Terminale : Exercices sur les probabilités
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Probabilités conditionnelles) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Dans un club de jeux de société, un tiers des femmes et un cinquième des hommes jouent aux échecs. On sait également que 25% des membres de ce club jouent aux échecs.
Partie A
On choisit au hasard un membre de ce club et on note :
\(F\) l'événement "le membre choisi est une femme",
\(E\) l'événement "le membre choisi joue aux échecs".
- Montrer que la probabilité de l'événement \(F\) est égale à \(\frac{3}{8}\).
- On choisit un membre parmi les joueurs d'échecs.
Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
Partie B
Pour financer un tournoi, les membres de ce club organisent une tombola hebdomadaire.
Chaque semaine, un membre du club est choisi au hasard de manière indépendante pour tirer le gros lot.
- Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un joueur d'échecs parmi les membres choisis.
- Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(p_n\) la probabilité pour qu'en \(n\) semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui joue aux échecs parmi les membres choisis.
Montrer que pour tout entier \(n\) non nul, \(p_n = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n\). - Déterminer le nombre minimal de semaines pour que \(p_n \ge 0,99\).
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Partie A :
1. Utilisez la formule des probabilités totales avec la partition \((F, \bar{F})\). Notez que \(\bar{F}\) correspond aux hommes.
2. On cherche une probabilité conditionnelle \(P_E(F)\).
Partie B :
1. Reconnaissez une loi binomiale. Quels sont les paramètres \(n\) et \(p\) ?
2. Passez par l'événement contraire : "aucun joueur d'échecs en \(n\) semaines".
3. Résolvez l'inéquation en utilisant le logarithme népérien.
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Partie A
1. Calcul de \(P(F)\)
D'après l'énoncé, nous avons les probabilités suivantes :
- \(P_F(E) = \frac{1}{3}\) (un tiers des femmes jouent aux échecs)
- \(P_{\bar{F}}(E) = \frac{1}{5}\) (un cinquième des hommes jouent aux échecs)
- \(P(E) = 0,25 = \frac{1}{4}\)
Les événements \(F\) et \(\bar{F}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
\[ P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap \bar{F}) = P_F(E) \times P(F) + P_{\bar{F}}(E) \times P(\bar{F}) \]En posant \(x = P(F)\), on a \(P(\bar{F}) = 1-x\). L'équation devient :
\[ \frac{1}{4} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{5}(1-x) \] \[ \frac{1}{4} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{5} - \frac{1}{5}x \] \[ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = x\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) \] \[ \frac{5-4}{20} = x\left(\frac{5-3}{15}\right) \iff \frac{1}{20} = x \times \frac{2}{15} \] \[ x = \frac{1}{20} \times \frac{15}{2} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8} \]Donc \(\boxed{P(F) = \frac{3}{8} = 0,375}\).
2. Calcul de \(P_E(F)\)
On cherche la probabilité que le membre soit une femme sachant qu'il joue aux échecs :
\[ P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{P_F(E) \times P(F)}{P(E)} \] \[ P_E(F) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \times 4 = \frac{1}{2} \]La probabilité est donc de \(\boxed{\frac{1}{2}}\).
Partie B
1. Loi binomiale
On répète \(n=4\) fois une épreuve de Bernoulli de manière identique et indépendante. Le succès est "le membre choisi joue aux échecs" avec une probabilité \(p = P(E) = 0,25 = \frac{1}{4}\).
Soit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de joueurs d'échecs. \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(4; 0,25)\).
On cherche \(P(X=2)\) :
\[ P(X=2) = \binom{4}{2} p^2 (1-p)^{4-2} = 6 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \] \[ P(X=2) = 6 \times \frac{1}{16} \times \frac{9}{16} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128} \approx 0,211 \]2. Probabilité \(p_n\)
L'événement contraire de "au moins un membre joue aux échecs" est "aucun membre ne joue aux échecs" (événement \(X=0\)).
\[ P(X=0) = \binom{n}{0} p^0 (1-p)^n = 1 \times 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \]Donc \(p_n = 1 - P(X=0) = \boxed{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^n}\).
