Terminale : Exercices sur le mouvement des corps célestes
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice 1 (Troisième loi de Kepler) ❤️ 🌶️ 🌶️ 🌶️
L'objectif de cet exercice est d'établir une des relations les plus importantes en astronomie, la troisième loi de Kepler. On cherche à étudier le mouvement d'un satellite \(\mathcal{S}\) de masse \(m\) qui autour du Soleil a un mouvement circulaire. On suppose que le satellite n'est soumis qu'à la force gravitationnelle qu'exerce sur lui le Soleil. Dans toute la suite, \(a\) désignera le rayon de la trajectoire du satellite autour du Soleil, \(T\) le temps de parcours de l'orbite par le satellite, \(G\) la constante universelle gravitationnelle et \(M_\odot\) la masse du Soleil.
1. Définir le système que l'on étudie puis le référentiel adapté à notre étude.
2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que la vitesse du satellite sur son orbite est constante au cours du temps.
3. En utilisant à nouveau le principe fondamental de la dynamique, déterminer l'expression de la vitesse notée \(v\) du satellite sur son orbite.
4. En déduire la troisième loi de Kepler : \[ \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM_\odot} \]
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1. Système : {Satellite \(\mathcal{S}\)}. Référentiel : Héliocentrique (supposé galiléen).
2. Appliquez le PFD (\(m\vec{a} = \sum \vec{F}\)) dans le repère de Frenet. La force gravitationnelle \(\vec{F}_G\) est purement normale (portée par \(\vec{n}\)). Regardez la composante de l'accélération sur \(\vec{t}\).
3. Utilisez la composante de l'accélération sur \(\vec{n}\) (\(a_n = v^2/a\)).
4. La vitesse \(v\) est constante. Exprimez-la en fonction de la distance parcourue (la circonférence \(2\pi a\)) et de la période \(T\). Mettez au carré et égalez avec le résultat de la Q3.
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Exercice 2 (Étude d'un satellite géostationnaire) ❤️ 🌶️ 🌶️ 🌶️
1. Rappeler la définition d'une orbite géostationnaire.
2. Montrer que si la trajectoire d'un satellite géostationnaire de masse \(m\) est circulaire alors son mouvement est circulaire uniforme.
3. En déduire que l'accélération du satellite est centripète et s'écrit dans le repère de Frenet : \[ \vec{a}=G\frac{M_T}{r^2}\cdot\vec{n} \] où \(M_T\) désigne la masse de la Terre et \(r\) le rayon de l'orbite géostationnaire.
4. Montrer par ailleurs que la vitesse du satellite s'écrit aussi : \[ \vec{v}=\sqrt{G\frac{M_T}{r}}\cdot\vec{t} \]
5. En déduire alors que si l'on note \(T\) le temps de révolution du satellite alors on retrouve la troisième loi de Kepler : \[ \frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM_T} \]
6. Si l'on note \(h\) la hauteur du satellite par rapport au sol, montrer que : \[ h=\sqrt[3]{\frac{GM_TT^2}{4\pi^2}}-R_T \]
7. Application numérique : \(M_T=6.10^{24}\) kg, \(G=6,7.10^{-11}\) m³.kg⁻¹.s⁻² et \(R_T=6,4.10^3\) km.
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1. Un satellite géostationnaire est immobile par rapport à un point de la surface de la Terre. Quelle doit être sa période de révolution ?
2. Appliquez le PFD comme dans l'Exercice 1. La force étant centrale (sur \(\vec{n}\)), l'accélération tangentielle \(\frac{dv}{dt}\) est nulle, donc \(v\) est constante.
5. De même que pour l'Exercice 1, Q4 : exprimez la vitesse \(v\) en fonction de \(r\) et \(T\).
6. N'oubliez pas que le rayon de l'orbite \(r\) est la distance au centre de la Terre, donc \(r = R_T + h\).
7. N'oubliez pas de convertir la période \(T\) (environ 24h) et le rayon \(R_T\) (en km) en secondes et en mètres !
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Exercice 3 (Deuxième loi de Kepler) 🌶️ 🌶️ 🌶️
On s'intéresse à l'étude d'un satellite de masse \(m\) selon le modèle de la première loi de Kepler - qui énoncé que sa trajectoire est une ellipse autour d'un corps attracteur situé sur l'un des foyers. On repère par un point \(M\) le satellite et un point \(A\) son corps attracteur.
1. Dessiner la trajectoire du satellite \(M\).
En se plaçant dans le repère de Frenet en prenant comme origine le point \(A\), alors la vitesse du point \(M\) notée \(\vec{v}_M\) et l'accélération du point \(M\) notée \(\vec{a}_M\) sont données par : \[ \vec{v}_M=v_n(t)\cdot\vec{n}+v_t(t)\cdot\vec{t} \quad \textrm{et} \quad \vec{a}_M=\frac{v^2_M(t)}{r}\cdot\vec{n}+\frac{dv_M(t)}{dt}\cdot\vec{t} \] En \(A\), on place un repère fixe d'axes \(\vec{x}\) (horizontal) et \(\vec{y}\) (vertical) et on note \(\theta\) l'angle formé entre l'axe \((A,\vec{x})\) et le vecteur \(\overrightarrow{AM}\). Ainsi \(M\) est repérable par \(r=AM\) et \(\theta=(\vec{x},\overrightarrow{AM})\) donc on peut écrire : \[ \vec{v}_M=-\frac{dr(t)}{dt}\cdot\vec{n}+r\frac{d\theta(t)}{dt}\cdot\vec{t} \]
2. Justifier que les grandeurs \(r\) et \(\theta\) varient au cours du temps.
Soit \(\vec{u}\) un vecteur quelconque.
3. Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{u}\). Que remarquez-vous ?
4. Calculer \(\vec{n} \wedge \vec{t}\), \(\vec{t} \wedge \vec{z}\) et \(\vec{n} \wedge \vec{z}\).
5. Quelle relation a-t-on entre \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) et \(\vec{v} \wedge \vec{u}\) ?
On définit le moment cinétique du point \(M\), noté \(\vec{L}_M\) comme la grandeur suivante : \[ \vec{L}_M=\overrightarrow{AM}\wedge m\vec{v}_M \]
6. Calculer le moment cinétique du point \(M\).
Dans le cas de forces conservatives, on démontre que le moment cinétique est constant.
On définit la constante des aires, notée \(\mathcal{C}\), comme suit : \[ \mathcal{C}=r^2(t)\frac{d\theta(t)}{dt} \]
7. Montrer que la constante des aires est bien une constante du temps.
Si l'on note \(M_1=M(t)\) et \(M_2=M(t+dt)\) deux points pris successivement par le satellite avec \(d\theta(t)=(\overrightarrow{AM}(t),\overrightarrow{AM}(t+dt))\), montrer que l'aire du triangle \(AM_1M_2\) notée \(\mathcal{A}\) est égale à : \[ \mathcal{A}=\frac{r^2(t)d\theta(t)}{2} \]
8. En déduire que l'aire se conserve au cours du temps.
9. Conclure.
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2. La trajectoire est une ellipse et non un cercle, donc la distance \(r\) au foyer (Soleil) n'est pas constante. L'angle \(\theta\) varie aussi, sinon le satellite ne bougerait pas.
3. L'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{u}\) est 0. \(\sin(0) = ?\)
5. Regardez la définition du sinus : \(\sin(\vec{u}, \vec{v}) = -\sin(\vec{v}, \vec{u})\).
6. Exprimez \(\overrightarrow{AM}\) (qui est \(r\vec{n}\)) et \(\vec{v}_M\) (donné dans l'énoncé) dans la formule \(\vec{L}_M\). Utilisez les propriétés du produit vectoriel \(\vec{n} \wedge \vec{n} = 0\) et \(\vec{n} \wedge \vec{t} = \vec{z}\).
7. Le moment cinétique \(\vec{L}_M\) est constant. Donc sa norme l'est aussi. Comparez \(||\vec{L}_M||\) et \(\mathcal{C}\).
8. L'aire d'un triangle \(OAB\) est \(\frac{1}{2} || \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} ||\). Appliquez ceci à \(AM_1M_2\).
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Exercice 4 (Calcul du rayon de Schwarzschild de la Terre) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Un objet de masse \(m\) cherche à s'échapper de l'attraction gravitationelle de la Terre. Pour cela, il doit acquérir une vitesse de libération minimale notée \(v^*\).
1. A partir d'un raisonnement énergétique, pour que l'objet, subissant que l'effet gravitationnel de la Terre, s'éloigne jusqu'à l'infini, montrer que l'énergie mécanique \(E_m\) de l'objet doit vérifier : \[ E_m = 0 \] On suppose que l'expression de l'énergie \(E_p\) potentielle de la force gravitationnelle que subie l'objet par la Terre de masse \(M_T\) et distant de \(r\) s'écrit : \[ E_p=-G\frac{mM_T}{r} \]
2. En déduire alors que la vitesse de libération minimale s'exprime comme : \[ v^*=\sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} \] (Note : Correction de la formule, il manquait un 2)
Il existe des corps dont la densité est si élevée que leur champ gravitationnel ne permet même pas à la lumière de s'en échapper - on parle de trous noirs.
3. Justifier alors que dans le cas des trous noirs, on a : \[ v^*>c \] où \(c\) est la vitesse de la lumière.
4. Montrer alors que le rayon maximale noté \(R\) que doit avoir la Terre pour devenir un trou noir est : \[ R=\frac{2GM_T}{c^2} \] On appelle \(R\) le rayon de Schwarzschild (de la Terre).
5. Application numérique : \(M_T=6.10^{24}\) kg, \(G=6,7.10^{-11}\) m³.kg⁻¹.s⁻² et \(R_T=6,4.10^3\) km.
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1. L'énergie mécanique \(E_m = E_c + E_p\) est conservée. "S'échapper à l'infini" signifie que l'objet atteint une distance \(r \to \infty\) avec une vitesse nulle (\(v \to 0\)). Calculez \(E_m\) à l'infini (\(E_c(\infty) = 0\) et \(E_p(\infty) = 0\)). Par conservation, l'énergie mécanique initiale doit être égale à cette valeur.
2. Écrivez l'énergie mécanique au point de départ (\(r = R_T\), \(v = v^*\)) : \(E_m = \frac{1}{2}m(v^*)^2 - G\frac{mM_T}{R_T}\). Posez \(E_m = 0\) et isolez \(v^*\).
4. Prenez l'expression de \(v^*\) (Q2), remplacez \(v^*\) par \(c\) et isolez le rayon (qui devient le rayon de Schwarzschild \(R\)).
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