Terminale : Exercices sur la lunette astronomique
La mention ❤️ signale une méthode classique à savoir refaire pour le BAC. Les exercices sont classés par difficulté : 🌶️ (application) à 🌶️🌶️🌶️ (approfondissement).
Exercices
Exercice n°1 🌶️ (Lunette de Kepler : grossissement et cercle oculaire) ❤️
On étudie une lunette astronomique (modèle de Kepler) composée de deux lentilles minces convergentes, sur le même axe optique.
L’objectif a pour distance focale image \(f'_1 = 100\ \text{cm}\). L’oculaire a pour distance focale image \(f'_2 = 2,0\ \text{cm}\).
La lunette est réglée afocale : un objet très lointain donne une image finale à l’infini.
1) Donner la condition sur la distance \(O_1O_2\) pour que la lunette soit afocale, puis calculer \(O_1O_2\).
2) Un objet \(AB\) est à l’infini et est vu sous un petit angle \(\alpha\) depuis l’objectif. Indiquer où se forme l’image intermédiaire \(A_1B_1\) donnée par l’objectif, puis exprimer \(\overline{A_1B_1}\) en fonction de \(f'_1\) et \(\alpha\) (petits angles).
3) L’observateur regarde à travers l’oculaire. L’image finale est vue sous un angle \(\alpha'\). Définir le grossissement \(G=\dfrac{\alpha'}{\alpha}\), l’exprimer avec \(f'_1\) et \(f'_2\), puis donner sa valeur numérique. Interpréter le signe obtenu.
4) On appelle cercle oculaire l’image de l’objectif par l’oculaire. L’objectif a un diamètre \(D_{\text{obj}} = 100\ \text{mm}\).
Déterminer la position du cercle oculaire par rapport à \(O_2\), puis calculer son diamètre \(D_{\text{CO}}\). Expliquer ensuite pourquoi l’œil doit être placé au niveau du cercle oculaire pour bien observer.
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Afocale : le foyer image de l’objectif doit coïncider avec le foyer objet de l’oculaire.
Petits angles : \(\tan \alpha \approx \alpha\) et \(\alpha \approx \dfrac{\overline{A_1B_1}}{f'_1}\).
Cercle oculaire : c’est l’image de l’objectif par l’oculaire, donc on applique une conjugaison avec \(L_2\) en prenant l’objectif comme objet.
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Pour que la lunette soit afocale, il faut que l’image donnée par l’objectif (au foyer image \(F'_1\)) arrive sur le foyer objet de l’oculaire \(F_2\). On a donc \(O_1O_2 = f'_1 + f'_2\).
\[ O_1O_2 = 100\ \text{cm} + 2{,}0\ \text{cm} = 102\ \text{cm}. \]
Comme l’objet est à l’infini, l’objectif forme l’image intermédiaire dans son plan focal image, donc en \(F'_1\).
Avec les petits angles, \(\tan\alpha \approx \alpha\) et \(\alpha \approx \dfrac{|\overline{A_1B_1}|}{f'_1}\), donc \[ \overline{A_1B_1} = -f'_1\,\alpha, \] le signe moins traduisant le renversement de l’image par l’objectif.
L’oculaire fait “voir” cette image sous un angle \(\alpha'\). Le grossissement est \(G=\dfrac{\alpha'}{\alpha}\) et, pour une lunette afocale de Kepler, \[ G = -\frac{f'_1}{f'_2}. \]
\[ G = -\frac{100}{2{,}0} = -50. \] Le signe négatif est cohérent : l’image finale est renversée.
Le cercle oculaire est l’image de l’objectif par l’oculaire. On cherche donc l’image du point \(O_1\) par \(L_2\). Pour l’oculaire, la distance objet vaut \(\overline{O_2O_1}=-102\ \text{cm}\). Avec la relation de conjugaison : \[ \frac{1}{\overline{O_2C'}}-\frac{1}{\overline{O_2O_1}}=\frac{1}{f'_2}. \]
\[ \frac{1}{\overline{O_2C'}}=\frac{1}{2{,}0}+\frac{1}{-102}=\frac{50}{102} \quad\Rightarrow\quad \overline{O_2C'}=\frac{102}{50}\approx 2{,}04\ \text{cm}. \] Le cercle oculaire est donc à environ \(2{,}0\ \text{cm}\) derrière l’oculaire.
