Banque d'Exercices

1. Convergence uniforme

a) Limite simple

Pour \(x \in [0,1]\), on écrit :

$$\frac{n e^x + x e^{-x}}{n+x} = \frac{n}{n+x}e^x + \frac{x}{n+x}e^{-x}$$

Or :

$$\frac{n}{n+x} \to 1 \quad \text{et} \quad \frac{x}{n+x} \to 0$$

Donc :

$$f_n(x) \longrightarrow (x^2+1)e^x =: f(x)$$

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b) Étude de la convergence uniforme

On étudie :

$$f_n(x) - f(x) = (x^2+1)\left(\frac{n e^x + x e^{-x}}{n+x} - e^x \right)$$

On met au même dénominateur :

$$= (x^2+1)\frac{n e^x + x e^{-x} - (n+x)e^x}{n+x}$$ $$= (x^2+1)\frac{x(e^{-x} - e^x)}{n+x}$$

Donc :

$$|f_n(x) - f(x)| = (x^2+1)\frac{x|e^{-x} - e^x|}{n+x}$$

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c) Majoration

Sur \([0,1]\) :

$$0 \le x \le 1,\quad x^2+1 \le 2$$

De plus :

$$|e^{-x} - e^x| \le e - \frac{1}{e} \le 2e$$

Donc :

$$|f_n(x) - f(x)| \le 2 \cdot \frac{1 \cdot 2e}{n} = \frac{4e}{n}$$

Ainsi :

$$\|f_n - f\|_\infty \le \frac{4e}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$$

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2. Passage à la limite sous l'intégrale

Par convergence uniforme et continuité :

$$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx$$

Donc :

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1(x^2+1)\frac{n e^x + x e^{-x}}{n+x}\,dx = \int_0^1 (x^2+1)e^x\,dx$$

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3. Calcul de l'intégrale

On calcule :

$$I = \int_0^1 (x^2+1)e^x\,dx = \int_0^1 x^2 e^x\,dx + \int_0^1 e^x\,dx$$

a) Calcul de \(\int x^2 e^x\,dx\)

On utilise deux intégrations par parties.

Première :

$$u=x^2,\quad dv=e^x\,dx \Rightarrow du=2x\,dx,\quad v=e^x$$ $$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx$$

Deuxième :

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x$$

Donc :

$$\int 2x e^x\,dx = 2(x e^x - e^x)$$

Finalement :

$$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x = e^x(x^2 -2x +2)$$

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b) Application sur \([0,1]\)

$$\int_0^1 x^2 e^x\,dx = \left[e^x(x^2-2x+2)\right]_0^1 = e(1-2+2) - (1)(2) = e - 2$$ $$\int_0^1 e^x\,dx = e - 1$$

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c) Résultat final

$$I = (e-2) + (e-1) = 2e - 3$$

1. Extrema locaux sur \(\mathbb{R}^2\)

\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).

a) Points critiques

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 + 6y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 6x - 6y$$

On résout :

$$\begin{cases} 6x^2 + 6y = 0 \\ 6x - 6y = 0 \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} y = -x^2 \\ y = x \end{cases}$$

Donc :

$$x = -x^2 \Rightarrow x(x+1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = -1$$

Points critiques : \((0,0)\) et \((-1,-1)\).

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b) Matrice hessienne

$$H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 12x & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix}$$

En \((0,0)\) :

$$H_1 = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(H_1) = -36 < 0$$

Donc \((0,0)\) est un point selle.

En \((-1,-1)\) :

$$H_2 = \begin{pmatrix} -12 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix}$$ $$\det(H_2) = 72 - 36 = 36 > 0, \quad \text{tr}(H_2) = -18 < 0$$

Donc \(H_2\) est définie négative.

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2. Extrema globaux sur \(\mathbb{R}^2\)

On étudie par exemple :

$$f(x,0) = 2x^3 + 2$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x,0) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x,0) = -\infty$$

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3. Maximum global sur \(K = [0,1] \times [0,1]\)

a) Existence : \(K\) est fermé borné (compact), \(f\) est continue, donc \(f\) atteint son maximum sur \(K\).

b) Intérieur : Les points critiques \((0,0)\) et \((-1,-1)\) ne sont pas dans l'intérieur de \(K\). Le maximum est donc atteint sur le bord.

c) Étude du bord :

