Le son se propage dans l’air. Dire “\(c=340\ \text{m·s}^{-1}\)” signifie : la perturbation se propage à environ \(340\ \text{m·s}^{-1}\) par rapport à l’air. Si l’air se déplace par rapport au sol, alors la perturbation est en plus “emportée” par le mouvement du milieu.

Dans la situation A, le vent est dans le même sens que la propagation, donc la célérité par rapport au sol vaut \[ c_A = c+u. \] Dans la situation B, le vent est opposé, donc \[ c_B = c-u. \] Avec \(c=340\) et \(u=10\), on obtient \(c_A=350\ \text{m·s}^{-1}\) et \(c_B=330\ \text{m·s}^{-1}\).

La source est immobile : elle émet une vibration de période \(T=\dfrac{1}{f}\) qui ne dépend pas du vent. Un observateur immobile reçoit toujours un front d’onde toutes les \(T\) secondes. Donc la fréquence perçue reste \(f\), le vent ne change pas la fréquence dans ce cas précis (source immobile et observateur immobile dans le référentiel du sol).

En revanche, la longueur d’onde mesurée dans le référentiel du sol dépend de la vitesse à laquelle l’onde se déplace dans ce référentiel. On a toujours, dans un référentiel donné, \[ \lambda = \frac{\text{célérité dans ce référentiel}}{\text{fréquence}}. \] Donc \[ \lambda_A=\frac{c_A}{f}=\frac{c+u}{f},\qquad \lambda_B=\frac{c_B}{f}=\frac{c-u}{f}. \]

Calcul numérique avec \(f=600\ \text{Hz}\). \[ \lambda_A=\frac{350}{600}\approx 0{,}583\ \text{m}. \] \[ \lambda_B=\frac{330}{600}=0{,}550\ \text{m}. \] Sans vent, \(\lambda_0=\dfrac{340}{600}\approx 0{,}567\ \text{m}\). On voit que le vent dans le dos augmente la longueur d’onde au sol, et le vent de face la diminue.

On ajoute maintenant un observateur qui se déplace vers la source à \(v_o=5{,}0\ \text{m·s}^{-1}\). L’idée est la même que pour un observateur mobile, mais la vitesse de rencontre des fronts d’onde doit être évaluée dans le référentiel du sol.

Dans la situation A, les fronts se déplacent vers l’observateur à la vitesse \(c_A\) par rapport au sol, et l’observateur se déplace vers la source, donc vers les fronts, à \(v_o\). La vitesse relative de rencontre est \(c_A+v_o\). La longueur d’onde au sol est \(\lambda_A\). Donc la fréquence perçue vaut \[ f'_A=\frac{c_A+v_o}{\lambda_A}. \] Or \(\lambda_A=\dfrac{c_A}{f}\), donc \[ f'_A=\frac{c_A+v_o}{c_A/f}=f\left(1+\frac{v_o}{c_A}\right). \] Numériquement : \[ f'_A=600\left(1+\frac{5}{350}\right)=600\left(1+0{,}0143\right)\approx 609\ \text{Hz}. \]

Dans la situation B, on remplace \(c_A\) par \(c_B\) : \[ f'_B=f\left(1+\frac{v_o}{c_B}\right)=600\left(1+\frac{5}{330}\right). \] \(\frac{5}{330}\approx 0{,}0152\), donc \[ f'_B\approx 600\times 1{,}0152 \approx 609\ \text{Hz}. \] Les deux valeurs sont proches car \(u\) reste petit devant \(c\), mais on voit que le vent de face (célérité plus faible au sol) rend le même mouvement de l’observateur légèrement plus “efficace” sur le Doppler, car \(\dfrac{v_o}{c_B}\) est un peu plus grand que \(\dfrac{v_o}{c_A}\).

Discussion. La note jouée fixe la fréquence \(f\), donc la période d’émission est stable : le vent ne “change pas la note”. En revanche, le vent modifie la propagation au sol, donc la longueur d’onde mesurée à distance et le temps de propagation. Si on déduit une longueur d’onde à partir d’une mesure de vitesse de propagation, ou si on fait des mesures de délai (temps de vol), le vent introduit une erreur si on ne le prend pas en compte.

