Terminale : Mesure et incertitudes
📚 Table des matières
1. Introduction
En physique, toute mesure est entachée d'incertitudes. Imaginez que vous mesuriez votre taille avec une règle graduée au millimètre : obtiendrez-vous exactement la même valeur à chaque mesure ? Probablement pas ! Cette variabilité n'est pas un défaut de votre expérience, c'est une caractéristique fondamentale de toute mesure physique.
Les incertitudes ne sont pas des "erreurs" à éliminer, mais des informations cruciales qui nous renseignent sur la fiabilité de nos mesures.
En terminale, nous approfondissons cette notion vue en seconde et première pour vous donner les outils mathématiques et conceptuels nécessaires à une démarche scientifique rigoureuse.
2. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique
2.1. Origine de la variabilité
Quand vous répétez plusieurs fois la même mesure dans des conditions identiques, vous obtenez généralement des valeurs légèrement différentes. Cette dispersion a plusieurs origines qu'il faut comprendre pour mieux l'analyser.
Définition 1. (Sources de variabilité)
La variabilité d'une mesure peut provenir de :
- L'instrument de mesure : Précision limitée, stabilité des composants
- L'environnement : Température, humidité, vibrations, champs électromagnétiques
- L'opérateur : Temps de réaction, parallaxe, fatigue
- Le protocole : Conditions non parfaitement reproductibles
- Le phénomène lui-même : Fluctuations quantiques, agitation thermique
Exemple concret : Quand vous mesurez le temps d'un pendule avec un chronomètre manuel, la variabilité vient de votre temps de réaction (environ 0,2 s), des variations de l'amplitude du pendule, de la résistance de l'air qui varie légèrement, ...
2.2. Analyse statistique d'une série de mesures
Pour caractériser quantitativement cette variabilité, nous utilisons des outils statistiques que vous connaissez déjà, mais que nous allons approfondir dans le contexte de la physique.
Définition 2. (Moyenne et écart-type)
Pour une série de n mesures indépendantes \(x_1, x_2, ..., x_n\) :
Moyenne arithmétique :
Écart-type expérimental :
Remarque (HP) : Pourquoi n-1 et pas n ?
C'est la correction de Bessel : quand on calcule l'écart-type à partir d'un échantillon, on perd un degré de liberté en calculant d'abord la moyenne. Cette correction donne une estimation plus juste de l'écart-type de la population.
Exemple 3. (Mesure de la période d'un pendule)
Série de 10 mesures (en secondes) :
2,01 ; 2,03 ; 1,99 ; 2,02 ; 2,00 ; 1,98 ; 2,04 ; 2,01 ; 1,97 ; 2,02
Calcul de la moyenne : \[\bar{T} = \frac{2,01 + 2,03 + ... + 2,02}{10} = \frac{20,07}{10} = 2,007 \text{ s}\]
Calcul de l'écart-type : \[s = \sqrt{\frac{(2,01-2,007)^2 + (2,03-2,007)^2 + ... + (2,02-2,007)^2}{9}} = 0,021 \text{ s}\]
2.3. Représentation graphique : l'histogramme
L'histogramme est un outil graphique fondamental pour visualiser la distribution de vos mesures et identifier d'éventuelles anomalies.
Définition 3. (Histogramme)
Un histogramme représente la répartition des valeurs mesurées en classes (série de données, pour faire simple, c'est une barre). Il permet de :
- Visualiser la forme de la distribution (normale, asymétrique, multimodale)
- Identifier des valeurs aberrantes
- Estimer la dispersion des mesures
- Vérifier la qualité du protocole expérimental
Remarque (HP) : Comment construire un histogramme ?
1. Déterminez le nombre de classes (en général entre 5 et 20)
2. Calculez la largeur de chaque classe : \(\frac{\text{max} - \text{min}}{\text{nombre de classes}}\)
3. Comptez le nombre de valeurs dans chaque classe
4. Tracez les barres proportionnelles aux effectifs
Exemple 4. (Interprétation d'histogrammes)
- Distribution normale (cloche) : Mesures bien réparties autour de la moyenne, protocole satisfaisant
- Distribution bimodale (deux bosses) : Deux populations différentes, protocole à revoir
- Distribution asymétrique : Possible dérive de l'instrument ou biais systématique
- Valeurs isolées : Mesures aberrantes à investiguer ou éliminer
2.4. Influence de l'instrument et du protocole
Le choix de l'instrument et la qualité du protocole ont un impact direct sur la variabilité de vos mesures. Comprendre ces influences vous permet d'optimiser vos expériences.