• \(y = 0\) : \(f(x,0) = 2x^3 + 2\) croissante → max = \(f(1,0) = 4\)
• \(x = 1\) : \(f(1,y) = 4 + 6y - 3y^2\), \(f'(y) = 6 - 6y = 0 \Rightarrow y = 1\) → \(f(1,1) = 7\)
• \(y = 1\) : \(f(x,1) = 2x^3 + 6x - 1\) croissante → max = \(f(1,1) = 7\)
• \(x = 0\) : \(f(0,y) = -3y^2 + 2\) décroissante → max = \(f(0,0) = 2\)

1. Étude de \(f\)

a) Théorème de dérivation des séries de fonctions

Soit \(\sum f_n\) une série de fonctions \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \(I\). Si :

• \(\sum f_n(x)\) converge en un point de \(I\)
• \(\sum f_n'(x)\) converge uniformément sur \(I\)

Alors \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\), la somme est \(\mathcal{C}^1\), et on peut dériver terme à terme :

$$\left(\sum f_n\right)' = \sum f_n'$$

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b) Domaine et régularité

Domaine : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

$$|\sin(nx)\, e^{-n^a}| \le e^{-n^a}$$

Or \(\sum e^{-n^a}\) converge pour tout \(a > 0\). La série converge donc normalement sur \(\mathbb{R}\).

Régularité : On dérive terme à terme :

$$f'(x) = \sum n \cos(nx)\, e^{-n^a}$$

On majore : \(|n \cos(nx)\, e^{-n^a}| \le n\, e^{-n^a}\), et \(\sum n\, e^{-n^a}\) converge pour tout \(a > 0\).

Par récurrence, toutes les dérivées existent.

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2. Cas \(a > 1\) : analyticité

On pose \(\tau_x(t) = f(x+t)\) et on développe :

$$\sin(n(x+t)) = \sin(nx)\cos(nt) + \cos(nx)\sin(nt)$$

avec les séries entières de \(\cos\) et \(\sin\). Les coefficients sont dominés par \(n^k e^{-n^a}\).

Si \(a > 1\), alors \(\sum n^k e^{-n^a}\) converge pour tout \(k\), ce qui permet d'intervertir les sommes.

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3. Cas \(a \le 1\)

Si \(a = 1\) : \(\sum n^k e^{-n}\) converge, donc \(f\) reste analytique.

Si \(0 < a < 1\) : \(\sum n^k e^{-n^a}\) diverge pour \(k\) grand. Les dérivées existent mais la série de Taylor ne converge pas forcément.

1. Majoration de \(\|\varphi_A\|\)

On travaille avec la norme subordonnée à la norme euclidienne sur \(\mathbb{R}^n\). Par définition :

$$\|\varphi_A\| = \sup_{M \neq 0} \frac{\|AM\|}{\|M\|}$$

Par sous-multiplicativité de la norme matricielle :

$$\|AM\| \le \|A\|_2 \cdot \|M\|$$

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2. Sous-algèbre stable par transposition

L'ensemble des matrices diagonales \(\mathcal{D}\) convient :

• Stable par somme et produit
• Contient l'identité
• Strictement incluse dans \(M_n(\mathbb{R})\)
• Stable par transposition

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3. Commutant de \(B\)

On considère les matrices diagonales par blocs :

$$\mathcal{M} = \left\{ \begin{pmatrix} M_1 & 0 \\ 0 & M_2 \end{pmatrix} \mid M_1 \in M_p(\mathbb{R}),\ M_2 \in M_q(\mathbb{R}),\ p+q=n \right\}$$

On cherche \(T\) tel que \(T \circ \varphi_A = \varphi_A \circ T\) pour tout \(A \in \mathcal{M}\), c'est-à-dire \(T(AM) = A\,T(M)\).

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Décomposition par blocs :

Toute matrice \(M\) se décompose en blocs, et la condition de commutation impose que \(T\) respecte la structure de multiplication à gauche.

Par un résultat classique : tout endomorphisme commutant avec toutes les multiplications à gauche est une multiplication à droite.