On imagine que l’avion émet une perturbation sonore en continu. À un instant donné, on regarde ce qui a été émis un peu plus tôt. En un temps \(\Delta t\), l’avion s’est déplacé d’une distance \(v\Delta t\). Pendant ce même temps, une perturbation sonore émise à l’instant initial s’est propagée dans l’air sur une distance \(c\Delta t\) dans toutes les directions.

Si \(v

Si \(v>c\), alors \(v\Delta t > c\Delta t\). La sphère de rayon \(c\Delta t\) est entièrement “derrière” la position actuelle de l’avion : l’avion est toujours en avant des fronts qu’il a émis. Les fronts successifs s’empilent et forment une enveloppe géométrique : c’est une surface conique, appelée cône de Mach, sur laquelle l’onde de choc est concentrée.

Pour redémontrer la relation, on se place dans une coupe du mouvement. Au bout du temps \(\Delta t\), l’avion est à distance \(v\Delta t\) du point où un front a été émis. Ce front a un rayon \(c\Delta t\). La génératrice du cône est tangente à cette sphère. On obtient un triangle rectangle où l’hypoténuse correspond au déplacement de l’avion \(v\Delta t\) et le côté opposé à l’angle \(\mu\) correspond au rayon \(c\Delta t\). On a donc \[ \sin(\mu)=\frac{c\Delta t}{v\Delta t}=\frac{c}{v}. \] En posant \(M=\dfrac{v}{c}\), on obtient \[ \sin(\mu)=\frac{1}{M}. \]

Pour \(v=1{,}5c\), on a \(M=1{,}5\). Donc \[ \sin(\mu)=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667, \] d’où \[ \mu \approx \arcsin(0{,}667)\approx 41{,}8^\circ. \] Quand la vitesse augmente, \(\dfrac{c}{v}\) diminue, donc \(\sin(\mu)\) diminue et l’angle \(\mu\) diminue : le cône se resserre (il devient plus “pointu”).

Temps d’arrivée du bang. L’observateur entend le bang lorsque la surface du cône passe par sa position. Dans une vue du dessus, la trace du cône correspond à deux droites faisant un angle \(\mu\) avec la trajectoire. Si l’avion avance sur l’axe \(x\) et l’observateur est à distance latérale \(d\) (coordonnée \(y=d\)), la droite limite vérifie \[ \tan(\mu)=\frac{d}{x}, \] où \(x\) est la distance le long de la trajectoire entre la position de l’avion au moment de l’écoute et le point de plus proche approche (instant \(t=0\)).

Donc \[ x=\frac{d}{\tan(\mu)}. \] Avec \(\mu \approx 41{,}8^\circ\), \(\tan(\mu)\approx 0{,}895\). Donc \[ x \approx \frac{2000}{0{,}895}\approx 2235\ \text{m}. \] L’avion met un temps \(\Delta t=\dfrac{x}{v}\) pour parcourir cette distance après le passage au plus près. Or \(v=1{,}5c=510\ \text{m·s}^{-1}\). Donc \[ \Delta t \approx \frac{2235}{510}\approx 4{,}38\ \text{s}. \] L’observateur entend donc le bang environ 4,4 s après que l’avion soit passé au point de distance minimale.

Discussion. L’onde de choc correspond à une discontinuité de pression : l’énergie est concentrée sur une surface mince, donc quand cette surface passe sur l’observateur, il entend un “bang” bref. Le double bang peut venir de deux ondes de choc principales (par exemple une liée au nez et une liée à l’arrière de l’avion) qui arrivent à quelques instants d’écart.

Dans l’eau, la vitesse de la lumière vaut \[ c_{\text{eau}}=\frac{c}{n}=\frac{3{,}00\times 10^8}{1{,}33}\approx 2{,}26\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}. \] L’électron à \(v=0{,}90c\) a une vitesse \[ v=0{,}90\times 3{,}00\times 10^8=2{,}70\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}. \] On vérifie : \[ c_{\text{eau}} \approx 2{,}26\times 10^8 < 2{,}70\times 10^8 = v < 3{,}00\times 10^8=c. \] Donc l’électron est plus rapide que la lumière dans l’eau, tout en restant plus lent que la lumière dans le vide. Il n’y a pas de contradiction avec “rien ne dépasse \(c\)”.