Exemple 5. (Influence de l'instrument - Mesure d'une longueur)
Règle graduée (résolution 1 mm) :
10 mesures : L = 15,2 ± 0,3 cm
Pied à coulisse (résolution 0,1 mm) :
10 mesures : L = 15,23 ± 0,05 cm
Palmer (résolution 0,01 mm) :
10 mesures : L = 15,234 ± 0,008 cm
Plus l'instrument est précis, plus la dispersion diminue et plus on peut détecter de petites variations.
Exemple 6. (Influence du protocole - Mesure de température)
Protocole non rigoureux :
- Thermomètre non étalonné
- Temps d'attente variable
- Position du thermomètre non fixée
- Résultat : forte dispersion, s = 2,5°C
Protocole rigoureux :
- Étalonnage préalable
- Temps d'attente fixe (5 min)
- Position standardisée
- Résultat : faible dispersion, s = 0,2°C
3. Incertitude-type
3.1. Concept d'incertitude-type
L'incertitude-type est la façon moderne et standardisée d'exprimer l'incertitude d'une mesure. Elle remplace les anciennes notions d'erreur absolue et relative.
Définition 4. (Incertitude-type)
L'incertitude-type, notée u(x), est un paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs qu'il est raisonnable d'attribuer à une grandeur mesurée. Elle s'exprime dans la même unité que la grandeur mesurée.
Propriétés importantes :
- Elle est toujours positive
- Plus elle est petite, plus la mesure est précise
- Elle donne un intervalle de confiance autour de la valeur mesurée
Interprétation physique : Si vous mesurez une grandeur x avec une incertitude-type u(x), cela signifie qu'il y a environ 68\% de chances que la "vraie" valeur soit dans l'intervalle [x - u(x) ; x + u(x)].
3.2. Évaluation de type A : approche statistique
Quand vous disposez de plusieurs mesures répétées, l'approche statistique (type A) est la plus rigoureuse pour évaluer l'incertitude-type.
Définition 5. (Évaluation de type A)
L'incertitude-type d'évaluation de type A est calculée à partir d'une analyse statistique d'une série de mesures répétées :
Cette formule montre que l'incertitude diminue quand on augmente le nombre de mesures.
Remarque (HP) : Pourquoi divise-t-on par \(\sqrt{n}\) ?
L'écart-type s caractérise la dispersion d'une mesure individuelle. Mais nous nous intéressons à l'incertitude sur la moyenne, qui est plus précise. La théorie statistique montre que l'incertitude sur la moyenne diminue comme \(1/\sqrt{n}\).
Exemple 7. (Calcul d'incertitude de type A)
Reprenons l'exemple du pendule :
- n = 10 mesures
- \(\bar{T}\) = 2,007 s
- s = 0,021 s
Incertitude-type de type A : \[u_A(T) = \frac{0,021}{\sqrt{10}} = \frac{0,021}{3,16} = 0,0066 \text{ s}\]
Résultat final : T = 2,007 ± 0,007 s (arrondi à 3 chiffres significatifs [voir section 5.1])
3.3. Évaluation de type B : approches non statistiques
Quand vous ne pouvez pas répéter les mesures ou quand vous n'avez qu'une seule valeur, vous devez utiliser d'autres approches pour estimer l'incertitude.
Définition 6. (Évaluation de type B)
L'incertitude-type d'évaluation de type B est obtenue par des moyens autres que l'analyse statistique :
- Résolution de l'instrument : \(u_B = \frac{\text{résolution}}{2\sqrt{3}} \approx \frac{\text{résolution}}{3,5}\)
- Spécifications du constructeur : Données de la notice technique
- Étalonnage : Incertitude de la chaîne de traçabilité
- Expérience passée : Données d'expériences similaires
Remarque (HP) : Pourquoi cette formule pour la résolution ?
On suppose que toutes les valeurs dans l'intervalle de résolution sont équiprobables (distribution rectangulaire). L'écart-type d'une distribution rectangulaire de largeur a est \(a/(2\sqrt{3})\).
Exemple 8. (Évaluations de type B courantes)
Voltmètre numérique (résolution 0,01 V) : \[u_B(U) = \frac{0,01}{2\sqrt{3}} = 0,003 \text{ V}\]
Chronomètre manuel (temps de réaction humain ≈ 0,2 s) : \[u_B(t) = \frac{0,2}{\sqrt{3}} = 0,12 \text{ s}\]
Balance électronique (spécification constructeur : ±0,1 g) : \[u_B(m) = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,06 \text{ g}\]
3.4. Choix entre type A et type B
En pratique, vous devez souvent choisir entre les deux approches, ou même les combiner.
