Terminale : Exercices sur le dénombrement
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Calcul de coefficient) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Considérons trois réels \(x, y\) et \(z\). Si l'on développe l'expression \((x + y + z)^{23}\) et que l'on regroupe les termes semblables, quel sera le coefficient devant le terme \(x^{11} y^9 z^3\) ?
(Il est interdit de développer l'expression de manière exhaustive).
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Commencez par réfléchir sur un cas plus simple, par exemple \((x+y+z)^3\).
Pour former un terme spécifique comme \(x^{11} y^9 z^3\) dans \((x+y+z)^{23}\), comment faut-il choisir \(x\), \(y\) et \(z\)?
Utilisez les combinaisons pour compter le nombre de choix possibles à chaque étape.
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1. Comprendre le mécanisme avec un exemple simple
Essayons de développer \((x+y+z)^3\) pour voir ce qu'il se passe :
\[ (x+y+z)^3 = (x+y+z) \times (x+y+z) \times (x+y+z) \]Si l'on développe, on obtient une somme de termes comme \(x^3\), \(y^3\), \(z^3\), mais aussi des termes croisés comme \(x^2y\), \(xyz\), etc.
Pour former le terme \(x^2y\) par exemple, il faut dans chaque parenthèse :
- Choisir \(x\) 2 fois
- Choisir \(y\) 1 fois
lors du développement des parenthèses. Cela revient à choisir dans quelles parenthèses on prend le \(x\) et dans laquelle on prend le \(y\).
2. Application à notre problème
En élargissant le résultat, connaître le coefficient de \(x^{11} y^9 z^3\) dans \((x+y+z)^{23}\) revient à connaître le nombre de possibilités de :
- Choisir \(x\) 11 fois
- ET choisir \(y\) 9 fois
- ET choisir \(z\) 3 fois
exactement.
Étape 1 : Choix pour \(x\)
Cela revient à choisir 11 parenthèses pour \(x\) parmi les 23 disponibles :
\[ \binom{23}{11} \]Étape 2 : Choix pour \(y\)
Une fois les \(x\) choisis, il reste \(23 - 11 = 12\) parenthèses. Il faut en choisir 9 pour \(y\) :
\[ \binom{12}{9} \]Étape 3 : Choix pour \(z\)
Il reste \(12 - 9 = 3\) parenthèses. Il faut en choisir 3 pour \(z\) (ce qui est l'unique choix restant) :
\[ \binom{3}{3} = 1 \]3. Conclusion
Finalement, le coefficient \(C\) vaut le produit de ces combinaisons :
\[ C = \binom{23}{11} \times \binom{12}{9} \times \binom{3}{3} \]Sous forme factorielle (coefficient multinomial) :
\[ C = \frac{23!}{11!12!} \times \frac{12!}{9!3!} \times 1 = \boxed{\frac{23!}{11!9!3!}} \]