Qualitativement, l’électron chargé perturbe le milieu électromagnétique autour de lui. Si cette perturbation se déplace plus vite que la vitesse à laquelle l’information lumineuse se propage dans le milieu, les “ondes” émises ne peuvent pas s’étaler devant la particule : elles s’additionnent sur une surface conique, comme pour un cône de Mach. Cela produit un rayonnement cohérent : le rayonnement Tcherenkov.

On utilise la formule donnée : \[ \cos\theta=\frac{c}{nv}. \] Ici \(v=0{,}90c\). Donc \[ \cos\theta=\frac{c}{n(0{,}90c)}=\frac{1}{0{,}90n}=\frac{1}{0{,}90\times 1{,}33}. \] \(0{,}90\times 1{,}33=1{,}197\). Donc \[ \cos\theta \approx \frac{1}{1{,}197}\approx 0{,}835. \] Ainsi \[ \theta \approx \arccos(0{,}835)\approx 33^\circ. \]

Pour \(v=0{,}75c\), on a \(v=2{,}25\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}\), ce qui est légèrement inférieur à \(c_{\text{eau}}\approx 2{,}26\times 10^8\ \text{m·s}^{-1}\). La condition d’existence est \[ v > \frac{c}{n}. \] Ici elle n’est pas satisfaite (ou très légèrement pas), donc il n’y a pas de rayonnement Tcherenkov dans ces conditions.

Discussion. Le rayonnement Tcherenkov a un spectre qui favorise les courtes longueurs d’onde : l’intensité augmente quand la longueur d’onde diminue, ce qui rend le bleu très visible. Ce n’est pas un “décalage Doppler” d’une lumière existante : c’est une lumière produite par la particule dans le milieu. Le Doppler modifie une fréquence déjà émise par une source ; ici, le phénomène vient d’une émission liée au dépassement de la vitesse de phase dans le milieu.

On part de la définition : \[ z=\frac{\lambda_{\text{obs}}-\lambda_0}{\lambda_0}. \] On divise : \[ z=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_0}-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_0}=1+z. \] Donc \(R=1+z\).

Pour \(z=0{,}10\), on a \[ R=1+z=1{,}10. \] Approximation classique (vitesses faibles) : \[ v \simeq zc = 0{,}10\times 3{,}00\times 10^8=3{,}0\times 10^7\ \text{m·s}^{-1}. \] En km/s : \(3{,}0\times 10^7\ \text{m·s}^{-1}=3,0\times 10^4\ \text{km·s}^{-1}\).

Formule relativiste. On pose \[ R=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}. \] On élève au carré : \[ R^2=\frac{1+\beta}{1-\beta}. \] Produit en croix : \[ R^2(1-\beta)=1+\beta \quad\Rightarrow\quad R^2 - R^2\beta = 1 + \beta. \] On regroupe les termes en \(\beta\) : \[ -R^2\beta - \beta = 1 - R^2 \quad\Rightarrow\quad \beta(R^2+1)=R^2-1. \] Donc \[ \beta=\frac{R^2-1}{R^2+1}. \]

Avec \(R=1{,}10\), on a \(R^2=1{,}21\). Donc \[ \beta=\frac{1{,}21-1}{1{,}21+1}=\frac{0{,}21}{2{,}21}\approx 0{,}0950. \] Ainsi \[ v=\beta c\approx 0{,}0950\times 3{,}00\times 10^8=2{,}85\times 10^7\ \text{m·s}^{-1}. \] En km/s : \(\approx 2,85\times 10^4\ \text{km·s}^{-1}\).

Comparaison. La vitesse classique donnait \(3{,}0\times 10^7\ \text{m·s}^{-1}\) et la relativiste \(2{,}85\times 10^7\ \text{m·s}^{-1}\). L’approximation \(v\simeq zc\) surestime légèrement la vitesse ici, mais l’erreur reste modérée pour \(z=0{,}10\).

Pour la raie H-alpha : \[ \lambda_{\text{obs}}=(1+z)\lambda_0=1{,}10\times 656\ \text{nm}\approx 722\ \text{nm}. \] \(722\ \text{nm}\) est juste au-delà du visible rouge (limite \(\sim 700\ \text{nm}\)) : la raie commence à basculer vers l’infrarouge proche.

Discussion. Un redshift peut venir d’un mouvement d’éloignement “classique” (Doppler) ou d’un effet lié à l’expansion de l’Univers (redshift cosmologique). Au niveau terminale, on sépare souvent les deux car l’interprétation cosmologique demande des outils supplémentaires (relativité générale, modèle d’expansion), alors que l’effet Doppler est déjà accessible avec l’idée de mouvement relatif.