3. Recherche du seuil
On veut \(p_n \ge 0,99\) :
\[ 1 - 0,75^n \ge 0,99 \iff -0,75^n \ge -0,01 \iff 0,75^n \le 0,01 \]La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\) :
\[ \ln(0,75^n) \le \ln(0,01) \iff n \ln(0,75) \le \ln(0,01) \]Comme \(0,75 < 1\), \(\ln(0,75) < 0\). En divisant, on change le sens de l'inégalité :
\[ n \ge \frac{\ln(0,01)}{\ln(0,75)} \]À la calculatrice : \(\frac{\ln(0,01)}{\ln(0,75)} \approx 16,008\).
Comme \(n\) est un entier, il faut au minimum \(\boxed{n = 17}\) semaines.
Exercice n°2 (Variables aléatoires et dénombrement) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Une boutique de glaces artisanales offre une sélection de 10 saveurs différentes. Trois amis entrent dans la boutique et commandent chacun une glace, choisissant leur parfum au hasard et de manière indépendante.
- Déterminer la probabilité de l'événement \(E\) : "les trois amis choisissent tous des parfums différents".
- On introduit la variable aléatoire \(X\) correspondant au nombre de saveurs distinctes choisies par le groupe.
a. Établir la loi de probabilité de \(X\).
b. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
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1. Pensez au nombre total de combinaisons possibles pour les choix des 3 amis (\(10^3\)). Pour l'événement \(E\), le premier a 10 choix, le second en a 9, etc.
2. Quelles sont les valeurs possibles pour \(X\) ? (1, 2 ou 3).
Pour \(X=1\), ils ont tous pris le même parfum.
Pour \(X=3\), c'est l'événement \(E\) calculé précédemment.
Utilisez le fait que la somme des probabilités vaut 1 pour trouver \(P(X=2)\).
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1. Probabilité de l'événement \(E\)
Calculons d'abord le nombre total d'issues possibles (l'univers \(\Omega\)). Chaque ami a 10 choix possibles, et les choix sont indépendants :
\[ \text{Card}(\Omega) = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000 \]Pour l'événement \(E\) ("tous des parfums différents") :
- Le premier ami a 10 choix.
- Le deuxième ami a 9 choix (pour ne pas prendre le même que le premier).
- Le troisième ami a 8 choix (pour ne pas prendre les mêmes que les deux précédents).
La probabilité est donc :
\[ P(E) = \frac{720}{1000} = \boxed{0,72} \]2. Variable aléatoire \(X\)
a. Loi de probabilité
Les valeurs possibles pour \(X\) sont \(\{1, 2, 3\}\).
- Pour \(X=3\) : C'est l'événement \(E\) calculé à la question 1. \[ P(X=3) = 0,72 \]
- Pour \(X=1\) : Les trois amis ont choisi le même parfum. Il y a 10 parfums possibles, donc 10 cas favorables (AAA, BBB, ...). \[ P(X=1) = \frac{10}{1000} = 0,01 \]
- Pour \(X=2\) : On utilise l'événement contraire ou la somme des probabilités égale à 1.
\[ P(X=2) = 1 - P(X=1) - P(X=3) = 1 - 0,01 - 0,72 = 1 - 0,73 = 0,27 \]
Remarque : On aurait pu le calculer directement. On choisit le parfum doublé (10 choix), le parfum unique (9 choix), et la position du parfum unique parmi les 3 amis (3 choix). \(10 \times 9 \times 3 = 270\). \(270/1000 = 0,27\).