Exemple 9. (Stratégies selon le contexte)
- Nombreuses mesures possibles : Utilisez type A (plus fiable)
- Mesure unique obligatoire : Utilisez type B (seule option)
- Les deux disponibles : Prenez la plus grande des deux incertitudes
- Facteurs multiples : Combinez selon les règles de composition (section suivante)
4. Incertitudes-types composées
4.1. Principe de composition des incertitudes
En physique, vous mesurez rarement directement la grandeur qui vous intéresse. Le plus souvent, vous calculez cette grandeur à partir d'autres mesures. Il faut alors composer les incertitudes de toutes les grandeurs d'entrée.
Définition 7. (Incertitude-type composée)
Lorsqu'une grandeur \(Y\) est calculée à partir de plusieurs mesures \(X_1, X_2, \ldots, X_n\), son incertitude dépend des incertitudes de chacune de ces mesures.
On appelle « incertitude-type composée » de \(Y\), notée \(u_c(Y)\), l'incertitude qui résulte de la combinaison des incertitudes sur \(X_1, X_2, \ldots, X_n\).
En pratique, si \(Y\) est une somme ou une différence : \[ u_c(Y) = \sqrt{u^2(X_1) + u^2(X_2) + \ldots + u^2(X_n)} \] si \(Y\) est un produit ou un quotient : \[ \frac{u_c(Y)}{Y} = \sqrt{\left(\frac{u(X_1)}{X_1}\right)^2 + \left(\frac{u(X_2)}{X_2}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{u(X_n)}{X_n}\right)^2 } \]
Cette formule peut paraître intimidante, mais nous allons voir qu'elle se simplifie pour les cas courants que vous rencontrerez.
4.2. Formules pratiques pour les opérations courantes
Plutôt que d'appliquer la formule générale à chaque fois, vous pouvez utiliser des formules simplifiées pour les opérations mathématiques de base.
Définition 8. (Formules de composition simplifiées)
Addition/Soustraction : \(Z = X \pm Y\) \[u(Z) = \sqrt{u^2(X) + u^2(Y)}\]
Multiplication/Division : \(Z = X \times Y\) ou \(Z = X / Y\) \[\frac{u(Z)}{|Z|} = \sqrt{\left(\frac{u(X)}{|X|}\right)^2 + \left(\frac{u(Y)}{|Y|}\right)^2}\]
Puissance : \(Z = X^n\) \[\frac{u(Z)}{|Z|} = |n| \times \frac{u(X)}{|X|}\]
Fonction quelconque : \(Z = f(X)\) \[u(Z) = \left|\frac{df}{dX}\right| \times u(X)\]
Exemple 10. (Calcul de masse volumique d'un cylindre)
Formule : \(\rho = \frac{m}{V}\) avec \(V = \pi r^2 h\)
Mesures effectuées :
- Masse : \(m = 47,3 \pm 0,1 \text{ g}\)
- Rayon : \(r = 1,25 \pm 0,02 \text{ cm}\)
- Hauteur : \(h = 3,7 \pm 0,1 \text{ cm}\)
Étape 1 - Calcul du volume :
\(V = \pi \times (1,25)^2 \times 3,7 = 18,15 \text{ cm}^3\)
Étape 2 - Incertitude sur V :
Le volume dépend de r² et h, donc :
\[\frac{u(V)}{V} = \sqrt{(2 \times \frac{0,02}{1,25})^2 + (\frac{0,1}{3,7})^2} = \sqrt{0,001024 + 0,000730} = 0,042\]
Donc \(u(V) = 0,042 \times 18,15 = 0,76 \text{ cm}^3\)
Étape 3 - Masse volumique :
\(\rho = \frac{47,3}{18,15} = 2,61 \text{ g.cm}^{-3}\)
\[\frac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{(\frac{0,1}{47,3})^2 + (\frac{0,76}{18,15})^2} = 0,043\]
Donc \(u(\rho) = 0,043 \times 2,61 = 0,11 \text{ g.cm}^{-3}\)
Résultat final : \(\rho = 2,6 \pm 0,1 \text{ g·cm}^{-3}\)
4.3. Cas particuliers importants
Certaines situations méritent une attention particulière car elles sont fréquentes en physique.
Exemple 11. (Énergie cinétique)
Formule : \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)
Si la masse est parfaitement connue (incertitude négligeable), alors : \[\frac{u(E_c)}{E_c} = 2 \times \frac{u(v)}{v}\]
L'incertitude relative sur l'énergie cinétique est le double de celle sur la vitesse !