Le diamètre se déduit du grandissement transversal : \[ \left|\gamma\right|=\frac{D_{CO}}{D_{obj}}=\left|\frac{\overline{O_2C'}}{\overline{O_2O_1}}\right|=\frac{2{,}04}{102}=\frac{1}{50}. \] Donc \[ D_{CO}= \frac{100\ \text{mm}}{50}=2\ \text{mm}. \]
Au niveau du cercle oculaire, toute la lumière collectée par l’objectif est “rassemblée” sur une petite section. Si l’œil n’est pas placé à cet endroit, une partie de la lumière n’entre pas dans la pupille : l’image paraît moins lumineuse et on perd du champ.
Exercice n°2 🌶️🌶️ (Observer le Soleil : danger et sécurité)
On pointe la lunette de l’exercice 1 vers le Soleil.
Données : diamètre apparent du Soleil \(\alpha \approx 30'\), éclairement au sol \(E_{\text{sol}} \approx 1000\ \text{W·m}^{-2}\), pupille de l’œil \(d_{\text{œil}} \approx 2\ \text{mm}\), diamètre de l’objectif \(D_{\text{obj}} = 100\ \text{mm}\).
1) On veut projeter une image du Soleil sur un écran situé à \(D = 20\ \text{cm}\) derrière l’oculaire. La lunette doit-elle rester afocale ? Dire dans quel sens il faut déplacer l’oculaire pour obtenir une image nette sur l’écran.
2) Calculer la puissance lumineuse collectée par l’objectif \(\Phi_{\text{col}}\).
3) Si on met l’œil au cercle oculaire, toute cette puissance traverse une petite section. Calculer l’éclairement énergétique reçu à l’entrée de l’œil, comparer à l’éclairement direct du Soleil, puis conclure sur le danger.
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Puissance collectée : \(\Phi = E \times S\), avec \(S\) la surface de l’objectif.
Au cercle oculaire, l’énergie est concentrée sur un petit disque : \(E_{\text{œil}} = \dfrac{\Phi_{\text{col}}}{S_{\text{CO}}}\).
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Pour projeter une image sur un écran, on veut une image réelle à distance finie. La lunette ne peut donc plus être afocale (afocale = image finale à l’infini). Il faut régler l’oculaire pour former une image réelle derrière lui. Concrètement, on “tire” la lunette : on éloigne l’oculaire de l’objectif.
La puissance collectée par l’objectif vaut \(\Phi_{col}=E_{sol}\,S_{obj}\), avec \(S_{obj}=\pi\left(\dfrac{D_{obj}}{2}\right)^2\).
\[ S_{obj}=\pi\left(\frac{0{,}10}{2}\right)^2=\pi(0{,}05)^2\simeq 7{,}85\times 10^{-3}\ \text{m}^2 \] \[ \Phi_{col}=1000\times 7{,}85\times 10^{-3}\simeq 7{,}85\ \text{W}. \]
Au cercle oculaire, cette puissance traverse une section très petite (diamètre \(D_{CO}=2\ \text{mm}\) trouvé à l’exercice 1). On a \[ S_{CO}=\pi\left(\frac{0{,}002}{2}\right)^2=\pi\times 10^{-6}\ \text{m}^2. \] L’éclairement reçu vaut alors \[ E_{oeil}=\frac{\Phi_{col}}{S_{CO}}=\frac{7{,}85}{\pi\times 10^{-6}}\approx 2{,}5\times 10^6\ \text{W·m}^{-2}. \]
Comparaison : \(\dfrac{E_{oeil}}{E_{sol}} \approx \dfrac{2{,}5\times 10^6}{1000}=2500\). On retrouve aussi \(2500 = 50^2\) (le grossissement vaut 50 en valeur absolue, donc la concentration est en \(|G|^2\)).
