On considère une tige de longueur \(l\) qui oscille autour du point \(O\) dans le plan \((O,x,y)\). On attache au bout de la tige une masse \(m\) dont la position varie au cours du temps, on note \(M(t)\), la position de la masse \(m\) à l'instant \(t\). On prendre \(t_0\) comme le temps initial auquel on lâche la tige et la masse. On supposera que la tige est de masse nulle. On suppose que la masse \(m\) ne subit que l'effet de son propre poids et la tension du fil.

Le but de cet exercice est d'établir l'équation différentielle sur la position de la masse \(m\). On admet que le mouvement de la masse \(M\) ne dépend que de la valeur d'angle \(\theta\).

1. Justifier que l'angle \(\theta\) est une fonction du temps.

2. Montrer que l'énergie mécanique se conserve au cours du temps.

En se plaçant dans le repère de Frenet, on établit que la vitesse du point \(M\) a pour expression : \[ v_M(t)=l\frac{d\theta(t)}{dt}\cdot\vec{t} \]

3. Refaire la figure en plaçant le repère de Frenet en \(M\) en prenant comme origine le point \(O\).

4. Montrer que l'énergie cinétique de la masse \(m\) s'écrit : \[ E_c(t)=\frac{1}{2}ml^2\left(\frac{d\theta(t)}{dt}\right)^2 \]

5. En considérant deux positions successives de la masse \(m\), entre les instants \(t\) et \(t+dt\), montrer que la différence d'altitude selon l'axe \(y\), notée \(dy\) est donnée par : \[ dy=l(1-\cos(d\theta)) \] où \(d\theta\) est l'écart angulaire entre les deux positions.

6. Montrer que l'énergie potentielle de la masse \(m\) s'écrit : \[ E_p(t)=mgl(1-\cos(\theta(t))) \]

7. A partir de la conservation de l'énergie mécanique, expliquer pourquoi on a : \[ \frac{dE_m(t)}{dt}=0 \]

8. En déduire l'équation différentielle suivante : \[ \frac{d^2\theta(t)}{dt^2}+\omega_0^2\sin(\theta(t))=0 \] où \(\omega_0\) est à exprimer en fonction des constantes \(l\) et \(g\).

Le but de cet exercice est d'établir un résultat fondamental : si un corps céleste de masse \(m\) a une trajectoire circulaire alors son énergie mécanique, notée \(E_m\), se conserve et vaut : \[ E_m=-G\frac{mM_{\circ}}{2r} \] où \(M_{\circ}\) est la masse de son corps attracteur.

1. Si l'on considère uniquement l'influence du corps attracteur sur le corps céleste étudié, montrer que l'énergie mécanique du corps céleste se conserve.

2. Représenter le système étudié, qu'on assimilera à un point matériel de masse \(m\) et noté \(C\), gravitant autour de son corps attracteur qu'on assimilera aussi à un point matériel de masse \(M_\circ\) et noté \(A\).

3. En revenant à la définition du travail d'une force, montrer que l'énergie potentielle de gravitation de \(C\) existe, qu'on notera \(E_{pg}\), et est égale à : \[ E_{pg}=-G\frac{mM_\circ}{r} \]

4. Dans le cas d'un mouvement circulaire, exprimer la valeur de la vitesse du corps céleste \(C\).

5. Montrer alors que l'énergie cinétique de \(C\) notée \(E_c\) s'écrit : \[ E_c=G\frac{mM_\circ}{2r} \] (Note : il y a une erreur de signe dans le LaTeX, l'énergie cinétique est positive)

6. En déduire que l'énergie mécanique de \(C\) s'écrit : \[ E_m=-G\frac{mM_{\circ}}{2r} \]

Le but de cet exercice est de montrer que l'énergie potentielle d'une charge \(q\), notée \(E_p\), résultante de la présence d'une charge \(Q\) a pour expression : \[ E_p=K\frac{qQ}{r} \] où \(r\) désigne la distance entre les deux charges.

A partir de la définition du travail d'une force, montrer le résultat souhaité.