\(u(x,t)\) représente le déplacement d’un point du solide situé à la position \(x\) (par rapport à sa position d’équilibre). Quand \(u\) varie avec \(x\) et \(t\), cela signifie que le mouvement n’est pas identique partout et qu’une perturbation se propage : c’est une onde mécanique dans la matière.

On calcule d’abord la longueur d’onde : \[ \lambda=\frac{c_s}{f}=\frac{5{,}0\times 10^3}{200}=25\ \text{m}. \] Donc \[ k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{25}\approx 0{,}251\ \text{rad·m}^{-1}. \] Et \[ \omega=2\pi f=2\pi\times 200\approx 1{,}26\times 10^3\ \text{rad·s}^{-1}. \]

On dérive : \[ \varepsilon_{xx}(x,t)=\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\left(A\cos(kx-\omega t)\right) =-Ak\sin(kx-\omega t). \] La fonction \(\sin\) varie entre \(-1\) et \(+1\). L’amplitude maximale de déformation vaut donc \[ \varepsilon_{\max}=Ak. \] Numériquement : \[ \varepsilon_{\max}=2{,}0\times 10^{-6}\times 0{,}251 \approx 5{,}0\times 10^{-7}. \] C’est une déformation relative très petite (de l’ordre du micro/million).

Hooke 1D : \[ \sigma_{xx}=E\varepsilon_{xx}. \] Donc l’amplitude maximale de contrainte vaut \[ \sigma_{\max}=E\varepsilon_{\max}. \] Avec \(E=210\ \text{GPa}=2{,}10\times 10^{11}\ \text{Pa}\), \[ \sigma_{\max}=2{,}10\times 10^{11}\times 5{,}0\times 10^{-7} \approx 1{,}05\times 10^{5}\ \text{Pa} =0{,}105\ \text{MPa}. \] À comparer à \(200\ \text{MPa}\) : la contrainte due à cette vibration est environ \(2000\) fois plus petite. Donc la vibration seule, avec ces paramètres, ne plastifie pas l’acier.

Discussion MMC. Une contrainte normale \(\sigma_{xx}\) correspond à une traction/compression perpendiculaire à une section. Une contrainte de cisaillement \(\tau_{xy}\) correspond à une force tangente à une section (glissement). Par exemple, une vibration où la face supérieure d’une plaque se déplace horizontalement pendant que la face inférieure est bloquée crée plutôt du cisaillement : c’est typique d’une déformation en “parallélogramme”.

Aller plus loin (3D). Si la vibration est purement longitudinale en \(x\), on a seulement \(\varepsilon_{xx}\neq 0\) et tous les autres termes sont négligés. Le tenseur devient \[ \boldsymbol{\varepsilon}= \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Les valeurs propres (déformations principales) sont alors simplement \(\varepsilon_1=\varepsilon_{xx}\), \(\varepsilon_2=0\), \(\varepsilon_3=0\). Interprétation : la déformation est “principalement” une traction/compression dans une direction, sans déformation principale dans les directions transverses (dans ce modèle simplifié).

On calcule la trace : \[ \text{tr}(\boldsymbol{\sigma})=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}=12+(-4)+2=10\ \text{MPa}. \] Donc \[ p=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\ \text{MPa}. \] Un tenseur purement hydrostatique serait de la forme \(p\boldsymbol{I}\) : même contrainte normale dans toutes les directions, sans cisaillement. Physiquement, cela correspond à une pression uniforme (compression) ou une “tension” uniforme (si \(p>0\) en convention traction), sans tendance à faire glisser des plans l’un sur l’autre.

Déviateur : \[ \boldsymbol{s}=\boldsymbol{\sigma}-p\boldsymbol{I}= \begin{pmatrix} 12-p & 6 & 0\\ 6 & -4-p & 0\\ 0 & 0 & 2-p \end{pmatrix}. \] Avec \(p=10/3\), \[ 12-\frac{10}{3}=\frac{36-10}{3}=\frac{26}{3}\approx 8{,}67, \] \[ -4-\frac{10}{3}=\frac{-12-10}{3}=\frac{-22}{3}\approx -7{,}33, \] \[ 2-\frac{10}{3}=\frac{6-10}{3}=\frac{-4}{3}\approx -1{,}33. \] Donc \[ \boldsymbol{s}\approx \begin{pmatrix} 8{,}67 & 6 & 0\\ 6 & -7{,}33 & 0\\ 0 & 0 & -1{,}33 \end{pmatrix}\ \text{MPa}. \] La trace vaut \(8{,}67-7{,}33-1{,}33\approx 0\). C’est attendu car on a retiré la partie moyenne : le déviateur est par définition “sans trace”, il représente la partie qui change la forme (distorsion) mais pas le volume moyen.