Conclusion : l’énergie est concentrée d’un facteur énorme, la brûlure rétinienne peut être immédiate et irréversible. On n’observe jamais le Soleil à l’œil à travers une lunette (sans filtre adapté et prévu pour ça).
Exercice n°3 🌶️🌶️ (Faire la mise au point)
On reprend la lunette (\(f'_1=100\ \text{cm}\), \(f'_2=2,0\ \text{cm}\)). Elle est réglée afocale au départ.
Un oiseau est situé à \(d = 500\ \text{m}\) devant l’objectif.
1) Déterminer la position de l’image intermédiaire formée par l’objectif. Comparer cette position au foyer image \(F'_1\) : de combien l’image s’est-elle déplacée ?
2) On veut que l’image finale soit à l’infini (observation confortable). Dire comment il faut déplacer l’oculaire et estimer le déplacement.
3) Un observateur myope (punctum remotum à \(50\ \text{cm}\)) observe une étoile sans ses lunettes. Doit-il rapprocher ou éloigner l’oculaire par rapport au réglage afocal “standard” ? Justifier qualitativement.
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Utiliser la relation de conjugaison de l’objectif : \(\dfrac{1}{\overline{O_1A'}}-\dfrac{1}{\overline{O_1A}}=\dfrac{1}{f'_1}\) (attention aux signes).
Pour une image finale à l’infini, l’image intermédiaire doit se trouver au foyer objet de l’oculaire.
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Pour l’objectif, on utilise la conjugaison (avec \(d=500\ \text{m}\)) : \[ \frac{1}{\overline{O_1A_1}}-\frac{1}{\overline{O_1A}}=\frac{1}{f'_1}. \] Ici \(\overline{O_1A}=-500\ \text{m}\) et \(f'_1=1{,}00\ \text{m}\). Donc \[ \frac{1}{\overline{O_1A_1}}=\frac{1}{1{,}00}+\frac{1}{-500}=1-\frac{1}{500}=0{,}998\ \text{m}^{-1}. \] D’où \[ \overline{O_1A_1}\approx 1{,}002\ \text{m}. \]
Le foyer image \(F'_1\) est à \(1{,}000\ \text{m}\). L’image intermédiaire s’est donc décalée d’environ \(0{,}002\ \text{m}\), soit \(2\ \text{mm}\) vers la droite (un tout petit peu plus loin que le foyer).
Pour voir l’image finale à l’infini, il faut que l’objet pour l’oculaire (donc \(A_1\)) soit placé au foyer objet de l’oculaire. Comme \(A_1\) a “avancé” de \(2\ \text{mm}\), il faut faire avancer le foyer objet de l’oculaire de la même valeur. On déplace donc l’oculaire d’environ \(2\ \text{mm}\) vers la droite (on tire légèrement l’oculaire).
Pour un myope sans lunettes, une image à l’infini n’est pas nette : il a besoin d’une image virtuelle “pas trop loin”. Une lentille convergente ne donne une image virtuelle que si l’objet est placé entre \(O_2\) et \(F_2\). Donc, par rapport au réglage afocal standard, il doit rapprocher l’oculaire de l’objectif.
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Exercice n°4 🌶️🌶️ (Kepler et Galilée : deux lunettes, deux idées)
La lunette de Galilée utilise un objectif convergent (\(f'_1>0\)) et un oculaire divergent (\(f'_2<0\)). On veut obtenir un grossissement en valeur absolue \(|G|=50\).
1) Dans une lunette de Galilée afocale, l’image intermédiaire (celle que “prépare” l’objectif) est-elle réelle ou virtuelle pour l’oculaire ? L’image finale est-elle droite ou renversée ?
2) Exprimer la longueur de la lunette \(L = O_1O_2\) en fonction de \(f'_1\) et \(f'_2\). Comparer à la lunette de Kepler et donner l’intérêt pratique.