Tableau récapitulatif :
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 |
| \(P(X=x_i)\) | 0,01 | 0,27 | 0,72 |
b. Espérance mathématique
\[ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 1 \times 0,01 + 2 \times 0,27 + 3 \times 0,72 \] \[ E(X) = 0,01 + 0,54 + 2,16 = \boxed{2,71} \]Interprétation : En moyenne, sur un grand nombre de groupes de 3 amis, le nombre de parfums différents choisis est d'environ 2,71. Cela signifie qu'il est très fréquent que les trois amis choisissent des parfums tous différents.
Exercice n°3 (Fiabilité d'un test médical) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Un laboratoire pharmaceutique a mis au point un nouveau test antigénique pour le dépistage d'un virus. On note \(x\) la proportion de personnes infectées dans la population (avec \(0 \le x \le 1\)).
Les essais cliniques ont donné les résultats suivants :
Si une personne est infectée, le test est positif dans 98% des cas (sensibilité).
Si une personne n'est pas infectée, le test est positif dans 1% des cas (faux positif).
On choisit une personne au hasard dans la population et on considère les événements :
\(M\) : "la personne est infectée"
\(T\) : "le test est positif"
On définit la fonction \(f(x)\) comme la probabilité qu'une personne soit réellement infectée sachant que son test est positif.
- Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\) et tracer l'allure de la courbe représentative de \(f\) sur l'intervalle \([0; 1]\).
- On considère que le test est fiable si cette probabilité \(f(x)\) est supérieure à 0,95.
a. Le test est-il fiable si 5% de la population est infectée ?
b. À partir de quelle proportion \(x\) de malades le test devient-il fiable ?
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1. Utilisez la formule de Bayes ou un arbre de probabilité.
\(f(x) = P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}\).
N'oubliez pas que \(P(T) = P(M \cap T) + P(\bar{M} \cap T)\).
2. Résolvez l'inéquation \(f(x) > 0,95\).
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1. Expression de \(f(x)\)
Traduisons les données de l'énoncé :
- \(P(M) = x\) et \(P(\bar{M}) = 1 - x\)
- \(P_M(T) = 0,98\)
- \(P_{\bar{M}}(T) = 0,01\)
On cherche \(f(x) = P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}\).
Calculons le numérateur : \(P(M \cap T) = P_M(T) \times P(M) = 0,98x\).
Calculons le dénominateur avec la formule des probabilités totales :
\[ P(T) = P(M \cap T) + P(\bar{M} \cap T) = 0,98x + P_{\bar{M}}(T) \times P(\bar{M}) \] \[ P(T) = 0,98x + 0,01(1 - x) = 0,98x + 0,01 - 0,01x = 0,97x + 0,01 \]D'où l'expression de la fonction :
\[ f(x) = \frac{0,98x}{0,97x + 0,01} = \boxed{\frac{98x}{97x + 1}} \]Représentation graphique :
En bleu la fonction \(f(x)\), en rouge le seuil de 0,95.
2. Fiabilité du test
a. Pour \(x = 0,05\) (5%) :
\[ f(0,05) = \frac{98 \times 0,05}{97 \times 0,05 + 1} = \frac{4,9}{4,85 + 1} = \frac{4,9}{5,85} \approx 0,838 \]La probabilité est d'environ 83,8%, ce qui est inférieur à 95%.
Le test n'est pas considéré comme fiable pour une prévalence de 5%.
b. Recherche du seuil :
On résout l'inéquation \(f(x) \ge 0,95\) :
\[ \frac{98x}{97x + 1} \ge 0,95 \]Comme \(x \ge 0\), le dénominateur \(97x+1\) est positif. On peut multiplier sans changer le sens :
\[ 98x \ge 0,95(97x + 1) \] \[ 98x \ge 92,15x + 0,95 \] \[ 98x - 92,15x \ge 0,95 \] \[ 5,85x \ge 0,95 \] \[ x \ge \frac{0,95}{5,85} \approx 0,1624 \]Il faut donc qu'au moins 16,2% de la population soit infectée pour que le test soit jugé fiable (c'est-à-dire qu'un résultat positif indique la maladie avec 95% de certitude).