La méthode de Bessel permet de mesurer la distance focale \(f'\) d'une lentille convergente. On fixe un objet lumineux \(A\) et un écran \(E\) à une distance \(D = \overline{AE}\) constante.

On déplace une lentille convergente \(L\) entre \(A\) et \(E\). On trouve deux positions de la lentille, \(O_1\) et \(O_2\), distantes de \(d = \overline{O_1O_2}\), pour lesquelles on obtient une image nette sur l'écran \(E\).

1. On note \(p = \overline{O_1A}\) et \(p' = \overline{O_1E}\). Écrire la relation de conjugaison pour la position \(O_1\). Quelle est la relation entre \(p\), \(p'\) et \(D\) ?

2. En utilisant le principe du retour inverse de la lumière, justifier que la deuxième position \(O_2\) est telle que \(\overline{O_2A} = p'\) et \(\overline{O_2E} = p\).

3. Exprimer la distance \(d = \overline{O_1O_2}\) en fonction de \(p\) et \(p'\).

4. À partir des relations pour \(D\) (Q1) et \(d\) (Q3), exprimer \(p\) et \(p'\) en fonction de \(D\) et \(d\).

5. En réinjectant ces expressions dans la formule de conjugaison (Q1), démontrer la formule de Bessel : \[ f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} \]

6. Quelle condition doit vérifier \(D\) par rapport à \(f'\) pour que ces deux positions existent ?

On souhaite mesurer la distance focale \(f'\) d'une lentille convergente (L) par la méthode d'autocollimation.

On place un objet lumineux \(AB\) (par exemple une lettre "P" éclairée) sur un banc d'optique. On place ensuite la lentille (L) et un miroir plan (M) derrière elle. L'objet est légèrement décalé de l'axe optique pour ne pas bloquer l'image retour.

On déplace la lentille (L) jusqu'à obtenir une image \(A'B'\) nette sur le même plan que l'objet \(AB\), mais renversée.

1. Pour que l'image se forme au même endroit que l'objet, les rayons lumineux doivent se réfléchir sur le miroir et revenir sur leurs pas. Quelle doit être l'orientation des rayons lumineux qui frappent le miroir plan ?

2. Pour que les rayons sortent de la lentille (L) avec cette orientation (trouvée en Q1), où doit se trouver l'objet \(AB\) par rapport à la lentille ?

3. En déduire la méthode expérimentale permettant de mesurer \(f'\) par autocollimation.

1. L'œil emmétrope (normal) forme sur sa rétine l'image d'un objet situé à l'infini sans accommoder. Quelle est la relation entre la distance focale de l'œil au repos (\(f'_{repos}\)) et la profondeur de l'œil (\(d_{œil}\)) ?

2. L'œil hypermétrope est "trop court" ou "pas assez convergent". Où se forme l'image d'un objet à l'infini ? Quel type de lentille faut-il pour le corriger ?

3. Un œil presbyte (qui a du mal à accommoder) a son punctum proximum (PP) à 60 cm. On souhaite que cette personne puisse lire un livre placé à 25 cm.

a. L'objet est le livre (\(\overline{OA} = -25\) cm). Où la lentille doit-elle former l'image (\(\overline{OA'}\)) pour que l'œil puisse la voir ?

b. Calculer la vergence \(V\) nécessaire pour cette correction.

On utilise une lentille mince convergente de vergence \(V = +10 \delta\) (dioptries) comme loupe.

1. Calculer sa distance focale image \(f'\).

2. On place un objet \(AB\) de 2 mm de hauteur à 5 cm du centre optique (\(\overline{OA} = -5\) cm). Où se trouve l'objet par rapport au foyer objet \(F\) ?

3. Par calcul, déterminer la position \(\overline{OA'}\) de l'image \(A'B'\). L'image est-elle réelle ou virtuelle ?

4. Calculer le grandissement transversal \(\gamma\). L'image est-elle droite ou renversée ? Calculer la taille \(\overline{A'B'}\) de l'image.