Il existe donc \(B_1, B_2\) tels que :

$$u(X) = XB_1, \quad t(W) = WB_2, \quad v(Y) = YB_2, \quad w(Z) = ZB_1$$

1. Théorème de convergence dominée

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues par morceaux sur \(I\), convergeant simplement vers \(f\). S'il existe \(\varphi\) intégrable sur \(I\) telle que \(|f_n(t)| \le \varphi(t)\) pour tout \(n\) et \(t\), alors :

$$\lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(t)\,dt = \int_I f(t)\,dt$$

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2. Définition de \(F\) et limite en \(+\infty\)

a) \(F\) est bien définie : Pour tout \(x \ge 0\) et \(t \ge 0\) :

$$0 \le \frac{e^{-xt}}{1+t^2} \le \frac{1}{1+t^2}$$

Or \(\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} < +\infty\). Par comparaison, l'intégrale converge.

b) Limite : Pour \(t > 0\), \(e^{-xt} \to 0\) quand \(x \to +\infty\). La domination par \(\frac{1}{1+t^2} \in L^1(\mathbb{R}_+)\) permet d'appliquer le TCD :

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3. Continuité et régularité \(\mathcal{C}^2\)

A. Continuité de \(F\) sur \(\mathbb{R}_+\) :

Soit \(x_n \to x_0\). Pour tout \(t \ge 0\) : \(\frac{e^{-x_n t}}{1+t^2} \to \frac{e^{-x_0 t}}{1+t^2}\), dominé par \(\frac{1}{1+t^2}\). Par convergence dominée et caractérisation séquentielle, \(F\) est continue.

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B. Classe \(\mathcal{C}^2\) de \(F\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) :

Pour \(x\) au voisinage de \(x_0 > 0\), on pose \(f(x,t) = \frac{e^{-xt}}{1+t^2}\). Ses dérivées partielles :

$$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{t\,e^{-xt}}{1+t^2}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{t^2\,e^{-xt}}{1+t^2}$$

sont dominées par des fonctions intégrables. On peut dériver sous le signe intégral :

$$F'(x) = -\int_0^{+\infty} \frac{t\,e^{-xt}}{1+t^2}\,dt, \qquad F''(x) = \int_0^{+\infty} \frac{t^2\,e^{-xt}}{1+t^2}\,dt$$

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C. Définition de \(G\) :

Sur \([0,1]\), la fonction est continue. Sur \([1,+\infty[\), une intégration par parties avec \(u = \frac{1}{x+t}\), \(dv = \sin t\,dt\) montre la convergence.

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D. Continuité de \(G\) :

Pour \(x_0 > 0\), on écrit :

$$G(x) - G(x_0) = (x_0 - x) \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{(x+t)(x_0+t)}\,dt$$

D'où \(|G(x) - G(x_0)| \le C|x - x_0|\) pour une constante \(C\), ce qui prouve la continuité.

La continuité en \(x_0 = 0\) se montre en découpant l'intégrale sur \([0,A]\) et \([A,+\infty[\) et en appliquant le TCD sur la première partie.

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E. Classe \(\mathcal{C}^2\) de \(G\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) :

On pose \(g(x,t) = \frac{\sin t}{x+t}\). Ses dérivées partielles :

$$\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\sin t}{(x+t)^2}, \qquad \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \frac{2\sin t}{(x+t)^3}$$

sont dominées par des fonctions intégrables. On dérive sous le signe intégral.

1. Polynôme caractéristique

On calcule \(\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)\) :

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & -2 \\ -1 & -\lambda & 1 \\ 1 & -1 & -\lambda \end{pmatrix}$$

Développement suivant la première ligne :

$$\chi_A(\lambda) = (3-\lambda)(\lambda^2+1) - 2(\lambda-1) - 2(1+\lambda)$$

Après simplification :

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2. Polynôme minimal

Comme \(A \neq I\) mais \((A-I)^2 \neq 0\) et \((A-I)^3 = 0\), on a \(\pi_A(\lambda) = (\lambda-1)^2\) ou \((\lambda-1)^3\).

On vérifie que \((A-I)^2 \neq 0\) mais \((A-I)^3 = 0\) :

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3. Calcul de \(A^n\) et \(\exp(A)\)

On pose \(N = A - I\), donc \(A = I + N\) avec \(N^2 \neq 0\) et \(N^3 = 0\).

Par le binôme :

$$A^n = (I+N)^n = I + nN + \frac{n(n-1)}{2}N^2$$

Pour l'exponentielle : \(\exp(A) = \exp(I+N) = e \cdot \exp(N)\), et \(\exp(N) = I + N + \frac{1}{2}N^2\).

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4. Trigonalisation

\(\chi_A(\lambda) = (\lambda-1)^3\), donc \(A\) est trigonalisable. On a \(\dim \ker(A-I) = 2\).

