Terminale : Exercices sur la diffraction
La mention ❤️ indique que la méthode de résolution proposée par l'exercice est à maîtriser et à savoir refaire, on peut aussi parler d'exercice classique. Finalement, chaque exercice possède sa propre difficulté : 🌶️ pour un exercice facile, 🌶️🌶️ pour un exercice de difficulté moyenne et 🌶️🌶️🌶️ pour un exercice difficile dans sa résolution.
Exercices d'application
Exercice n°1 (Diffraction par une fente) 🌶️ 🌶️ 🌶️
Un rayon laser, de longueur d'onde dans le vide \(\lambda = 633 \text{ nm}\), traverse une fente de largeur \(a\). La figure de diffraction est observée sur un écran, lequel est placé perpendiculairement au rayon et à une distance \(D = 3,45 \text{ m}\) de la fente.
- Quelle est la couleur correspondant à cette radiation ?
- On donne \(c = 3,00 \times 10^8 \text{ m.s}^{-1}\). Calculer la fréquence de cette radiation.
- Tracer le schéma donnant l'aspect de la figure de diffraction.
- Avec une règle et sur la figure de diffraction, on mesure la distance séparant le milieu de la frange centrale et de la première extinction. On trouve \(d_1 = 44 \text{ mm}\). Calculer la largeur \(a_1\) de la fente utilisée.
- En utilisant d'autres fentes, les distances \(d\) trouvées sont \(d_2 = 22 \text{ mm}\) ; \(d_3 = 17 \text{ mm}\). Calculer les largeurs des fentes correspondantes.
- Donner une conclusion à propos de l'étalement des taches de diffraction.
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1. Rappelez-vous du spectre de la lumière visible (400 nm à 800 nm).
2. La relation entre la fréquence \(\nu\), la célérité \(c\) et la longueur d'onde \(\lambda\) est \(\lambda = \frac{c}{\nu}\).
4. L'angle caractéristique de diffraction \(\theta\) est donné par \(\theta = \frac{\lambda}{a}\). Pour les petits angles, \(\tan(\theta) \approx \theta \approx \frac{L}{2D}\) où \(L\) est la largeur de la tache centrale. Attention, ici \(d_1\) correspond à la demi-largeur de la tache centrale (\(L/2\)).
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1. Couleur de la radiation
La longueur d'onde est \(\lambda = 633 \text{ nm}\). Cette valeur se situe dans le domaine du visible, plus précisément dans le rouge (environ 620-750 nm).
Spectre de la lumière visible
2. Calcul de la fréquence
La fréquence \(\nu\) est donnée par la relation :
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]Avec \(c = 3,00 \times 10^8 \text{ m.s}^{-1}\) et \(\lambda = 633 \times 10^{-9} \text{ m}\).
Application numérique :
\[ \nu = \frac{3,00 \times 10^8}{633 \times 10^{-9}} \approx 4,74 \times 10^{14} \text{ Hz} \]La fréquence de la radiation est d'environ \(\boxed{4,74 \times 10^{14} \text{ Hz}}\).
3. Schéma de la figure de diffraction
La figure de diffraction par une fente rectangulaire verticale présente une tache centrale brillante et large, entourée de taches secondaires moins intenses et deux fois moins larges, alignées horizontalement (perpendiculairement à la fente).
(Tache centrale large et brillante, taches secondaires plus petites)
4. Calcul de la largeur \(a_1\)
L'écart angulaire \(\theta\) (demi-angle de la tache centrale) est défini par la relation :
\[ \theta = \frac{\lambda}{a} \]D'après la géométrie du montage, pour des petits angles (approximation des petits angles \(\tan \theta \approx \theta\)) :
\[ \theta \approx \frac{d_1}{D} \]Où \(d_1\) est la distance entre le milieu de la frange centrale et la première extinction (ce qui correspond à la demi-largeur de la tache centrale).
On a donc :
\[ \frac{\lambda}{a_1} = \frac{d_1}{D} \implies a_1 = \frac{\lambda \times D}{d_1} \]Données :
- \(\lambda = 633 \times 10^{-9} \text{ m}\)
- \(D = 3,45 \text{ m}\)
- \(d_1 = 44 \text{ mm} = 44 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Application numérique :
\[ a_1 = \frac{633 \times 10^{-9} \times 3,45}{44 \times 10^{-3}} \approx 4,96 \times 10^{-5} \text{ m} \]Soit \(\boxed{a_1 \approx 50 \text{ }\mu\text{m}}\).
5. Calcul des largeurs \(a_2\) et \(a_3\)
On utilise la même formule : \(a = \frac{\lambda \times D}{d}\).
Pour \(d_2 = 22 \text{ mm}\) :
\[ a_2 = \frac{633 \times 10^{-9} \times 3,45}{22 \times 10^{-3}} \approx 9,93 \times 10^{-5} \text{ m} \]Soit \(\boxed{a_2 \approx 100 \text{ }\mu\text{m}}\).
Pour \(d_3 = 17 \text{ mm}\) :
\[ a_3 = \frac{633 \times 10^{-9} \times 3,45}{17 \times 10^{-3}} \approx 1,28 \times 10^{-4} \text{ m} \]Soit \(\boxed{a_3 \approx 128 \text{ }\mu\text{m}}\).
6. Conclusion
On observe les résultats suivants :
- Pour \(d_1 = 44 \text{ mm}\), \(a_1 \approx 50 \text{ }\mu\text{m}\)
- Pour \(d_2 = 22 \text{ mm}\), \(a_2 \approx 100 \text{ }\mu\text{m}\)
- Pour \(d_3 = 17 \text{ mm}\), \(a_3 \approx 128 \text{ }\mu\text{m}\)
On constate que plus la largeur de la fente \(a\) est petite, plus la largeur de la tache de diffraction (\(2d\)) est grande.
L'étalement de la figure de diffraction est inversement proportionnel à la dimension de l'ouverture diffractante.