Terminale : Exercices sur la dynamique du point matériel
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Culture générale scientifique) ❤️ 🌶️ 🌶️ 🌶️
1. Définir la notion de référentiel galiléen.
2. Exprimer le champ électrique en un point \(M\) créé par le point \(O\) de charge \(q\).
3. Donner un exemple d'un système pseudo-isolé puis d'un système isolé.
Voir l'indice
1. Pensez à la 1ère loi de Newton (Principe d'inertie).
2. Revoyez la définition 5 du cours de dynamique. Quelle est la force \(\vec{F}\) ? Quel est le lien \( \vec{F} = Q \times \vec{\mathcal{E}} \) ?
3. Isolé = 0 forces (très rare !). Pseudo-isolé = la somme des forces est nulle (très courant ! Pensez à un objet immobile sur une table).
Afficher le corrigé
Corrigé non disponible pour le moment.
Exercice n°2 (Champ résultant) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère \(N\) sources de gravité numérotées de \(1\) à \(N\) repérées par les points \(S_1\), \(S_2\), .... à \(S_N\) de masse \(m_1\), \(m_2\), .... à \(m_N\). Soit \(k\) un entier compris entre 1 et \(N\). La source \(S_k\) génère le champ en un point \(M\) de masse \(\tilde{m}\) de l'espace égal à : \[ \overrightarrow{\mathcal{G}}_{S_k}(M)=-G\frac{m_k}{S_kM^3}\cdot\overrightarrow{S_kM} \] Exprimer la champ total créé par toutes les sources \(S_1\), \(S_2\), .... à \(S_N\) mesuré en \(M\).
Voir l'indice
Cet exercice est une application directe du principe de superposition. Les champs (gravitationnels, électriques, etc.) créés par plusieurs sources s'additionnent vectoriellement.
Afficher le corrigé
Corrigé non disponible pour le moment.
Exercice n°3 (Goutte d'eau en chute libre) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère une goutte d'eau sphérique de rayon \(a\) indéformable de masse volumique \(\rho_e\) qui tombe en chute libre dans un champ de pesanteur constant de norme \(g\).
Lors de sa chute, la goutte d'eau subit une force de traînée constante notée \(\vec{F}_t\) est égale à : \[ \vec{F}_t=-6\pi\eta \frac{a^2}{a+l}\cdot \vec{v} \]
1. Exprimer dans le système international des unités, l'unité de la constante \(\eta\).
2. En négligeant d'abord la poussée d'Archimède, démontrer que la vitesse est solution de l'équation : \[ \frac{d\vec{v}}{dt}+ \frac{9\eta}{2a\rho_e(a+l)}\cdot \vec{v}=g \] (Note : le \(g\) dans l'équation devrait être \(\vec{g}\) pour être homogène)
3. Déterminer, à partir de l'équation obtenue, la vitesse maximale atteignable par la goutte d'eau, notée \(v_\infty\).
4. Résoudre l'équation différentielle sachant que la goutte d'eau tombe sans vitesse initiale.
On note \(\rho_a\) la masse volumique de l'air.
5. Démontrer que si l'on considère l'action de la poussée d'Archimède alors l'équation devient : \[ \frac{d\vec{v}}{dt}+ \frac{9\eta}{2a\rho_e(a+l)}\cdot \vec{v}=\left(1+\frac{\rho_a}{\rho_e}\right)g \] (Note : il y a une probable erreur de signe, la poussée d'Archimède s'oppose au poids, on s'attend à \( (1 - \rho_a/\rho_e) \))
6. Expliquer pourquoi l'effet de la poussée d'Archimède est négligeable sachant que \(\rho_a=1\) g.L⁻¹.
Voir l'indice
1. Faites une analyse dimensionnelle. Isolez \(\eta\) et exprimez son unité en fonction des autres (Force en N, longueurs en m, vitesse en m/s).
2. Appliquez la 2ème loi de Newton : \(m\vec{a} = \sum \vec{F}\). Les forces sont le Poids (\(m\vec{g}\)) et la force de traînée (\(\vec{F}_t\)). Exprimez la masse \(m\) en fonction de \(\rho_e\) et du volume de la sphère \(V = \frac{4}{3}\pi a^3\).
3. La vitesse limite \(v_\infty\) est atteinte lorsque l'accélération est nulle, c'est-à-dire \(\frac{d\vec{v}}{dt} = 0\).
5. Ajoutez la Poussée d'Archimède \(\vec{\Pi} = - \rho_a V \vec{g}\) au bilan des forces de la Q2.
6. Comparez \(\rho_a\) à \(\rho_e\) (la masse volumique de l'eau est \(\approx 1000\) g.L⁻¹).
Afficher le corrigé
Corrigé non disponible pour le moment.
Exercice n°4 (Brique sur une pente incliné) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère une brique sur un plan incliné d'un angle \(\alpha\). On note \(A\) le point initial où se trouve la brique et \(B\) le point situé à l'extrémité basse du plan. On suppose que la brique subie une force de frottement qui s'oppose à sa vitesse notée \(\vec{T}\). On suppose que la norme de la force de frottement \(\vec{T}\) s'écrit : \[ ||\vec{T}||=f||\vec{R}|| \] où \(f\) est le coefficient de frottement et \(\vec{R}\) la réaction normale au support.
1. Exprimer la dimension du coefficient de frottement dans le système international des unités.
2. Réaliser le bilan des actions mécaniques extérieures et dire si ce sont des actions de contact ou à distance.
3. A partir du principe fondamental de la dynamique, déterminer l'équation différentiel du mouvement.
4. Si l'on suppose que \(f\) et le temps mis par la brique pour aller de \(A\) à \(B\), montrer que l'on peut exprimer et calculer la réaction normale au support \(\vec{R}\).
