en sortie du condensateur (l'écart angulaire entre l'horizontale et la trajectoire de la particule), montrer que : \[ \tan(\beta)=\frac{V_y}{V_x} \]

8. Montrer que le temps mis par la particule pour traverser la condensateur vaut : \[ t_p=\frac{D}{V_0} \] (Note : il y a une incohérence entre \(d\) (longueur Q5) et \(D\) (temps Q8). On supposera que la longueur est \(d\).)

9. En déduire alors l'expression de la déviation : \[ \beta=-\arctan\left(\frac{qEd}{mV_0^2}\right) \] (Indication : la fonction \(\arctan\) est impaire sur \(\mathbb{R}\))

10. Si l'on note \(D\) la distance entre l'origine du repère et l'écran et \(h_c\) l'ordonnée du point \(C\), montrer que : \[ h_c=(D-d)\tan(\beta) \] (Note : Le schéma montre que la particule a déjà une déviation \(y_S\) à la sortie du condensateur. La formule semble incomplète.)

11. En déduire alors que : \[ h_c=\frac{qEd(d-D)}{mV_0^2} \] (Note : Incohérence de signe probable avec Q9 et Q10)

On considère une goutte d'eau sphérique de rayon \(a\) indéformable de masse volumique \(\rho_e\) qui tombe en chute libre dans un champ de pesanteur constant de norme \(g\).

Lors de sa chute, la goutte d'eau subit une force de traînée constante notée \(\vec{F}_t\) est égale à : \[ \vec{F}_t=-6\pi\eta \frac{a^2}{a+l}\cdot \vec{v} \]

1. Exprimer dans le système international des unités, l'unité de la constante \(\eta\).

2. En négligeant d'abord la poussée d'Archimède, démontrer que la vitesse est solution de l'équation : \[ \frac{d\vec{v}}{dt}+ \frac{9\eta}{2a\rho_e(a+l)}\cdot \vec{v}= \vec{g} \] (Corrigé pour l'homogénéité)

3. Déterminer, à partir de l'équation obtenue, la vitesse maximale atteignable par la goutte d'eau, notée \(v_\infty\).

4. Résoudre l'équation différentielle sachant que la goutte d'eau tombe sans vitesse initiale.

On note \(\rho_a\) la masse volumique de l'air.

5. Démontrer que si l'on considère l'action de la poussée d'Archimède alors l'équation devient : \[ \frac{d\vec{v}}{dt}+ \frac{9\eta}{2a\rho_e(a+l)}\cdot \vec{v}=\left(1-\frac{\rho_a}{\rho_e}\right)\vec{g} \] (Corrigé pour l'homogénéité et le signe)

6. Expliquer pourquoi l'effet de la poussée d'Archimède est négligeable sachant que \(\rho_a=1\) g.L⁻¹.