On cherche \(v_1, v_2\) vecteurs propres et \(v_3\) tel que \((A-I)v_3 \neq 0\). Comme \((A-I)^2 = 0\) :

$$(A-I)v_3 \in \ker(A-I)$$

On pose \((A-I)v_3 = v_2\). Dans la base \((v_1, v_2, v_3)\) :

1. Remarque de commutation

Si \(X^2 = A\), alors \(XA = X(X^2) = X^3 = (X^2)X = AX\). Donc \(X\) commute avec \(A\).

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2. Étude de \(A\)

Valeurs propres (diagonale) : \(1, 1, 4\). Sous-espaces propres :

$$E_1 = \ker(A-I) = \mathrm{Vect}(e_2), \qquad E_4 = \ker(A-4I) = \mathrm{Vect}(e_3)$$

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3. Conséquences pour \(X\)

Puisque \(X\) commute avec \(A\), les sous-espaces propres sont stables par \(X\) :

$$X(e_2) = \varepsilon\, e_2, \quad X(e_3) = \delta\, e_3$$

La condition \(X^2 = A\) donne \(\varepsilon^2 = 1\) et \(\delta^2 = 4\), soit \(\varepsilon = \pm 1\), \(\delta = \pm 2\).

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4. Base adaptée et résolution

On pose \(u = e_1 - \frac{1}{3}e_3\), ce qui donne \((A-I)u = e_2\). Dans la base \(\mathcal{B} = (e_2, u, e_3)\) :

$$X|_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \varepsilon & \frac{1}{2\varepsilon} & 0 \\ 0 & \varepsilon & 0 \\ 0 & 0 & \delta \end{pmatrix}$$

Retour à la base canonique via la matrice de passage :

1. Observation

Le développement décimal fait apparaître : \(1, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21, 34, \ldots\) — les nombres de Fibonacci.

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2. Démonstration

On remarque que \(9899 = 10^4 - 10^2 - 1\). En posant \(u = 10^{-2}\) :

$$r = \frac{u^2}{1 - u - u^2}$$

On développe \(\frac{1}{1-u-u^2}\) en série. En identifiant \((1-u-u^2)S(u) = 1\), on trouve :

$$a_0 = 1, \quad a_1 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$$

C'est la suite de Fibonacci ! Donc :

$$\frac{1}{1-u-u^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} F_{n+1}\, u^n$$

1. Domaine de \(G_X\)

Pour \(|t| < 1\) : \(|\mathbb{P}(X=n)t^n| \le \mathbb{P}(X=n)\) et \(\sum \mathbb{P}(X=n) = 1\). La série converge absolument.

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2. Somme de variables indépendantes

Par produit de Cauchy : le coefficient de \(t^n\) dans \(G_{X_1} \cdot G_{X_2}\) est \(\sum_{k=0}^n \mathbb{P}(X_1=k)\mathbb{P}(X_2=n-k) = \mathbb{P}(X_1+X_2=n)\).

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3. Application à l'urne

\(G_X(t) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}t^2 = \frac{1}{4}(1+t)^2\). Donc :

$$G_{S_n}(t) = \left(\frac{1}{4}\right)^n (1+t)^{2n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}(1+t)^{2n}$$

On reconnaît la fonction génératrice d'une loi binomiale :

1. Continuité du déterminant

Le déterminant est un polynôme en les coefficients, donc continu.

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2. Existence du maximum

\(\mathcal{M} \cong [-1,1]^{n^2}\) est compact. Le déterminant, continu sur un compact, atteint ses bornes (TBA).

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3. Coefficients dans \(\{-1, 1\}\)

Le déterminant est affine en chaque colonne (multi-linéarité). Une fonction affine sur un segment atteint son max aux extrémités.

1. Réduction

On pose \(y = 4 - x\), d'où \(x(4-x) \equiv 10\), soit \(x^2 - 4x + 10 \equiv 0 \pmod{11}\).

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2. Résolution

Discriminant : \(\Delta = 16 - 40 = -24 \equiv 9 \equiv 3^2 \pmod{11}\).

Comme \(2^{-1} \equiv 6 \pmod{11}\) : \(x \equiv 6(4 \pm 3)\).

• \(x \equiv 6 \times 7 = 42 \equiv 9 \pmod{11}\)
• \(x \equiv 6 \times 1 = 6 \pmod{11}\)

1. Matrices hors diagonale

Pour \(i \neq k\) : \(E_{ik} = E_{ii}E_{ik}\), et \(\varphi(E_{ik}) = \varphi(E_{ii}E_{ik}) = \varphi(E_{ik}E_{ii}) = \varphi(0) = 0\).