3) On s’intéresse au cercle oculaire. Dire si sa position est plutôt “à l’extérieur” ou “dans le tube” pour une lunette de Galilée, et expliquer pourquoi le champ visuel est souvent plus étroit sur ce type de lunette.
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Afocale : on met en coïncidence \(F'_1\) et \(F_2\), mais pour une divergente le foyer objet est du côté image.
Longueur : \(L = f'_1 + f'_2\). Si \(f'_2\) est négatif, la lunette est plus courte.
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Dans une lunette de Galilée afocale, on règle pour que \(F'_1\) coïncide avec \(F_2\). Comme l’oculaire est divergent, son foyer objet \(F_2\) se situe du côté image de l’oculaire : l’image intermédiaire “prévue” par l’objectif se retrouve donc virtuelle pour l’oculaire.
Le grossissement s’écrit toujours \(G=-\dfrac{f'_1}{f'_2}\). Ici \(f'_2<0\), donc \(G\) est positif : l’image finale est droite.
La longueur vaut \[ L=f'_1+f'_2. \] Avec \(|G|=50\) et \(f'_1=100\ \text{cm}\), on a \(|f'_2|=2\ \text{cm}\) donc \(f'_2=-2\ \text{cm}\). Alors \[ L=100-2=98\ \text{cm}. \] Comparaison : Kepler donnait \(102\ \text{cm}\). La lunette de Galilée est plus courte, donc plus compacte.
Pour le cercle oculaire, l’oculaire divergent donne une image virtuelle de l’objectif : le cercle oculaire se retrouve à l’intérieur du tube, entre les deux lentilles. Comme on ne peut pas placer l’œil exactement au bon endroit, on ne récupère pas tout le faisceau lumineux. Résultat : le champ est plus étroit, impression de “regarder à travers un petit trou”.
Exercice n°5 🌶️🌶️🌶️ (Résolution : limite due à la diffraction)
On observe une étoile double : les deux étoiles sont séparées d’un angle \(\varepsilon = 2''\).
On utilise un filtre vert de longueur d’onde \(\lambda = 550\ \text{nm}\). On rappelle \(1'' \approx 4{,}85\times 10^{-6}\ \text{rad}\).
1) Écrire le critère de Rayleigh donnant l’angle minimal \(\theta_{\min}\) séparant deux sources ponctuelles avec une ouverture circulaire de diamètre \(D\).
2) En déduire le diamètre minimal \(D_{\min}\) de l’objectif pour pouvoir séparer théoriquement les deux étoiles.
3) L’œil humain sépare au mieux deux points si l’angle apparent est d’environ \(1'\). Quel grossissement minimal faut-il pour que l’œil perçoive réellement la séparation ?
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Formule Rayleigh : elle contient le facteur 1,22.
Il faut \(\theta_{\min} \le \varepsilon\), en radians.
La lunette multiplie les angles apparents par \(|G|\).
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Pour une ouverture circulaire de diamètre \(D\), le critère de Rayleigh donne : \[ \theta_{min}=1{,}22\frac{\lambda}{D}. \]
On veut \(\theta_{min}\le \varepsilon\). On convertit \(\varepsilon\) en radians : \[ \varepsilon=2''=2\times 4{,}85\times 10^{-6}=9{,}7\times 10^{-6}\ \text{rad}. \] Donc \[ D\ge 1{,}22\frac{\lambda}{\varepsilon}=1{,}22\frac{550\times 10^{-9}}{9{,}7\times 10^{-6}}\approx 6{,}9\times 10^{-2}\ \text{m}. \] Il faut environ \(D_{min}\approx 6{,}9\ \text{cm}\).
L’œil distingue à partir d’environ \(1'\), soit \(60''\). À la sortie de la lunette, l’angle apparent vaut \(\varepsilon' = |G|\varepsilon\). Il faut \(\varepsilon'\ge 60''\), donc \[ |G|\ge \frac{60''}{2''}=30. \] Un grossissement d’environ \(\times 30\) suffit pour que l’œil perçoive la séparation.