Voir l'indice
1. \(||\vec{T}||\) et \(||\vec{R}||\) sont deux forces (en Newtons). Que pouvez-vous en déduire sur l'unité de \(f\) ?
2. Il y a 3 forces : Poids, Réaction normale, Frottements.
3. Appliquez la 2ème loi de Newton. Il est indispensable de projeter les forces sur un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) où \(\vec{i}\) est parallèle à la pente et \(\vec{j}\) est perpendiculaire.
4. La projection du PFD sur l'axe \(\vec{j}\) (perpendiculaire) vous donnera directement la norme de \(\vec{R}\), car l'accélération sur cet axe est nulle.
Afficher le corrigé
Corrigé non disponible pour le moment.
En route vers le supérieur
Exercice n°5 (Un pas sur la Lune) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On considère un objet de masse \(m\) jeté en chute libre sans vitesse initiale ne subissant aucune rotation sur lui-même sur la Lune. On suppose que le champ gravitationnel de la Lune est 6 fois moins intense que sur Terre.
1. Justifier que l'objet peut être assimilé à un point matériel. Quel point de l'objet choisit-on ?
2. Revenir à la définition de la force gravitationnelle pour exprimer l'attraction de la Lune de masse \(M_L\) et de rayon \(R_L\) sur l'objet de masse \(m\). (on négligera la hauteur de l'objet par rapport à la surface de Lune)
3. Revenir à la définition de la force gravitationnelle pour exprimer l'attraction de la Terre de masse \(M_T\) et de rayon \(R_T\) sur un objet de même masse \(m\). (on négligera la hauteur de l'objet par rapport à la surface de Terre).
4. Exprimer la relation d'égalité entre \(M_T\), \(M_L\), \(R_T\) et \(R_L\) à partir de la phrase écrite en gras.
On considère maintenant l'étude de la chute libre de l'objet de masse \(m\) à la surface de la Lune.
5. Déterminer les équations du mouvement associées.
6. Exprimer le temps mis par l'objet pour réaliser sa chute libre d'une hauteur \(H\).
7. Exprimer notamment la vitesse finale au point d'impact.
Voir l'indice
1. Voir la Définition 5 du cours de cinématique.
4. "Champ gravitationnel" (\(g\)) est la force (\(F_g\)) divisée par la masse de l'objet (\(m\)). Posez \(g_{Lune} = \frac{1}{6} g_{Terre}\) et utilisez les expressions de Q2 et Q3.
5. Appliquez la 2ème loi de Newton dans le référentiel lunaire. La seule force est le poids lunaire \(\vec{P}_L = m\vec{g}_L\).
6. C'est un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Utilisez l'équation horaire \(z(t) = \frac{1}{2} a_z t^2 + v_0 t + z_0\).
Afficher le corrigé
Corrigé non disponible pour le moment.
Exercice n°6 (Validité du modèle du point matériel) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Le but de cet exercice est de démontrer la validité du modèle du point matériel : lorsqu'on étudie que le mouvement de translation d'un solide alors il est possible de ramener son étude à son centre de gravité en y concentrant toute sa masse en ce point puis on verra que le principe fondamental de la dynamique est valide dans ce cas précisément.
On considère un système discret de masses finis \(m\) (constitué de points en nombre fini) en \(N\) points notés \(M_1,M_2,... \) à \(M_N\). Soit \(M_k\) un point quelconque du système et on note \(\vec{V}_{M_k}\) sa vitesse. En notant \(G\) le barycentre (centre de gravité) de ce système et \(\vec{V}_{G}\) sa vitesse alors on peut écrire : \[ \vec{V}_{M_k}=\vec{V}_{G}+\vec{\Omega}_{M_k/G}\wedge\overrightarrow{GM_k} \]
1. Montrer que dans les hypothèses de l'énoncé, la vitesse \(\vec{V}_{M_k}\) est finalement donnée par : \[ \vec{V}_{M_k}=\vec{V}_{G} \]
2. Interpréter alors le résultat précédent - que dire du mouvement de chaque point \(M_k\) ?
3. Montrer que la vitesse du centre de gravité \(G\) vérifie l'équation : \[ m\frac{d\vec{V}_G}{dt}=\vec{R}^{(ext)}+\sum_{j=1}^N\sum_{i=1,i\ne j}^N\vec{F_i}_{M_i\rightarrow M_j} \] où \(\vec{R}^{(ext)}\) est la résultante des forces extérieures et \(\vec{F_i}_{M_i\rightarrow M_j}\) la force de gravitation appliquée en \(M_j\) par la source \(M_i\).
4. Justifier que l'on a bien : \[ \sum_{j=1}^N\sum_{i=1,i\ne j}^N\vec{F_i}_{M_i\rightarrow M_j}=0 \]
5. Conclure sur la validité du modèle du point matériel pour un solide en translation pure.
Voir l'indice
1. L'énoncé précise qu'on "étudie que le mouvement de translation". Qu'est-ce que cela signifie pour la rotation \(\vec{\Omega}\) ?
4. Utilisez la 3ème loi de Newton (Principe des actions réciproques) sur les paires de forces internes \(\vec{F}_{i \to j}\) et \(\vec{F}_{j \to i}\).
5. Comparez l'équation finale obtenue à la 2ème loi de Newton appliquée à un simple point matériel de masse \(m\).
Afficher le corrigé
Corrigé non disponible pour le moment.