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2. Diagonale

\(E_{ii} = E_{ij}E_{ji}\) et \(E_{ji}E_{ij} = E_{jj}\). Donc \(\varphi(E_{ii}) = \varphi(E_{jj})\) pour tous \(i, j\). On pose \(\beta = \varphi(E_{11})\).

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3. Conclusion

Pour \(A = \sum a_{ij}E_{ij}\) : \(\varphi(A) = \sum a_{ii}\beta = \beta\,\mathrm{Tr}(A)\).

1. Noyau

\(AM = 0\) donne \(a = -2c\) et \(b = -2d\). Donc :

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2. Surjectivité

\(\dim(\ker f) = 2\), \(\mathrm{rg}(f) = 4 - 2 = 2 \neq 4\). Donc \(f\) n'est pas surjective.

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3. Image

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4. Somme directe

\(\dim\ker(f) + \dim\mathrm{Im}(f) = 4\). On vérifie \(\ker(f) \cap \mathrm{Im}(f) = \{0\}\) par identification des coefficients.

1. \(\varphi\) est un produit scalaire

Bilinéarité : Par linéarité de \(A\) et bilinéarité du produit scalaire usuel.

Symétrie : \(\varphi(x,y) = \langle Ax, Ay \rangle = \langle Ay, Ax \rangle = \varphi(y,x)\).

Définie positive : \(\varphi(x,x) = \|Ax\|^2 \ge 0\), et \(\varphi(x,x) = 0 \Rightarrow Ax = 0 \Rightarrow x = 0\) car \(A \in GL_n\).

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2.a) Cas inversible

Il existe une base \((e_i)\) orthonormée pour \(\varphi\). Alors \((Ae_i)\) est orthonormée pour le produit usuel.

On pose \(Q : e_i \mapsto Ae_i\) (orthogonale) et \(S = Q^{-1}A = Q^TA\). On montre \(S^T = S\) via \(\langle Se_i, e_j \rangle = \langle Ae_i, Ae_j \rangle = \langle e_i, Se_j \rangle\).

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2.b) Cas général

On pose \(S = \sqrt{A^TA}\) (racine carrée symétrique positive via le théorème spectral).

On montre que \(\ker(S) = \ker(A)\), puis on construit une isométrie \(u : \mathrm{Im}(S) \to \mathrm{Im}(A)\) par \(u(Sx) = Ax\).

On étend en une matrice orthogonale \(Q\) sur tout \(\mathbb{R}^n\) en complétant les bases.

1. Noyau et image

\(f(x) \in \mathrm{Vect}(a,b)\) toujours. On montre que \(a, b \in \mathrm{Im}(f)\) en résolvant un système.

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2. Valeurs propres

Dans la base \((a,b)\), la matrice de \(f\) est \(\begin{pmatrix} (a|b) & (b|b) \\ (a|a) & (a|b) \end{pmatrix}\).

Polynôme caractéristique : \(((a|b) - \lambda)^2 - (a|a)(b|b) = 0\).

Méthode 1 : Taylor

Soit \(|f''| \le M\). Par Taylor avec reste intégral :

$$f(y) \le f(x) + (y-x)f'(x) + \frac{M}{2}(y-x)^2$$

Comme \(f(y) \ge 0\), le trinôme en \(y\) est toujours \(\ge 0\), donc son discriminant est \(\le 0\) :

$$(f'(x))^2 - 2Mf(x) \le 0$$

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Méthode 2 : approche dynamique

On choisit \(t = -f'(x)/M\) et on intègre deux fois \(f'' \le M\) pour obtenir la même inégalité.

1. Zone \(|x-y| \le 1\)

Par le TAF, \(|h(x)-h(y)| = |h'(t)||x-y|\) pour un \(t\) entre \(x\) et \(y\). Donc :

$$\left|\frac{h(x)-h(y)}{x-y}\right|^2 \le \frac{16}{(1+x^2)^2}$$

Le changement \(z_1 = x-y, z_2 = x\) donne une intégrale finie.

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2. Zone \(|x-y| \ge 1\)

On majore \(|h(x) - h(y)| \le |h(x)| + |h(y)|\), puis on sépare en deux termes. Le changement \(z = x-y\) donne :

$$\int_{|z| \ge 1} \frac{dz}{z^2} < +\infty \quad \text{et} \quad \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(1+|x|)^2} < +\infty$$