Contraintes principales. Comme le bloc en \(z\) est indépendant, une valeur propre est \[ \sigma_3=\sigma_{zz}=2\ \text{MPa}. \] Pour le bloc 2D \[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} 12 & 6\\ 6 & -4 \end{pmatrix}, \] les valeurs propres \(\lambda\) vérifient \[ \det(\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I})=0 \Rightarrow \det\begin{pmatrix} 12-\lambda & 6\\ 6 & -4-\lambda \end{pmatrix}=0. \] Donc \[ (12-\lambda)(-4-\lambda)-36=0. \] Développons : \[ (12-\lambda)(-4-\lambda)=12(-4-\lambda)-\lambda(-4-\lambda) =-48-12\lambda+4\lambda+\lambda^2 =\lambda^2-8\lambda-48. \] L’équation devient \[ \lambda^2-8\lambda-48-36=0 \Rightarrow \lambda^2-8\lambda-84=0. \] Discriminant : \[ \Delta = (-8)^2-4\times 1\times (-84)=64+336=400. \] Donc \(\sqrt{\Delta}=20\), et \[ \lambda=\frac{8\pm 20}{2}. \] Ainsi \[ \lambda_1=\frac{28}{2}=14\ \text{MPa},\quad \lambda_2=\frac{-12}{2}=-6\ \text{MPa}. \] Les contraintes principales sont donc \(14\ \text{MPa}\), \(-6\ \text{MPa}\), \(2\ \text{MPa}\) (à ordonner si besoin : \(\sigma_I=14\), \(\sigma_{II}=2\), \(\sigma_{III}=-6\)).

Directions principales dans \((x,y)\). Pour \(\lambda_1=14\), on résout \[ (\boldsymbol{A}-14\boldsymbol{I})\vec{n}=0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 12-14 & 6\\ 6 & -4-14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}n_x\\ n_y\end{pmatrix}=0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 6\\ 6 & -18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}n_x\\ n_y\end{pmatrix}=0. \] La première ligne donne \(-2n_x+6n_y=0\Rightarrow n_x=3n_y\). On peut choisir \(n_y=1\), donc \(\vec{n}_1=(3,1)\) (direction principale associée à 14 MPa).

Pour \(\lambda_2=-6\) : \[ (\boldsymbol{A}+6\boldsymbol{I})= \begin{pmatrix} 18 & 6\\ 6 & 2 \end{pmatrix}. \] Première ligne : \(18n_x+6n_y=0\Rightarrow 3n_x+n_y=0\Rightarrow n_y=-3n_x\). On peut prendre \(n_x=1\), donc \(\vec{n}_2=(1,-3)\) (direction principale associée à -6 MPa). On remarque que les directions sont orthogonales (produit scalaire \(3\times 1 + 1\times (-3)=0\)), ce qui est normal pour un tenseur symétrique.

Discussion. Les contraintes moyennes (hydrostatiques) tendent surtout à changer le volume (compression/expansion), tandis que les composantes déviatoriques créent des distorsions (cisaillements) qui “font glisser” les plans de matière. Or la plasticité et l’endommagement dans beaucoup de métaux sont fortement liés aux mécanismes de glissement cristallin : ce sont donc les effets de cisaillement qui déclenchent plus facilement des déformations irréversibles, d’où l’importance du déviateur dans des critères comme von Mises.

Lien vibration. Une plaque en flexion (mode de flexion) crée des tractions/compressions selon l’épaisseur, donc des \(\sigma_{xx}\) (ou \(\sigma_{yy}\)) alternées. Une vibration avec torsion ou une flexion non symétrique peut aussi créer des cisaillements \(\tau_{xy}\) : cela signifie que localement, des couches de matière tendent à glisser les unes par rapport aux autres, en plus de l’allongement/compression.