Exemple 12. (Loi d'Ohm)
Formule : \(R = \frac{U}{I}\)
Mesures :
- Tension : U = 12,0 ± 0,1 V
- Intensité : I = 0,85 ± 0,05 A
Calcul :
\(R = \frac{12,0}{0,85} = 14,1 \text{ }\Omega\)
\[\frac{u(R)}{R} = \sqrt{(\frac{0,1}{12,0})^2 + (\frac{0,05}{0,85})^2} = \sqrt{0,000069 + 0,003460} = 0,059\]
\(u(R) = 0,059 \times 14,1 = 0,8 \text{ }\Omega\)
Résultat : \(R = 14,1 \pm 0,8 \text{ }\Omega\)
5. Écriture du résultat et comparaison à une valeur de référence
5.1. Règles d'écriture du résultat
L'écriture correcte d'un résultat de mesure est un aspect crucial de la communication scientifique. Il existe des règles précises à respecter.
Définition 9. (Règles d'écriture)
- Incertitude-type : 1 ou 2 chiffres significatifs maximum
- Valeur mesurée : Même nombre de décimales que l'incertitude
- Notation : \( x \pm u(x) \) avec x et u(x) dans la même unité
- Cohérence : Le dernier chiffre significatif de x correspond à celui de u(x)
Exemple 13. (Écriture correcte)
Calcul brut : L = 15,2347 cm avec u(L) = 0,1256 cm
Étapes d'écriture :
1. Arrondir l'incertitude : u(L) = 0,13 cm (2 chiffres significatifs)
2. Adapter la valeur : L = 15,23 cm (même nombre de décimales)
3. Écriture finale : L = 15,23 ± 0,13 cm
Écritures incorrectes :
- L = 15,2347 ± 0,13 cm (trop de décimales sur L)
- L = 15,23 ± 0,1256 cm (trop de chiffres sur u(L))
- L = 15,2 ± 0,13 cm (nombre de décimales incohérent)
5.2. Comparaison avec une valeur de référence
En physique, vous devez souvent comparer votre résultat expérimental à une valeur théorique ou tabulée. Le critère quantitatif permet de juger objectivement de la compatibilité.
Définition 10. (Critère de compatibilité)
Pour comparer un résultat de mesure \(m_{mes}\) à une valeur de référence \(m_{ref}\), on calcule :
- \(z \leq 2\) : Résultats compatibles (différence non significative)
- \(2 < z \leq 3\) : Compatibilité douteuse (à investiguer)
- \(z > 3\) : Résultats incompatibles (différence significative)
Signification du critère : z représente le nombre d'écarts-types qui séparent votre mesure de la référence. Dans une distribution normale, 95\% des valeurs sont à moins de 2 écarts-types de la moyenne.
Exemple 14. (Vérification de la loi de Newton)
Expérience : Mesure de g par chute libre
Résultat expérimental : \(g = 9,72 \pm 0,15 \text{ m.s}^{-2}\)
Valeur de référence : \(g_0 = 9,81 \text{ m.s}^{-2}\)
Calcul du critère : \[z = \frac{|9,72 - 9,81|}{0,15} = \frac{0,09}{0,15} = 0,6\]
Conclusion : z = 0,6 < 2, donc les résultats sont compatibles. Votre expérience confirme la valeur théorique de g.
Exemple 15. (Cas d'incompatibilité)
Expérience : Mesure de la résistance d'un conducteur ohmique
Résultat expérimental : \(R = 47,2 \pm 1,2 \text{ }\Omega\)
Valeur de référence : \(R_0 = 51,0 \Omega \)
Calcul du critère : \[z = \frac{|47,2 - 51,0|}{1,2} = \frac{3,8}{1,2} = 3,2\]
Conclusion : z = 3,2 > 3, donc les résultats sont incompatibles. Il faut chercher la cause : résistance défectueuse, problème de protocole...
5.3. Analyse des écarts significatifs
Quand vos résultats sont incompatibles avec la référence, il faut investiguer les causes possibles.
Exemple 16. (Sources d'écarts significatifs)
Erreurs systématiques :
- Instrument mal étalonné
- Conditions expérimentales différentes (température, pression...)
- Hypothèses du modèle théorique non vérifiées
- Phénomènes négligés (frottements, résistance de l'air...)
Sous-estimation des incertitudes :
- Sources d'incertitude oubliées
- Corrélations entre grandeurs non prises en compte
- Dérive temporelle de l'instrument
Erreurs de référence :
- Valeur tabulée erronée ou obsolète
- Conditions de référence différentes
- Approximations dans le calcul théorique
Résumé du chapitre :
- Toute mesure physique comporte des incertitudes inévitables
- L'analyse statistique (moyenne, écart-type, histogramme) caractérise la variabilité
- L'incertitude-type se calcule par méthode statistique (type A) ou par d'autres moyens (type B)
- Les incertitudes se composent selon des règles mathématiques précises
- L'écriture du résultat respecte des conventions sur les chiffres significatifs
- La comparaison à une référence utilise un critère quantitatif objectif
- L'analyse des incertitudes guide l'optimisation des protocoles expérimentaux